数据库关系运算(关系代数)
数据库关系运算理论(1)
9
基本表
查询表
视图
10
(4)关系的规范化性质
列是同质的， ①列是同质的，即每一列中的分量是同一类型的数 来自同一个域。 据，来自同一个域。 不同的列可出自同一个域， ②不同的列可出自同一个域，称其中的每一列为一 个属性， 个属性，不同的属性要给予不同的属性名 ③列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 任意两个元组不能完全相同。 ④任意两个元组不能完全相同。 行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 ⑤行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 分量必须取原子值， ⑥分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分 的数据项。 的数据项。
2)笛卡尔积：给定一组域D 2)笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…Dn，这些域中 笛卡尔积 D 可以有相同的。笛卡尔积表示为： 可以有相同的。笛卡尔积表示为： D1╳D2 ╳ … Dn={(d1,d2,…dn)|di∈Di,i=1,2 …n} d n} 其中每一个元素(d 其中每一个元素(d1,d2,…dn)叫做一个n元组， 元素 d 叫做一个n元组， 简称为元组 元素中的每一个值d 叫做一个分量 元组。 分量。 简称为元组。元素中的每一个值di叫做一个分量。
一张二维表。 （1）数据结构：一张二维表。现实世界的实体 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 关系操作包括 操作。 （2）关系操作包括：查询和更新操作。 关系操作包括：查询和更新操作 查询操作包括：选择、投影、连接、 查询操作包括：选择、投影、连接、 操作。 除、并、交、差等操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 操作 特点： 对象和 都是集合 关系操作的特点 操作对象 结果都是 关系操作的特点：操作对象和结果都是集合
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
关系数据操作——关系代数_大学计算机_[共4页]
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166
关系有以下性质。
①元组在二维表中有唯一性，在同一个表中不存在完全相同的两个元组。
②二维表中元组的顺序无关，可以任意调换。
③元组中的各分量不能再分解。
④二维表中各属性名唯一。
⑤二维表中各属性的顺序无关，可以任意调换。
⑥列是同质的，即每一个列中的值取自于同一个值域。
8.3.3关系数据操作——关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询，作为研究关系数据语言的数学工具。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系数据库系统提供了完备的高级关系运算，支持对数据库的各种操作。
关系模型有严格的数学理论，使数据库的研究建立在比较坚实的数学基础上。
关系代数中的运算符可以分为四类：集合运算符、专门的关系运算符、比较运算符和逻辑运算符。
表8.6列出关系代数中的运算符，其中比较运算符和逻辑运算符用于配合专门的关系运算符构造表达式。
1．传统的集合运算
（1）并运算
关系R与关系S的并记为：
R∪S={t|t∈R∨t∈S}
其结果仍是n目关系，由属于R或属于S的元组组成，如图8.7所示。
传统的集合运算。
第四章 数据库设计基础——关系运算
3. 交（Intersection） ）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S）
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择（Selection） 选择（ ）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
关系运算除的概念 -回复
关系运算除的概念-回复题目：关系运算除的概念及详解引言：关系代数是计算机科学中关系型数据库的基础。
关系运算是关系代数中的一种基本操作，分为除运算、交、差、并、选择、投影、连接和自然连接等多种形式。
本文将详细介绍关系运算除的概念、用法以及相关示例。
一、概念解析：关系运算除是指在关系模型中，将两个关系R和S进行运算，得到一个新的关系，并且该关系中的每个元组在R中均出现，但是不在S中出现。
也就是说，除运算是找出在一个关系中但不在另一个关系中的元组。
除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。
二、除运算的符号和语法：除运算通常用符号“÷”表示。
在关系中，除运算的语法可以表示为：R÷S，其中R和S是两个关系。
三、除运算的实例分析：为了更好地理解除运算的概念，我们以一个具体的示例进行分析。
假设有以下两个关系表：R：A B1 a2 b3 c4 dS：C D1 x2 y3 z现在我们要进行R÷S运算。
1. 首先，我们需要找出关系R中的每个元组在关系S中是否存在。
根据示例表格，可以发现R中的A列对应的值1、2、3都存在于S关系的C 列中。
2. 接下来，我们需要找出关系R中的每个元组是否在关系S中出现。
根据示例，关系R中的A列对应的值4在S关系的C列中不存在。
3. 根据除运算的定义，我们需要找出在R中但不在S中的元组。
所以除运算的结果为：A B4 d四、除运算的计算规则：1. 除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。
