高考数学总复习之【最值问题】专题

专题 最值问题

【考点聚焦】

考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.

考点3：线段的定比分点、平移.

考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.

考点5：向量在物理学中的运用.

【自我检测】

1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，

2、求几类重要函数的最值方法；

（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；

（2）),0()(R a a x

a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.

3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)

【重点•难点•热点】

问题1：函数的最值问题

函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.

例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2

R x a x x x f ∈+-+=，

（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值．

思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

(1)解法一：(利用定义)2)(x x f =-＋1++a x ，2)(x x f -=-.

1---a x

若2

2),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；

若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a ．

故0=a 时，)(x f 为偶数；0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．

解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数．

若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数；

若0≠a ，则12)(,1)(2

2++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在0≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数．

（2）当a x ≤时，43)21(1)(22+

+-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若2

1≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为4

3)21(=f ，且)()2

1(a f f ≤． 当a x ≥时，函数4

3)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ． 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()2

1(a f f ≤-； 若2

1->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2

+=a a f ． 综上所述，当21-

≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2

121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是43+a ．

点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．

演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,22+=( 、分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2－x －6．

(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)

(1)(x f x g +的最小值． 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，)(1)(x f x g +＝252+--x x x ＝x+2+2

1+x －5，用不等式的知识求其最小值．

演变2：（05年北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ．

（I ）求f (x )的单调递减区间；

（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

点拨与提示：本题用导数的知识求解．

问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．

例2：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆120

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2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．

（1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．

思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，