平面向量第一节(平面向量的概念与线性运算)精编专题复习pdf版
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（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 例1
解析：（1） AB 和 BA 互为相反向量，它们长度相等，方向相反，命题正确； （2）平行向量方向相同或相反，命题正确． 答案：（1）正确 （2）正确 根据下列各题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状． 例2 （1） AD BC ；
向东南航行 2km ． 答案：A
AB CB （ ）
A． 0 4
B． AC
C． CA
解析： AB CB AB BC AC ．
答案：B
D． 2AC
AB AC BC （ ）
A． 2BC 5
B． 0
C． 2BC
D． 2AC
解析： AB AC BC CB BC BC BC 2BC ．
单位向量 平行向量 相等向量 相反向量
长度等于 1 个单位的向量
a 即为单位向量 |a|
方向相同或相反的非零向量（也
叫共线向量）
记为 a∥b ，规定 0 与任意向量共线
长度相等方向相同的向量
记为 a b ，相等一定平行，平行不 一定相等
长度相等方向相反的向量
a b ， AB BA
判断下列命题是否正确：
在 ABCD 中，AB a ，AD b ，AN 3NC ，M
为 BC 的中点，则 MN _____．
例 6 解析： AN 3 AC 3 (a b) ， AM AB BM AB 1 AD a 1 b ，
4
4
2
2
所以 MN AN AM 1 a 1 b ． 44
答案： 1 a 1 b 44
8 解析： AB BD AC CD AD AC CD CD CD 0 ．
答案： 0
OA OC OB CO _____．
9 解析：原式等于 (OB OA) (CO CO) AB ．
答案： AB
如图，D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则（ ）
A． AD BE CF 0
⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上． 2 其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：① AB 和 BA 长度相等，方向相反，正确； ②当为零向量时，不满足条件，错误； ③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确； ④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误； ⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；
3 | 10
[平面向量]
向量共线定理：向量 a (a 0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ．
应用：解决三点共线问题． 重要结论：
图形
条件 结论
A，B，C 三点共线，A 与 B ABC 中，D 为 BC 边上
不重合，P 是直线外一点 的中点
PC PA (1 )PB
AD 1 (AB AC) 2
G 为 ABC 的重心 GA GB GC 0
已知向量 a ， b ，且 AB a 2b ， BC 5a 6b ， CD 7a 2b ，则一定共线的
三点是（ ）
例 7 A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析： AD AB BC CD 3a 6b 3AB ，所以 AD∥AB ，A，B，D 共线．
解析：A 中，当 0 时， a 与 a 方向相反，错误；B 很明显正确；C 中，向量的
数乘最后结果应是向量，应为 0a 0 ；D 中，左边为模，是实数，右边是向量，两 者不能相等． 答案：B 下列结论中，正确的是（ ）
A． 0a 0
B． 0 ， a 0 时， a 与 a 方向一定相反
D．4
设 O 为平面内一点，则 MA1 OA1 OM ，同理可表示其余四个向量，原式变为
(OA1 OM ) (OA2 OM ) (OA3 OM ) (OA4 OM ) 0 ，即
OM
1 4
(OA1
OA2
OA3
OA4 )
，
A1
，
A2
，
A3
，
A4
四个点确定，则 OM
也是确
定的，所以满足条件的 M 只有 1 个．
AB AC mAM 成立，则 m _____．
例 10
解析：由 MA MB MC 0 可知 M 为 ABC 的重心，
则 AM 2 AD 2[1 (AB AC)] 1 (AB AC) ， 即
3
32
3
AB AC 3AM ，则 m 3 ．
答案：3
练习题：
以下说法错误的是（ ）
A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等
OA OB OC OD MA MB MC MD 4OM 0 4OM 4OM ．
答案：D
设 A1 ，A2 ，A3 ，A4 是平面上给定的 4 个不同点，则使 MA1 MA2 MA3 MA4 0 16
成立的点 M 的个数为（ ）
8 | 10
[平面向量]
A．0 B．1
C．2
若 O 为 ABCD 的中心， AB 4e1 ， BC 6e2 ，则 3e2 2e1 （ ）
A． AO
B． BO
C． CO
D． DO
14
解析：
3e2
2e1
1 2
BC
1 2
AB
1 2
(BC
BA)
1 2
BD
BO
．
答案：B
设 M 为 ABCD 对角线的交点，O 为 ABCD 所在平面内任意一点，则
C．若 b a (a 0) ，则 b a
D．若| b || a | (a 0) ，则 | b | |a|
13
解析：A 中， 0a 应该等于 0 ；B 中 a 的系数一正一负，两个数乘方向一定相反是
正确的；C 错误，向量没有除法；D 中， | b | 应该等于| | ． |a|
答案：B
OA OB OC OD （ ）
A． OM
B． 2OM
C． 3OM
D． 4OM
15 解 析 ： M 为 ABCD 对 角 线 的 交 点 ， 则 MA MB MC MD 0 ， 又
OA OM MA ， OB OM MB ， OC OM MC ， OD OM MD ， 则
FD 表示出来.