2. 除运算的结果关系的属性集合与被除关系相同，即结果关系的属性集合等于被除关系的属性集合。
3. 除运算的结果关系的每个元组在被除关系中均出现，但是不在除数关系中出现。
五、除运算的应用场景：1. 考虑一个学生选课系统，其中有一个学生成绩表和一个课程表。
除运算可以应用于找出没有选课的学生信息。
2. 在生产管理中，除运算可以帮助我们找出没有完成生产的产品。
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
第4章 关系运算
自学考试《数据库原理》
连接（Join） 1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的 元组 R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关 系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比 较关系的元组。
自学考试《数据库原理》
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等 的那些元组，即等值连接为： R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] } 自然连接（Natural join）
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假 定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它 和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能 匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
自学考试《数据库原理》
专门的关系运算符 不仅涉及行而且涉及列 算术比较符 辅助专门的关系运算符进行操作 逻辑运算符 辅助专门的关系运算符进行操作 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） R n目关系，k1个元组 S m目关系，k2个元组 R×S 列：（n+m）列的元组的集合
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
示例： 找出工资在800元以上的老师 {t | tPROF t[SAL] > 800} 找出工资在800元以上的老师的姓名 {t | sPROF ( t[PNAME] s[PNAME] s[SAL] > 800 )} 给出计算机系老师的姓名 {t | uDEPT ( u[DNAME] = “计算机系” sPROF ( s[DNO] = u[DNO] t[PNAME] s[PNAME] ))} 求选修了全部课程的学生号 {t | uC ( sSC ( s[CNO] = u[CNO] t[SNO] s[SNO] ))} 求选修了张军同学所选修的全部课程的学生姓名 课程，张军选之 所求同学选之 {t | uC ( sSC wS ( s[CNO] = u[CNO] w[SNO] s[SNO] w[SNAME] = “张军” )) 元组关系演算与关系代数的等价性
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
数据库关系代数
数据库关系代数
关系运算及运算符
一、基本代数运算
1并
相同的合并成一列，不同的并起来成为RS
操作示意图：
2差
以R为基准，选择S没有的元组。
S中R中没有的不算。
操作示意图：
3笛卡尔
关系R为n列，k1元组、关系S为m列，k2元组。
R中每个k1与S每个k2组成新的关系。
4投影
二、扩展代数运算
1交
选择R和S相同的值。
操作示意图：
Θ相当与运算符，可以认为笛卡儿积是无条件连接，其他的是有条件连接。
等值连接的条件就相当于θ=“=”
Θ连接逻辑上是table之间先做笛卡儿积，再做对应选择操作
2.1等值连接
2.2自然连接
特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须相同属性组，将重复属性（字段）去掉
3除
同时从关系的水平方向和垂直方向同时运算操作示意图：
4外连接
如果把舍弃的元组保存在结果关系中，而其他属性填空值（null）
4.1左外连接
把左边关系R中要舍弃的元组保留。
先自然连接，成为ABCE。
以左边的为基准，所以B列的b5没了。
4.2右外连接
把右边关系S中要舍弃的元组保留。
先自然连接，以右边的S为基准，保留B列共同的值，R中的b4没有所以删除了。
4.3全外连接
不满足R.B=S.B的元组保留。
数据库关系代数
R S {trts | tr R ts S}
RS
AB
C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c1
a1 b3 c2
码．
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
2)在学以生上号S码-C．数据Sno库( 中C，no查= ‘询1’选v 修Cno了=‘13’号课程或3号课程的
(SC))
Sno( Cno = ‘1’ (SC)) U
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
关系代数：综合应用
2)查询选修了２号课程的学生的学号
19
IS
95004 张立 男
19
IS
Sno Sname Ssex Sage Sdept
95002 刘晨 女
19
IS
95003 王敏 女
18
MA
95004 张立 男
19
IS
关系代数：投影
定义：从关系R中选择出满足条件F的若 干属性列并组成新的关系，列选
F(R) {t[A] | t R}
A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上
