数学建模课后习题答案

方程及方程组的求解
1、路灯照明问题。

在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw 的路灯， 它们离地面的高度分别为5m 和6m 。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？
解：
根据题意，建立如图模型
P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：
2
sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；
P 为路灯的功率）
（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为
21111sin R p k I α= 22
2
22
sin R p k I α=
2
21
21
x h R += 1
1
1sin R h =
α
2
22
2
2)(x s h R -+= 2
22sin R h =
α
Q 点的照度：
323
23
222
2
23
221
11)
)20(36(18)
25(10)
)((()
(()(x x x s h h P x h h P x I -++
+=
-++
+=
X S P1 P2
R1 α1
α2 Q y
x O
R2 h1 h2
要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点
5
25
25
222225
22111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(x x x x x s h x s h P x h x h P x I -+-+
+-=
-+-+
+-=
利用MATLAB 求得0)('
=x I 时x 的值
代码：
s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1
运行结果： s1 =
19.97669581 9.338299136 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i
因为x>=0，选取出有效的x 值后，利用MATLAB 求出对应的I(x)的值，如下表：
x 0 0.028489970 9.3382991 19.976695 20 I(x) 0.08197716
0.08198104
0.01824393
0.08447655
0.08447468
综上，x=9.33m 时，为最暗点；x=19.97m 时，为最亮点。

（2）路灯2的高度可以变化时，Q 点的照度为关于x 和h 2的二元函数：
3
222
2
3
23
222
223
221
112)
)20((3)
25(10)
)(()
(),(x h h x x s h h P x h h P h x I -++
+=
-++
+=
与（1）同理，求出函数I(x,h 2）的极值即为最暗点和最亮点
0)
)((3))((52222
2
2322222=-+--+=∂∂x s h h P x s h P h I 利用matlab 求得x ：
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0') ans =
20+2^(1/2)*h 20-2^(1/2)*h
即x1=20+2^(1/2)*h （舍去） x2=20-2^(1/2)*h
0)
)20(()20(9)25()220(30-))(()(3)(35222252522222522111=-+-++-=-+-++-=∂∂x h x h x h x s h x s h P x h x h P x I
利用matlab 求解h 2
solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0') ans =
7.4223928896768612557104509932965 14.120774098526835657369742179215 因为h 在3~9之间，所以h 2=7.42239m 再利用matlab 求解x 和亮度I 算法： h=7.42239;
x=20-2^(1/2)*h
I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) 结果： x =
9.5032 I =
0.0186
综上，x=9.5032 ，h 2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w 。

(3)两盏路灯的高度均可以变化时，I 为关于x,h 1,h 2的三元函数，用同样的方法求解
3
222
2
23
221
1121)
)(()
(),,(x s h h P x h h P h h x I -++
+=
0)
(3)(52212
1
1322111=+-+=∂∂x h h P x h P h I
)
)20((9))20((3))((3))((52222
2
322252222
22322222=-+--+=-+--+=∂∂x h h x h x s h h P x s h P h I
0)
)20(()20(9)(6))(()(3)(35222252211522222522111=-+-++-=-+-++-=∂∂x h x h x h x h x s h x s h P x h x h P x I
x h 2
1
1=
)20(2
1
2x h -=
2
5221
12
5222
2)(2])20([)
20(3x h x h x h x h +=
-+-
25
222
25
222)2
1
(22])20()20(2
1
[()20(2
3
x x x x x x +=
-+-- =
3
332
)20(1x
x =-
利用matlab 求解x ，h 1，h 2的值：
算法：solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))'); s1=vpa(s,6); a=(1/sqrt(2))*s1; a1=double(a);
b=(1/sqrt(2))*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1 结果： a1 =
6.5940 5.1883 +12.0274i 5.1883 -12.0274i b1 =
7.5482 8.9538 -12.0274i 8.9538 +12.0274i s1 =
9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i
综上，h 1 =6.5940，h 2=7.5482 ，x=9.32530时，最暗点的亮度最大
数据插值
山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。

平面区域为
（1200<=x <=4000,1200<=y <=3600)
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

表3.8 某山区高程表
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 1200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 3600
1480
1500
1550
1510
1430
1300
1200
980
x y
利用matlab编程代码如下：
x=1200:400:4000;
y=1200:400:3600;
[xi,yi]=meshgrid(1200:4000,1200:3600);
z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;
1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;
1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;
1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;
1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;
1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;
1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980]; 线性插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
mesh(xi,yi,zi)
title('线性插值法')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
C=contourf(xi,yi,zi);
clabel(C);
title('等高线图')
最邻近插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
mesh(xi,yi,zi)
title('最邻近插值法')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
C=contourf(xi,yi,zi);
clabel(C);
title('等高线图')
立方插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic' );
mesh(xi,yi,zi)
title(' 立方插值法')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
C=contourf(xi,yi,zi);
clabel(C);
title('等高线图')
三次样条插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline' );
mesh(xi,yi,zi)
title(' 三次样条插值法')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
C=contourf(xi,yi,zi);
clabel(C);
title('等高线图')
四种差值方法在运算时间和光滑程度上有一定的差异，如下表所示
运算时间光滑程度
类别
差值方法
最邻近插值法快差
线性插值法稍长稍好
三次样条插值法最长最好
立方插值法较长较好
曲线拟合
某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下x i表示轿车的使用年数，y
表示相应的平均价格。

试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使i
用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
y
2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
i
方法一
利用1stOpt快速拟合公式搜索可得到公式为：
y = p1+p2*x+p3/x+p4*x^2+p5/x^2+p6*x^3+p7/x^3+p8*x^4+p9/x^4+p10*x^5
p1=18382690.6773727
p2=-4152096.11663013
p3=-51037385.3263795
p4=592195.144413008
p5=84947107.1889704
p6=-51716.5130172659
p7=-75932896.2582835
p8=2521.12152863706
p9=27252247.5649699
p10=-52.482670759974
Matlab代码如下
p1=10802.6249167589;
p2=-20010.6348923663;
p3=19400.634311511;
p4=-10100.4704562703;
p5=2958.58084727337;
p6=-461.436321152701;
p7=21.9610124897453;
p8=4.50124440221874;
p9=-0.851576261728162;
p10=0.0575464303972622;
p11=-0.00144545223415816;
x=4.5;
y=p1+p2*x+p3*x^2+p4*x^3+p5*x^4+p6*x^5+p7*x^6+p8*x^7+p9*x^8+p10*x^9 +p11*x^10
运行结果：
y =
921.1616
方法二
利用matlab拟合
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204]; plot(x,y,'*')
观察图形可知，曲线近似于指数函数
设kx ae x y -=)(，取对数得kx a y -=ln ln 记a a k a y m ln ,,ln 21=-==,则21a x a m += 利用matlab 算出a1,a2的值
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204]; m=log(y);
aa=polyfit(x,m,1)
结果
aa =
-0.2969 8.1591
则8.1591-0.2969x m += , 即1591.8-0.2969x ln
+=y 所以1591.8-0.2969x +=e y
利用matlab 算出x=4.5时y 的值
x=4.5;
y=exp(-0.2969*x+8.1591)
结果
y =
918.7830。