例4
解析： OE BO a b ； BF BA AF BA BO 2a b ；
BD BC CD BC BO a 2b ； FD AC BC BA b a ．
答案： a b ， 2a b ， a 2b ， b a
若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足| OB OC || OB OC 2OA| ，则 ABC 的形状为_______． 解析： OB OC 2OA (OB OA) (OC OA) AB AC ， 例5 OB OC CB AB AC ，带入可得| AB AC || AB AC | ，用平行四边形法则 考虑，等号两边为平行四边形的两条对角线的长，可知四边形为矩形，所以 ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形
5 | 10
[平面向量]
正确的是①和③． 答案：B
已知向量 a 表示“向东航行 1km”，向量 b 表示“向南航行 1km”，则向量 a b 表 示（ ）
A．向东南航行 2km
B．向东南航行 2km
3 C．向东北航行 2km
D．向东北航行 2km
解析：由向量加法的几何意义可知，先向东航行 1km，再向南航行 1km，总位移是
D． AC
11 解析：在平行四边形中， BA 和 CD 是相反向量，则 CD BA 0 ，故原式变为
BC 0 BC ．
答案：A
, R ，下面式子正确的是（ ）
12 A． a 与 a 方向相同
B． ( )a a a
C． 0a 0
D．若 b a ，则| b | a
7 | 10
[平面向量]
0 ，a 0
例如： AB+BC CD AD ， AB+BC CA 0 ， BC BA AC ， DE DF FE ． 向量不等式：|| a | | b || | a b | | a | | b | （等号在向量 a ， b 共线时取得）． 例如：| a | 3 ， | b | 5 ，则 | a b | 的最大值为 8，当且仅当 a ， b 同向时取到；最小值为 2， 当且仅当 a ， b 反向时取到．
1 | 10
[平面向量]
（2） AB DC 且| AB || AD | ． 解析：（1） AD BC 说明 AD 和 BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形； （2） AB DC 说明 AB 和 DC 相等且平行，为平行四边形，| AB || AD | 说明两临 边相等，为菱形． 答案：（1）平行四边形 （2）菱形
答案：A
ABC 中， AM 1 AC ， AD mAB 2 AC ，则
2
9
m ______．
例8
解析： AD AB (1 )AM AB 1 (1 )AC mAB 2 AC ，
2
9
则 1 (1 ) 2 ，解得 5 ，则 m 5 ．
2
9
Biblioteka Baidu
9
9
答案： 5 9
设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB，的中
点，则 EB FC （ ）
例 9 A．AD
B．1 AD 2
C．BC
D．1 BC 2
解析： EB FC (BE CF) 1 (BA BC CA CB) 1 (AB AC) AD .