诸分量的集合
A 则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}
后剩余的属性组
传统的集合运算 若R和S是同类关系(即它们都具有n个属性且相应属性
第四步：判断包含关系
数据库系统及应用-关系代数
关系代数
系代数
概述 传统的集合运算 专门的关系运算
数据库原理
1-2
关系模型与其他模型相比，最有特色的是它的数据库 语言。
这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强。 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查询、
更新和控制一体化的特点，而查询是最主要的部分。 所以说，关系数据库的核心部分是查询，故又称为查
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-8
并
A
B
C
a1 b1 c1
R∪S a1 b2 c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
数据库原理
A
B
C
a1 b1 c1
R
a1 b2 c2
a2 b2 c1
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-9
差
A
B
C
R-S a1
b1
c1
数据库原理
交（Intersection）
– 关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元 组组成，即R与S中相同的元组，组成一个新 关系，其结果仍为n目关系。记作：
–
R∩S={t|t∈Rt∈S}
– 如果两个关系没有相同的元组，那么它们的 交为空。
– 两个关系的并和差运算为基本运算（即不能 用其他运算表达的运算），而交运算为非基 本运算，交运算可以用差运算来表示：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集
合。
x1在R中的象集 Zx1={Z1,Z2,Z3} x2在R中的象集 Zx2={Z2,Z3}
数据库原理 第三章：关系数据库标准语言SQL
例5：查询选修全部课程的学生姓名。
RANGE SC X Course CX GET W (Student.SN) : CXSCX (SCX.SNO=Student.SNO∧O=O)
1、除运算÷（Division，亦称商）
用途：除法运算同时从行和列的角度进行运算，在表达某 些查询时有用，适合于包含“全部”之类的短语的查询， 例如“查询已注册选修了所有课程的学生名字”。
定义：给定关系 R（X，Y），S（Y，Z），X，Y，Z为属 性列，关系R和关系S中的Y出自相同域集，则： R÷S={tr[X]|tr∈R∧Πy(S)Yx} 其中，Yx为x在R中的象集，x= tr[X]。
② 逻辑运算符：∧（与）,∨（或）,┐（非）
③ 表示执行次序的括号：（）
其中，比较运算符的优先级高于逻辑运算符，可以使用（）改
变它们的优先级。
例1：查询所有男学生的姓名。
GET W (Student.Sname) : Student. Ssex = „男’
例2：查询信息系(IS)中年龄小于20岁的学生的学号和年龄
例3：查询S3同学所选课程名
RANGE SC X Course CX GET W (ame):X CX (o=o∧X.Sno=‟S3‟)
此查询涉及两个关系，对两个关系（Course和SC）作用存在 量词，所以用了两个元组变量。
例4：查询至少选修一门其先行课为6号课程的学生名字
操作条件中使用量词时必须用元组变量 例1：查询S3同学所选课程号
数据库关系代数
并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。
1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。
数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数关系型数据库-关系操作集合1、基本的关系操作关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。
查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。
2、关系数据语言的分类关系操作是通过关系语言来实现的。
关系语言的特点是高度非过程化，即：（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。
关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。
关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。
结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。
关系数据语言可以分为三类：关系代数语言、关系演算语言以及兼具两者双重特点的语言。
三类语言的共同特点是语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够独立使用也可以嵌入高级语言中使用。
3、关系代数操作包含三大要素：操作对象、操作符、操作结果。
数据库关系代数运算
数据库关系代数运算转⾃（1）基本概念① 属性和域：每个事物有很多属性，每个属性对应的取值范围叫做域，所有对域都是原⼦数据（第⼀范式）② 相关名词n元关系：R(D1,D2,D3...Dn)是n元关系，其中关系属性的个数称为“元数”，元组的个数称为“基数”，也就是记录值。
