三角形梯形中位线

三角形梯形中位线

知识点：

1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。 （2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

定理符号语言表达：

在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；

。

2．梯形中位线：

1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 定理符号语言表达：

在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；

∴ 。

注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；

3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：

我们知道：S 梯=

2

1

(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积

3、中点四边形：

1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；

总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；

1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。 2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。 3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。

E

D B

C

A

E

B

D A C

F

图2

试一试：

1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．

2．一个三角形的中位线有_________条．

3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，

线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿

4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点

（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm

（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；

6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；

7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；

8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。

9等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是。10．顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______.

11．如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．

12．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

例题精讲;

【例1】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD 延长线交AC 于点Q ，点M 为BC 的中点，求PM 的长。

【例2】 已知，等腰梯形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 互相垂直，AD 长为8cm ，BC 长为24 cm ，求梯形的高

试一试：已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝12，BD ＝9，则此 梯形的中位线长是

补例 如图，在梯形ABCD 中，M 、N 分别是BD 、AC 的中点，试探索MN 与两底的位置关系与数量关系，并说明理由。

例2图 Q P

M D C B A 4A B

C

D E

M N 1

23

例3.如图9，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形。

（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定是．．．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：

（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH 分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD

必须满足．．．．怎样的条件？ 解：

）

．

基础练习：

1.三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.

2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点,AC=4 cm ,BC=6 cm,那么四边形CEDF 为__________,它的边长分别为_________________.

3.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______.

4. 已知梯形的上底长为3cm ，下底长为7cm ，则此梯形中位线长为__________cm ．

5.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是____________.

6. 已知D 、E 、F

分别是△ABC 三边的中点,当△ABC 满足条件___________时,四边形AFDE 是菱形.

7.已知等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm ．

8．如图，已知等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为5，腰AD 的长为4，则这个等腰梯形的周长为 . 9．如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数为 . 10、等腰梯形上、下底长分别为 ，且两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积

为

.

二、选择题： 1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ） A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分 2、顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）.

A ．等腰梯形

B ．矩形

C ．平行四边形

D ．菱形或对角线互相垂直的四边形 3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm

4.已知DE 是△ABC 的中位线,则△ADE 和△ABC 的面积之比是( ) (A) 1:1 (B) 1:2 (C) 1:3 (D ) 1:4

5.若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2

，则这个梯形的高等于（ ） （A ）62cm

（B ）6cm

（C ）32cm

（D ）

6.如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交

BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

7．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ）

A. 332

B. 316

C. 310

D. 3

8

B A D C

E F D O

F

E

D

C

B

A