2
2
答案：A
4 | 10
[平面向量]
已知 ABC 和点Ｍ满足 MA MB MC 0 ，若存在实数 m 使得
2 | 10
[平面向量]
如图：正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF （ ）
A． 0 例3
B． BE
C． AD
D． CF
解析：由于 BA DE ，故 BA CD EF CD DE EF CF ．
答案：D 根如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 是它的中心，若
BA = a ， BC = b ，试用 a ， b 将向量 OE ， BF ， BD ，
答案：B
已知 O 是 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么 （）
A． AO OD B． AO 2OD
C． AO 3OD
D． 2AO OD
17
解析：D 是中点，则有 OB OC 2OD ，原式变为 2OA 2OD 0 ，即
OA OD ，故 AO OD ． 答案：A 平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 中点，BE AC F ， AF AC ，则 ______．
答案：C
AB AD DC （ ）
A． AB 6
B． BA
C． CA
D． CB
解析： AB AD DC DB DC CB ．
答案：D
AC AB BD CD （ ）
7
A． 0
B． DA
C． BC
D． AB
6 | 10
[平面向量]
解析： AC AB BD CD BC BD CD DC CD 0 ． 答案：A AB BD AC CD _____．
2．向量的线性运算 运算
加法
几何表示
意义
a b AB BC AC 三角形法则
类比“位移之和” 首尾相连，首位连
a b AB AD AC 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线
减法
a b AB AC CB
共起点，后指前
长度变为| | 倍
0 ，方向相同
数乘
0 ，方向相反
[平面向量]
一、平面向量的概念与线性运算
1．向量概念及表示 定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． 表示：
有向线段
小字母上加箭头
起点到终点，大字母加箭头
向量的长度（模）： a 或 AB 的模记作| a | 或 | AB | ．
几种特殊向量： 特殊向量
定义
备注
零向量 长度为 0 的向量
记作 0 ，方向任意
B． BD CF DF 0
C． AD CE CF 0 10
D．BD BE FC 0
解析： AD FE ， BE EC ，则 AD BE CF FE EC CF 0 ，A 正确． 答案：A
在 ABCD 中， BC CD BA （ ）
A． BC
B． AD
C． AB
1 C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
解析：平行向量方向可以相同，也可以相反，故 C 不正确．
答案：C
给出如下命题：
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
（2）向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 例1
解析：（1） AB 和 BA 互为相反向量，它们长度相等，方向相反，命题正确； （2）平行向量方向相同或相反，命题正确． 答案：（1）正确 （2）正确 根据下列各题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状． 例2 （1） AD BC ；
向东南航行 2km ． 答案：A
AB CB （ ）
A． 0 4
B． AC
C． CA
解析： AB CB AB BC AC ．
答案：B
D． 2AC
AB AC BC （ ）
A． 2BC 5
B． 0
C． 2BC
D． 2AC
解析： AB AC BC CB BC BC BC 2BC ．
单位向量 平行向量 相等向量 相反向量
长度等于 1 个单位的向量
a 即为单位向量 |a|
方向相同或相反的非零向量（也
叫共线向量）
记为 a∥b ，规定 0 与任意向量共线
长度相等方向相同的向量
记为 a b ，相等一定平行，平行不 一定相等
长度相等方向相反的向量
a b ， AB BA
判断下列命题是否正确：
在 ABCD 中，AB a ，AD b ，AN 3NC ，M
为 BC 的中点，则 MN _____．
例 6 解析： AN 3 AC 3 (a b) ， AM AB BM AB 1 AD a 1 b ，
4
4
2
2