候选码：若关系中某⼀个属性或者属性组的值可以唯⼀的标识⼀个元组，则称为候选码主码：可以选择任意⼀个候选码作为主码主属性：包含在任何候选码中的属性叫作主属性全码：关系模型中所有属性都是这个关系模型的候选码，称为全码外码：关系模式中的属性⾮该关系的码，则称为外码③ 三种类型：基本表：实际存在的表查询表：查询结果对应的表视图表：由基本表和其他视图表导出的表，不是实际存在数据库中④ 完整性约束：实体完整性：主属性A不能为空值参照完整性：⽤实体之间的关系来描述，若F是关系R的外码，则F或者是空值，或者是某个元组的主码值⽤户定义完整性：根据具体关系数据的约束条件，⽐如数据范围等（2）关系五种基本运算① 并：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R U S,返回由R或者S元组构成的集合组成② 差：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R-S，右属于R但不属于S的元组组成③ ⼴义笛卡尔积：R×S由n⽬和m⽬的关系R,S组成⼀个（n+m）列的元组集合，若R有K1个元组，S有K2个元组，则R×S有K1*K2个元组④ 投影（π）：从关系的垂直⽅向开始运算，选择关系中的若⼲列组成新的列。
⑤ 选择（σ）：选择从关系的⽔平⽅向进⾏元算，选择满⾜给定条件的元组组成新的关系。
（3）扩展的关系代数运算① 交：R∩S=R-(R-S),R,S具有相同的关系模式② 链接：链接分为θ链接，等值链接和⾃然链接θ链接：从R,S的笛卡尔积中选择满⾜⼀定条件的元组等值链接：当θ为“=”时为等值链接⾃然链接：是⼀种特殊的等值链接，⽐较的分量必须是相同的属性组，并在结果集中去掉重复列，如果没有重复列，⾃然链接就转换为笛卡尔积③ 除：同时从⽔平⽅向和垂直⽅向进⾏运算，给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X,Y,Z为属性组，R÷S应当满⾜在X上的分量值x的像集Yx包含关系S在属性组Y上的投影集合：例如：R是：A B C Da b c da b e fa b h kb d e fb d d lc k c dc k e fS是:C Dc de f则R÷S：A Ba bc k④ ⼴义投影：⼴义投影运算容许在投影列表中使⽤算法运算，实现对投影运算的扩充，投影出的列不⼀定是原来的列，可以是通过计算出来的列。
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
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② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
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一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
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例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
数据库关系代数
关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,O,GRADE)课程关系C(O,AME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE O='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ O='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与XX------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND SC.O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ O='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系代数运算
数据库之关系运算
已知教室关系表(ClassRoom)如下，确定其元数、基数、候选键、 主属性和非主属性。
crNo CR001 CR002 crBuildingName 科教楼 科教楼 crRoomNo 101 102 crNumberOfSeat 60 45
CR003
CR004 CR005 CR006 CR007
stuNo S001 S002 S003 S004 S005 stuName 白玉芬 唐嘉芝 刘健鹏 田 洋 申一雅 stuSex 女 女 男 他 无 stuAge 19 18 21 19 -20 只能为正整 数
只能为'男'或' 女'
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关系完整性
思考
已知班级表和教室表如下，班级表的主键为班级编号，教室表的主 键为教室编号，判断它们是否违反实体完整性约束和参照完整性约 束，说明理由。
S003
S004 S005
刘健鹏
田 洋 申一雅
男
男 男
21
19 18
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关系数据结构
属性(Attribute)
关系中的列称为属性
stuNo S001 S002 S003 S004 S005
stuName 白玉芬 唐嘉芝 刘健鹏 田 洋 申一雅
stuSex 女 女 男 男 男
stuAge 19 18 21 19 18
102 103
201
45 45
120
2009-3-1
CR002 CR004
CR004
科教楼
2009-3-16
CR005
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关系运算
关系代数
关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算，它以集合代 数运算方法对关系进行数据操作