正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

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2、 正态分布曲线有一个高峰。 随机变数 x的取值范围为（ -∞， +∞ ）， 在（ -∞ ， μ ）正态曲线随 x的增大而上升，；当 x μ 时， fx 最大； = () 在（ μ ， +∞ ）曲线随 x的增大而下降。 3、正态曲线在 xμ = δ 处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当 x→± 1 ∞ 时， fx →0，但 fx 值恒不等于零，曲线是以 x轴为渐进线，所以曲 () () 线全距从 ∞到 +∞。 4、正态曲线是由 μ 和 δ 两个参数来确定的，其中 μ 确定曲线在 x轴上 的位置 [图 63 ， δ 确定它的变异程度 [图 64 。 μ 和 δ 不同时， -] -] 就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是 一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其 μ 和 δ 确定以后才能确定。
5、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1，正态分 布与 x轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也 1 2 应该是等于 1。而变量 x出现在任两个定值 x到 x x 2 之间的概率，等于 (1 ≠x ) 这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。 正态曲线的任何两个定值间的 概率或面积，完全由曲线的 μ 和 δ 确定。常用的理论面积或概率如下： 区间 μ ± 1δ μ ± 2δ μ ± 3δ μ ± 190 .6δ μ ±256δ .7 面积或概率 =.86 062 =.55 094 =.93 097 =.50 090 =.90 090

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图 63标准差相同（ δ= ）而平均数 1
图 64平均数相同（ μ 不同的三条正态曲线 不同的三条正态曲线 （三）正态分布的概率计算
= ）而标准差 0
正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。 它不能计算变量取某一定值， 即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间 内的概率（即概率密度）。 对于任何正态分布随机变量 x落入任意区间（ a， b）的概率可以表示为： Paxb 。其概率的计算是求概率密度函数在该区间的定积分，又由于求定积 (<<) 分反应在几何图形上是曲线在该区间上与 x轴所夹的面积，所以，在曲线下某 区间的面积等价于某区间的概率。对于一般的正态曲线，其概率计算公式为：
P（ axb） = <<
（ 61 ） .7
如果将定积分的形式与结果用累积函数（或称分布函数）表示，那么，正态曲线 下从 -∞ 到 x的面积，其式如下：
F（ x） =
（ 61 ） .8
Fx 称为正态分布的累积函数。现如给变数任一定值，假如 x等于 a，那么， () 随机变数 xa的概率为 <
P（ xa） = （ a） = < F
（ 61 ） .9

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根据以上的方法，如果 a、 bab 是 x的两个定值，则区间（ a， b）的 (<) 概率可以从下式计算
Paxb=()Fa= (<<)Fb-()
-
（ 62 ） .0
由正态曲线的特性可知，对于不同的 μ 和 δ ，曲线就有不同的形状和位置。 在所有一系列曲线中，μ = 、 δ = 的那条曲线是最简单的，我们把 μ = 0 1 0 、 δ = 对应的曲线称为标准的正态曲线，并用变数 u代替 x。 1
曲线的方程为： Φ（ u） =
（ 62 ） .1
Φ（ u）称为标准正态分布的概率密度函数，随机变量 u的分布称作标准的正 态分布或 u分布，记作为 N0， 1 。 ( ) 同理，对于标准正态分布，其累积函数为
F（ u） =
（ 62 ） .2
其表示在标准正态曲线下从 - 到 u之间的面积或概率。对于一个 u值，例 ∞ 如等于 a，标准正态分布的随机变量 u落入到区间（ - ， a）的概率可以 ∞ 通过上式求得。为了计算的方便，统计学家已根据 a值的大小绘制了标准正态 分布的累积分布函数数值表（附表 2），通过查表就可以获得（ - ， a） ∞ 的概率。 例 69：设 u服从标准正态分布 N（ 0， 1），试求（ 1）随机变量 u 落入（ 0， 12 ）区间的概率；（ 2） 随机变量 u落入（ -.6， 19 .1 19 . 6）区间的概率；（ 3）随机变量 u落入（ -.8， 25 ）区间的概率。 25 .8 P（ 0u12 ） =F(.1 -F()086-.00036 <<.1 12) 0=.89050=.89 P-9<<.6=F(.6 -F(19)095-.20090 (.6u19) 19) -.6=.70005=.50 P-.8u25) F(.8 -F(25)095600440902 (25<<.8= 25) -.8=.90-.09=.91
从上述计算结果可知：从 u分布中随机抽取一个 u值，它落入（ -.6， 1 19 . 9 ） 6 内的概率为 9%， 5 落到区间外的概率为 5 ， % 而落到区间 -.825 ） （ 25,.8 外的概率更小， 只有 1 。 % 这说明从 u分布中随机抽取一个 u值， 它落入到 （ -.6， 19 ）之外的可能性很小，是一个小概率事件。 19 .6