海淀区2018届高三期末数学(理)试题及答案(word版)

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理科）

2018. 1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数12+=i

i

（A ）2-i

（B ）2+i

（C ）2--i

（D ）2-+i （2）在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为

（A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7

（4）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程

22

1x y m m

-=表示双曲线”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为

（A

（B

（C

或 （D

或 （6）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为

（A ）

1

5

（B ）

25

（C ）

35

（D ）

45

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：

① 三棱锥的体积为

16

② 三棱锥的四个面全是直角三角形

③

所有正确的说法是

（A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③

（8）已知点F 为抛物线C ：()2

20y

px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，

点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．

的是 （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个

（C ）使得4MKF π

∠=

的点M 有且仅有4个 （D ）使得6

MKF π

∠=的点M 有且仅有4个

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）点(2,0)到双曲线2

214

x y -=的渐近线的距离是______________ .

（10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项的和

为 ．

（11）设抛物线C ：2

4y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛

物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．

主视图左视图

俯视图

（12）已知()51n

x -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，

则=n ．

（13）已知正方体1111ABCD A B C D -

的棱长为，M 是棱BC 的中点，

点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上.若1PM =，则PQ 长度的最小值为 ．

（14）对任意实数k ，定义集合20

(,)

20,,0k x y D x y x y x y kx y ⎧

⎫-+≥⎧⎪

⎪⎪

=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭

R . ① 若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ； ② 当0k =时，若对任意的0(,)x y D ∈，有()31y a x ≥+-恒成立，且存在0(,)x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

如图，在∆ABC 中，点D 在AC 边上，且3AD DC =

，AB =

3

ADB π∠=

，=6C π

∠.

（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.

（16）（本小题13分）

据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS ） （Ⅰ）从品牌的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；

（Ⅱ）在12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果

的次数，求X 的分布列和数学期望()E X ；

（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字

与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器 打开文件的速度进行评价.

A

（17）（本小题14分）

如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2. （Ⅰ）求证：平面1A ED ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1

ACD 所成角的正弦值； （Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.

A E D

B

C

D

图1 图2 （18）（本小题13分）

已知椭圆C ：22

29x y +=，点(2,0)P . （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；

（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，

判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论. （19）（本小题14分）

已知函数2

()222x

f x ax x =---e

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；

（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）

（20）（本小题13分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项

12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数.

（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；

（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *

∈N ，使得k a M >；

（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *

∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.