四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义(完整版)

高一竞赛数论专题

1.整除

设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .

整除关系的基本性质

(1)|,||.a b b c a c ⇒

(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +

设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.

设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a

1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+

2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c

(2)若|a bc 则|.a c

3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=

4.证明对任意整数n ,652

22n n n n +--能被120整除.

5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.

6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-

2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.

7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111

x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.

8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.

9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

能被p 整除.

10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k k

p =+

∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,

,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k k

a =+∏为整数?.

11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)2

1.m n m n --=-

12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.

高一竞赛数论专题

1.整除解答

设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .

整除关系的基本性质

(1)|,||.a b b c a c ⇒

(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +

设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.

设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a

1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+

证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.

121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤

1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤

所以12.d d =命题得证.

2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c

(2)若|a bc 则|.a c

证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+

(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c

(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c

3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=

证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.

不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤

一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .

所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.

另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.

1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续.

12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.

由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =

即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=

引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r =

证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r =

回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---===

==注意到0.k r =

所以11(,)(,0).k k a b r r --==

由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=- 2432.k k k k r r r q ----=-

3123.r r r q =-

212.r a r q =-

11r b aq =-

所以11,r b aq =-

212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-

311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++

所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+

所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=

4.证明对任意整数n ,652

22n n n n +--能被120整除.

证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++ 22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.