第二次八校联考理科数学参考答案

时有
一个零点；
当
a
2
1
ln
2
时，
f
2
0,
6
再设 hx
1 x
cos
x
，则 hx
1 x2
sin
x
0 从而 a 关于
x0 单调递增。
①若
x0
0,
2
，此时
a
,
2
，若
f
2
f
0
得
a
2
1
ln
2
或
a
ln
，所以
a
2
1
ln
2
时无零
点；
f
2
f
0
得
-
2
1
ln
2
a
ln
，所以
-
2
1
ln
2
a
2
分。）
13.31
14. 65
15.e 2
16. 1p 2 2;2 4 2,0
13. 易求得 q3 8, q 2 ， s5 31
14. 根据图形可列式10 0.0110 0.02 x 60 0.04 0.5 ，解得 x 65
15. 根据题意得 x1 2 ln x2 0,2 ，0 ln x2 1, 即1 x2 e
5
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
4
因此买下剩下所有的 45 个布娃娃
…………………………8 分
3
设抽到
k
个,有奖品的可能性为
pk
,则
pk
C1k0
C 5k 40
C550
p k
根据题意可得
p
k
p p
k k
1 1
,即
C C k 50k 10 40 C550
C C k 1 4k 10 40
设平面 PCD 的法向量 m x0 , y0 , z0
3x0 y0
2 y0 2z0
2z0 0
0
,取
z0
3 , m 1,
3,
3
根据题意,线面角 sin
3 3 2 3 2 3
7 32 2 41 2
23 7 2 2 1 2 1
2 2
当
1 2
时,
sin
最大,此时
,解得 n1 0
0,2,1 ,同理可得 n2
0,1,1 …………..10 分
cos cos n1, n2
21 5 2
3 3 10 10 10
……………………………11 分
所以二面角 F AE M 的平面角的余弦值为 3 10 ……………………………12 分 10
19. 解: 1 由题意可得 f p C51 p1 p4
5. 答案 C f x f x ，且 f 0, f 0 ，结合图形特征作出判断
8
3
6. 答案 D 根据题意可得 p C42 A33 4 3333 9
7. 答案 B OA 2,60 120 ,结合图形转化可得 OA OP = OA cos ，可得最大值 OP
是1
2
………………………..4 分
2 易求得右焦点 F 1,0 ,若直线 l 斜率不存在时， k1 k2 0 ，不合题意，舍去；…….5 分
设直线 l 的方程为 y kx 1 ,联立方程
y kx 1
x2 2
y2
,化简得
1
1 2k 2
x2
4k 2x 2k 2
2
0
设直线 l 与椭圆 C 的两个交点为 M x1, y1 , N x2 , y2
f p C51 1 p4 4 p1 p3 C511 p31 5 p
因此当
p0
1 5
时,
f
p取最大值
………………………………….4 分
2 由上可知
p0
1 5
,设剩下
45
个布娃娃中有 Y
个奖品,获利为
X
元,则 Y
~
B 45,
1 , 5
又 X 15Y 90 ,因此 EX E15Y 90 15EY 90 15 45 1 90 45 0
当 x x0, 时， f x 0, f x单调递减，
f x在 x0 处取极大值，不存在极小值
若
f
0 ，即
a
1
1
，f
x
0,
f x在0， 单调递增，此时f x无极值
2 由第一问结论可知
…………………………………4 分 ………………………………….5 分
（i）若
a
1
1
时，由上问可知：
f
xmin
F
为
PC
的中点,即
F
3 2
,
1 2
,1
……………………….8
分
AE
3,0,0 , AF
3 2
,
1 2
,1,
AM
0,1,1
设平面 AEF 的法向量为 n1 x1, y1, z1 ,平面 AEM 的法向量为 n2 x2 , y2 , z2
3x1 0
3 2
x1
1Biblioteka Baidu2
y1 z1
2
2
6
T ;
又 2x k , x k ,即对称中心是 k ,0, k Z ……………………..5 分
6
2 12
2 12
2 f ( A) sin(2A ) 1 , A
62
3
又 ABC 为锐角三角形
………………………………6 分
2 - B 0， 且 B 0， ,即 B ，
4
2
2sin 2020x
4
，即 M
2，
m n min
1T 2
， M
mn
的最小值为
1010
10. 答案 C 易判断①③正确
11. 答案 D
根据题意数列 an中 a1
1, a2
3, a3
6, a4
10 ，易求得
an
nn 1
2
，
1 an
2
nn 1
2
1 n
1 ，求和得 4040
n 1
2021
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
1
12. 答 案 B 要 求 AM MN 最 小， 即求 MN 最 小， 可得 MN 平 面 PCE , 又 可证 明 MN // DF ; 再 把 平 面 POD 绕 PD 旋 转 ， 与 PDA 共 面 ； 又 可 证 得 POD 90 。
意义，点 A 在以 B1,1为圆心， r 2 2 的圆上， Z max 3 2
3. 答案 A 根据函数的相关性质得 x 1,0 y 1, z 0, z y x
4. 答案 C
设
BP
x
，根据题意得
x
x
5
1.5 9
1 6
，解得
x
1
， 扫过的面积是
s 62 52 3.14 11 34.54m2
又 x2 2, 2 x2 e ，此时 x2 x1 x2 2 ln x2 ，
构 造 函 数 gx x 2 ln x ， 以 判 断 函 数 gx 在 x 2, e 上 单 调 递 增 ， 即
x2 x1 gxmax ge e 2
16. 设直线 l 与抛物线交于 A, B 两点， Ax1, y1 , Bx2 , y2 ，易知 OA OB 可得
如图所示的空间直角坐标系,易知:
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
3