所以 MN AN AM 1 a 1 b ． 44
答案： 1 a 1 b 44
8 解析： AB BD AC CD AD AC CD CD CD 0 ．
答案： 0
OA OC OB CO _____．
9 解析：原式等于 (OB OA) (CO CO) AB ．
答案： AB
如图，D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则（ ）
A． AD BE CF 0
⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上． 2 其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：① AB 和 BA 长度相等，方向相反，正确； ②当为零向量时，不满足条件，错误； ③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确； ④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误； ⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；
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[平面向量]
向量共线定理：向量 a (a 0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ．
应用：解决三点共线问题． 重要结论：
图形
条件 结论
A，B，C 三点共线，A 与 B ABC 中，D 为 BC 边上
不重合，P 是直线外一点 的中点
PC PA (1 )PB
AD 1 (AB AC) 2
G 为 ABC 的重心 GA GB GC 0
已知向量 a ， b ，且 AB a 2b ， BC 5a 6b ， CD 7a 2b ，则一定共线的
三点是（ ）
例 7 A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析： AD AB BC CD 3a 6b 3AB ，所以 AD∥AB ，A，B，D 共线．
解析：A 中，当 0 时， a 与 a 方向相反，错误；B 很明显正确；C 中，向量的
数乘最后结果应是向量，应为 0a 0 ；D 中，左边为模，是实数，右边是向量，两 者不能相等． 答案：B 下列结论中，正确的是（ ）
A． 0a 0
B． 0 ， a 0 时， a 与 a 方向一定相反
D．4
设 O 为平面内一点，则 MA1 OA1 OM ，同理可表示其余四个向量，原式变为
(OA1 OM ) (OA2 OM ) (OA3 OM ) (OA4 OM ) 0 ，即
OM
1 4
(OA1
OA2
OA3
OA4 )
，
A1
，
A2
，
A3
，
A4
四个点确定，则 OM
也是确
定的，所以满足条件的 M 只有 1 个．
AB AC mAM 成立，则 m _____．
例 10
解析：由 MA MB MC 0 可知 M 为 ABC 的重心，
则 AM 2 AD 2[1 (AB AC)] 1 (AB AC) ， 即
3
32
3
AB AC 3AM ，则 m 3 ．
答案：3
练习题：
以下说法错误的是（ ）
A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等
OA OB OC OD MA MB MC MD 4OM 0 4OM 4OM ．
答案：D
设 A1 ，A2 ，A3 ，A4 是平面上给定的 4 个不同点，则使 MA1 MA2 MA3 MA4 0 16
成立的点 M 的个数为（ ）
8 | 10
[平面向量]
A．0 B．1
C．2
若 O 为 ABCD 的中心， AB 4e1 ， BC 6e2 ，则 3e2 2e1 （ ）
A． AO
B． BO
C． CO
D． DO
14
解析：
3e2
2e1
1 2
BC
1 2
AB
1 2
(BC
BA)
1 2
BD
BO
．
答案：B
设 M 为 ABCD 对角线的交点，O 为 ABCD 所在平面内任意一点，则
C．若 b a (a 0) ，则 b a
D．若| b || a | (a 0) ，则 | b | |a|
13
解析：A 中， 0a 应该等于 0 ；B 中 a 的系数一正一负，两个数乘方向一定相反是
正确的；C 错误，向量没有除法；D 中， | b | 应该等于| | ． |a|
答案：B
OA OB OC OD （ ）
A． OM
B． 2OM
C． 3OM
D． 4OM
15 解 析 ： M 为 ABCD 对 角 线 的 交 点 ， 则 MA MB MC MD 0 ， 又
OA OM MA ， OB OM MB ， OC OM MC ， OD OM MD ， 则
FD 表示出来.
