求展开式系数的类型及最大最小项

求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一 ，本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以

归类与解析，供读者参考。

一、(a b)n

(n 三 N ”)型

例1. (x-、.2y)10

的展开式中x 6

y 4

项的系数是(

)

(A) 840 ( B)— 840 (C) 210

(D)— 210

解析：在通项公式

T* = C ；0(—J2y)r

x 10

丄中令r =4，即得(x —J2y)°的展开式中x 6

y 4

项的系数为

C ：0 （ i ：；2） 4 =840,故选 A 。

1 8 5

例2. (X ，——)8

展开式中x 5

的系数为

J x

数为(-1)2

C ； =28。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定 r 的值。

二、(a b)n

_(c d)m

(n, m N )型

2

1

例3. (x 3

)4 (x )8

的展开式中整理后的常数项等于 ________ . ___ x

x

2 2

解析；(x 3

)4

的通项公式为 T r 1 二 c ；(- —)r

(x 3

)4_r

= C ；(-2)r

x 12

—4r

,令 12-4r=0,则 r=3,这时得 x x

(x 3

- 2

)4

的展开式中的常数项为-C4 23

= — 32, (x 丄)8

的通项公式为T k1二C ；(丄)k

x 8

—C 8k

x 8

0 ,令 x x x

8 -2k =0，则k =4,这时得(x -)8

的展开式中的常数项为

C ；=70,故(x 3

-2)4

(x • -)8

的展开式中常数

x

x x

项等于 -32 • 70 =38。

例4.在(1 一 x)5

-(1 - x)6

的展开式中，含 x 3

的项的系数是(

)

(A) -5 (B) 5

(C) -10

(D) 10

解析：(1 -X)5

中 x 3

的系数-Cl = -10, -(1-X)6

中 x 3

的系数为-C ； (T)3

= 20 ,故(1 - X)5

- (1 - X)6

的展开

，由题意得8 r = 5，贝U r = 2，故所求x 5的系

2

O

解析：通项公式

式中x3的系数为10,故选D。

评注：求型如(a，b)n_(c d)m(n,m・N”)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三、(a b)n(c d)m(n, m N )型

例5. (x 2

1)(^2)7

的展开式中X 3

项的系数是 _______________ 。

解析：(x-2)7

的展开式中x 、x 3

的系数分别为C 7(-2)6

和C ；(-2)4

，故(X 2

・1)(X -2)7的展开式中x 3

项 的系数为 C ；(—

2)6

+ C ；(—2)4

=1008。

8

例6. (x —1)(x +1)的展开式中x 5

的系数是( )

(A ) -14

(B ) 14

(C ) -28

(D) 28

8

略解：(x+1)8

的展开式中 x 4

、x 5

的系数分别为 C ；和C ；,故(x —1)(x + 1)展开式中x 5

的系数为

4

5

C 8 C

8

= 14

,故选 B 。

评注：求型如(a b)n

(c d)m

(n,m ・N ”)的展开式中某一项的系数， 可分别展开两个二项式， 由多项式乘

法求得所求项的系数。

四、(a b c)n

(n N )型

例7.(

x

• 1

2)5

的展开式中整理后的常数项为

2 x

- -5

k

解法一：(

x 1

2)5

= (- -p .2 ，通项公式 T k ^C ；k 2"(-丄)

2 x

|L 2 x 2 x

2 亠，令 5 — 2r —k = 0 ,贝U k 2^5 ,可得 k =1,r =2 或 k = 3,r = 1 或 k = 5, r = 0。

-5,^0时，得展开式中项为

(x

— 2)5

的展开式中整理后的常数项为

空2 - 2^.2 4. 2 ^6^2。

2 x

2

2

r 10 : r

T r 1~C 10X ( . 2),要得到常数项需10 - r =5，即r =5。所以，常数项为

解法三：(仝*丄「2)5

是5个三项式(

x

• 1

r 2)相乘。常数项的产生有三种情况:

2 x 2 x

5_k

的通项公式为

T r.1 =C ；R X 」x 5

_2m 乂扛严r

±2k

2 = 1,r =2时，得展开式中项为

1

C 5C 4"2"2^

=3, r =1时，，得展开式中项为 C5C 22/2 才=20运；

综上,

解法二：(

x 1

'■ 2)5

=( 2 x

x 2

+2dQx + 2 5 _ (x + V2)2 5

_ (x+/2)10

2x

)

(2x)5

(2x)5

，对于二项式 (X2)10中,

Cw (■■ 2)5

63-2

。

2

在5个相乘的三项式