A0,0,0, B 3,1,0 ,C 3,1,0 , D0,2,0, P0,0,2, M 0,1,1 PC 3,1,2 , PF PC 3, ,2 , AP 0,0,2 而 AF AP PF 0,0,2 3, ,2 3, ,2 2 ,且 PD 0,2,2
21.解: 1 f x 1 a cos x
x
设
gx 1 a cos x
x
,
gx
1 x2
sin
x
0
,
因
此
f x 单 调 递 减 ，
f xmin
f
1
a 1,
又 x 0 时， f x
……………………………..2 分
若
f
0 ，即
a
1
1
时， x0
0,
, 使
f
x0
0;
当 x 0, x0 时， f x 0, f x单调递增，
PD 1 AC , DO 1 DF 1 1 AB 1 AB 1 ,sin OPD OD 1 ,
2
2
22
4
2
PD 2
即 OPD 30 ，APN 45 30 75 ,可得 sin 75 6 2 4
（AM MN）min AN PA sin 75
3 1 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；其中 16 题第一空 3 分，第二空 2
根据韦达定理得
x1
x2
4k 2 1 2k 2
,
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
…………………………………….7 分
而 k1
y1 x1
2
, k2
x2
y2
2
又有 k1 k2 3
即 y1 y2 kx1 1 kx2 1
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
k
2x1x2 x1x2
即 4 p2 32, 解得 p 2 2 ,同时求得定点 4 2，0
m2 4 4p2
三、解答题
17. 解： 1 f (x) cos 2x 3 sin 2x 1 cos 2x ,
2
2
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
2
3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x
f 2
ln 2
2
1
1
1
ln
2
2
1 2
0
即
a
1
1
时函数没有零点
……………………………………6 分
(ii)若 a
1
1
时，
x 0,
x0 时
f
x 单调递增；
x x0,
时，
f
x 单调递减。
由 f x0 0 得
1 x0
a
cos
x0
0 ，从而
a
1 x0
cos
x0
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
x1x2
y1 y2
0
y12 2p
y22 2p
y1 y2
0 ，得到
y1 y2
4 p2
又令 l : x my t 代入抛物线 y2 2 px 中，可得方程 y2 2 pmy 2 pt 0
由韦达定理得 y1 y2 2 pt 4 p2 ,t 2 p
s
12p 2
y1
y2
p
4 p2m2 16 p2 2 p2
又 PA 平面 ABCD , AE 平面 ABCD, PA AE
又 PA AD A, AE 平面 PAD
又 AE 平面 AEF ,平面 AEF 平面 PAD
……………………………4 分
2 解:由 1 知, AE, AD, AP 两两垂直,以 AE, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立
3
2
2
6 2
tan B 1 ,得到 0 1 3
3
tan B
……………………………………………………………………8 分
而在 ABC 中, C 4 sin C sin B
c
4 sin
2 3
B
4
3 2
cos
B
1 2
sin
B
2
3 cos B 2sin B
sin B
sin B
sin B
C550
且
C C k 5k 10 40
C550
C C k 1 6k 10 40 C550
,
10 k 5 k k 136 k
化简得
k
35
k
11
k
6
k
解得 7 k 33 ,从而 k 1
26
26
…………………………….12 分
20. 1 易求得 a 2, b 1 椭圆方程: x2 y2 1
2
1 x1 x2 2 2x1 x2 2
2
k
4k 2 4 1 2k 2
2k 2 2
1 2k 2
2
1
4k 2 1 2k 2
2
2
4k 2 1 2k 2
2
2
2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案
5
k 4k 2 4 2 1 4k 2 2 2 2k 2 1 2k 2 2 4 2k 2 2 4k 2
8. 答案 A 根据题意可得渐近线的倾斜角是 60，120 ， tan 60 b , b 3a ，因此双曲 a
线方程
x2 a2
y2 3a 2
1，该曲线又过点 2,3，解得 a
1 ，所以实轴长为 2
9. 答案 B 令 2020x ， f x sin cos sin sin 2sin
2020 届八校第二次联考理科数学试题答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC ACCDB ABCDB
1. 答案 B A x x 1, B x 1 x 2, A B x1 x 2
2. 答案 C Z 1 i 2 2, 令 OA Z ,OB 1 i, OA OB 2 2 ,根据复数的几何
k 4 2 2 4 2 2 （6 4 2）k 2 （6 4 2）k
- 4 2 2 3 ,解得 k 2 2
k
3
………………………………….11 分
直线 l : y 2 2 x 1，即 2 2 x 3y 2 2 0 ………………………12 分 3
即 c 2 3 2 2,8
tan B
…………………………………………………………………10 分
s 1 bc sin A 1 4 3 c 3c
2
2
2
s 2 3,8 3
18. 1 证明:连接 AC
……………………………………………………………..12 分
底面 ABCD 为菱形, ABC 60 , ABC 是正三角形 E 是 BC 中点, AE BC 又 AD // BC , AE AD