例4
解析： OE BO a b ； BF BA AF BA BO 2a b ；
BD BC CD BC BO a 2b ； FD AC BC BA b a ．
答案： a b ， 2a b ， a 2b ， b a
若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足| OB OC || OB OC 2OA| ，则 ABC 的形状为_______． 解析： OB OC 2OA (OB OA) (OC OA) AB AC ， 例5 OB OC CB AB AC ，带入可得| AB AC || AB AC | ，用平行四边形法则 考虑，等号两边为平行四边形的两条对角线的长，可知四边形为矩形，所以 ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形
5 | 10
[平面向量]
正确的是①和③． 答案：B
已知向量 a 表示“向东航行 1km”，向量 b 表示“向南航行 1km”，则向量 a b 表 示（ ）
A．向东南航行 2km
B．向东南航行 2km
3 C．向东北航行 2km
D．向东北航行 2km
解析：由向量加法的几何意义可知，先向东航行 1km，再向南航行 1km，总位移是
D． AC
11 解析：在平行四边形中， BA 和 CD 是相反向量，则 CD BA 0 ，故原式变为
BC 0 BC ．
答案：A
, R ，下面式子正确的是（ ）
12 A． a 与 a 方向相同
B． ( )a a a
C． 0a 0
D．若 b a ，则| b | a
7 | 10
[平面向量]
0 ，a 0
例如： AB+BC CD AD ， AB+BC CA 0 ， BC BA AC ， DE DF FE ． 向量不等式：|| a | | b || | a b | | a | | b | （等号在向量 a ， b 共线时取得）． 例如：| a | 3 ， | b | 5 ，则 | a b | 的最大值为 8，当且仅当 a ， b 同向时取到；最小值为 2， 当且仅当 a ， b 反向时取到．
1 | 10
[平面向量]
（2） AB DC 且| AB || AD | ． 解析：（1） AD BC 说明 AD 和 BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形； （2） AB DC 说明 AB 和 DC 相等且平行，为平行四边形，| AB || AD | 说明两临 边相等，为菱形． 答案：（1）平行四边形 （2）菱形
答案：A
ABC 中， AM 1 AC ， AD mAB 2 AC ，则
2
9
m ______．
例8
解析： AD AB (1 )AM AB 1 (1 )AC mAB 2 AC ，
2
9
则 1 (1 ) 2 ，解得 5 ，则 m 5 ．
2
9
Biblioteka Baidu
9
9
答案： 5 9
设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB，的中
点，则 EB FC （ ）
例 9 A．AD
B．1 AD 2
C．BC
D．1 BC 2
解析： EB FC (BE CF) 1 (BA BC CA CB) 1 (AB AC) AD .
2
2
答案：A
4 | 10
[平面向量]
已知 ABC 和点Ｍ满足 MA MB MC 0 ，若存在实数 m 使得
2 | 10
[平面向量]
如图：正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF （ ）
A． 0 例3
B． BE
C． AD
D． CF
解析：由于 BA DE ，故 BA CD EF CD DE EF CF ．
答案：D 根如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 是它的中心，若
BA = a ， BC = b ，试用 a ， b 将向量 OE ， BF ， BD ，
答案：B
已知 O 是 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么 （）
A． AO OD B． AO 2OD
C． AO 3OD
D． 2AO OD
17
解析：D 是中点，则有 OB OC 2OD ，原式变为 2OA 2OD 0 ，即
OA OD ，故 AO OD ． 答案：A 平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 中点，BE AC F ， AF AC ，则 ______．
答案：C
AB AD DC （ ）
A． AB 6
B． BA
C． CA
D． CB
解析： AB AD DC DB DC CB ．
答案：D
AC AB BD CD （ ）
7
A． 0
B． DA
C． BC
D． AB
6 | 10
[平面向量]
解析： AC AB BD CD BC BD CD DC CD 0 ． 答案：A AB BD AC CD _____．
2．向量的线性运算 运算
加法
几何表示
意义
a b AB BC AC 三角形法则
类比“位移之和” 首尾相连，首位连
a b AB AD AC 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线
减法
a b AB AC CB
共起点，后指前
长度变为| | 倍
0 ，方向相同
数乘
0 ，方向相反
[平面向量]
一、平面向量的概念与线性运算
1．向量概念及表示 定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． 表示：
有向线段
小字母上加箭头
起点到终点，大字母加箭头
向量的长度（模）： a 或 AB 的模记作| a | 或 | AB | ．
几种特殊向量： 特殊向量
定义
备注
零向量 长度为 0 的向量
记作 0 ，方向任意
B． BD CF DF 0
C． AD CE CF 0 10
D．BD BE FC 0
解析： AD FE ， BE EC ，则 AD BE CF FE EC CF 0 ，A 正确． 答案：A
在 ABCD 中， BC CD BA （ ）
A． BC
B． AD
C． AB
1 C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
解析：平行向量方向可以相同，也可以相反，故 C 不正确．
答案：C
给出如下命题：
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；