幂函数及其性质

幂函数及其性质
学习目标
一、知识目标：
1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能
自行发现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用. 能力目标：
通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 情感目标：
通过观察图象体会数学的简洁美.
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p =w元，这里p是w的函数 。y x
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
解：由题意得
m2 2m 2 1 m2 1 0 2n 3 0
解得m 3, n 3 . 2
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
同时以两坐标轴为惭近线.
α<0
3.在 x=1 的右侧指大图高. o 1
x
小结:
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述
了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符 号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的 过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
（2）0.20.3 与 0.30.3
-2
-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
(5) y=x-1
（5）幂前的系数也为1。
一般地，函数y= x叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量， 为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
值，则相应图象依次为:__C4__C_2__C_3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
指大图高
思考4：根据上述五个函数的图象，你能
归纳出幂函数 y xa在第一象限的图
象特征吗？
1.图象都过点(1,1)
α>1
y
α=1
2.α>0时图象过原点且上升，
0<α<1
α<0时图象不过原点且下降， 1
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
增函数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
f (x1) f (x2)

x1
x2
(
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
27
30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0 -4 -3 -2 -1 -2 0 1 2 3 4 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4) 1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 0.54 ＞ 0.44
4）
2
0.7 3
2
＞ 0.8 3
例例21：.证明幂函数f (x) x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1
思考：指数函数y=ax与幂
x
函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
2.已知幂函数y = f (x)的图象经过点
（3 ，3 ），求这个函数的解析式。
分析：例题要求函数的解析式，首先由题知， 此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形 式 y x ，而且我们知道图像(过2点, 2 )
只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求 出函数的解析式。
待定系数法
解：设所求幂函数的解析式为y x
(3, 3)因为点在函数图像上，所以代
入解析式得： 3 3a
a1 2
1
y x2
1
3.如果函数f (x) = (m2+2m－2) x m2 1 2n 3
是幂函数，求实数m,n的值。
例3
若m
4
1 2


3

2m

1 2
,
则求m的取值范围.
解:
幂函数f
(x)


x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围.
3
2
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
限内的图象，已知 k分别取 1,1, 1 , 2 四个 2
在(,0)上是减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
，这里v是t的函数 。
y

1
x
若y将来它表们示的,则自它变们量的全函部数用关x来系表式示将,是函:y数值xa用
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的 幂；
(3) y=x1/2
（3）指数为常数；
(4) y=x3
（4）自变量前的系数为1;
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
用描点法作出函数y=x3的图象.
x
y=x3
-3
-27
-2.5 -15.63
-2
-8
-1.5 -3.375
-1
-1
-0.5 -0.125
0
0
0.5
0.125
1
1
1.5
3.375
2
8
2.5 15.625
3
x
1
1
y x2 用描点法作出函数y x2 的图象.
0
0
1
1
2
1.414
3
1.732
5
4
2
4
5
2.236
6
2.449
3
7
2.646
2
8
2.828
9
3
1
10
3.162
0
11 12
3.317 3.464
--11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
是S = a²， 这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a， 这里V是a的函数 。
y

3
x
问
题
4:
如³
果
1
பைடு நூலகம்
正
方
形
场
地
的
面
积
为
S
，
那
么
正
方
形
的
边问长题a5=：S如2，果某这人里tas是内S骑的车函行数进。了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t1 km/s
13
3.606
14
3.742
15
3.873
16
4
1
函数 y x 2 的图像
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
再见!
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
-2
-3
-4
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x1
定义域 R 值域 R
R
R [0，+∞） ，0 （0，+）
[0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R