二次曲线方程的化简与分类
一般二次曲线化成标准型公式
一般二次曲线化成标准型公式一般二次曲线是指具有二次项的代数方程。
它可以表示为形如 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 的标准方程。
然而，有时我们可能需要将一般二次曲线化简为标准型公式，以便更好地理解和分析。
要将一般二次曲线化成标准型公式，我们需要完成以下步骤：第一步，观察二次项的系数。
如果B ≠ 0，则我们需要对方程进行旋转，以消除交叉项。
通过适当的旋转角度，我们可以让新的方程中的交叉项变为零。
第二步，完成旋转后，我们得到一个新的方程，其中交叉项已经消除。
这个方程可以表示为 Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0。
第三步，判断方程的类型。
如果 A 和 C 的符号相同，那么我们可以通过平移和缩放来将方程进一步化简为标准型。
如果 A 和 C 的符号不同，则这个方程表示一个双曲线，无法化为标准型。
第四步，如果 A 和 C 的符号相同，我们可以通过平移和缩放来将方程化简为标准型。
首先，我们可以通过平移来使方程中的线性项（即 Dx' + Ey'）消失。
然后，通过适当的缩放，我们可以使方程中二次项的系数相等。
最终，通过完成上述步骤，我们可以将一般二次曲线化成标准型公式，即表示为 x'^2/a^2 + y'^2/b^2 = 1（椭圆）、x'^2/a^2 - y'^2/b^2 = 1（双曲线）或 y'^2 = 4ax'（抛物线）。
这些标准型方程具有简洁的形式，更容易理解和分析。
总之，将一般二次曲线化成标准型公式需要经过一系列的步骤，包括旋转、判断类型以及平移和缩放。
通过化简，我们可以获得更加简洁和易于理解的标准型方程，以便更好地研究二次曲线的性质和特点。
二次曲线方程的化简和作图
目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。
纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。
本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1） 表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （4） 从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5） 把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解 因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ， 即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ， 这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7） 现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。
二次曲线方程的分类与化简
二次曲线方程的分类与化简§7 二次曲线方程的化简与分类一方程的化简：1 中心曲线方程的化简：对中心曲线F（x,y）=0，令O′（，）为其中心，若将坐标原点平移至O′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为（1）由于，∴全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x′，y′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）例1：化简二次曲线方程x²-xy+y²+4x-2y=0解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0取坐标变换公式即代入原方程有x′²+3y′²-8=0即2 无心曲线方程的化简：对无心曲线F（x,y）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即方程简化为由于∴有且仅有一为0，不妨设=0 ，再配方有作平移则方程最终简化为（2）由于∴从而无心曲线（2）关于x″轴对称，即x″轴是其一主直径，且x″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。
可见以无心曲线的主直径作为x′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y′轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2）例2：化简二次曲线方程x²+2xy+y²+2x-2y=0解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换，为即代入原方程并化简为3 线心曲线方程的化简：对于线心曲线F（x,y）=0，取一中心（，），并作平移变换即可消去方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方程简化为由于∴有且仅有一为0，不妨设，则线心曲线方程化简为（3）由于，∴曲线（3）关于x′轴对称，可见新坐标系的x′轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3）例3：化简二次曲线方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0解：可以验证所给曲线是线心曲线，其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0，作坐标变换即代入原方程并化简得总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论：选取适当坐标系，可使中心二次曲线的方程的化简为无心二次曲线的方程的化简为线心二次曲线的方程的化简为二二次曲线的分类：1°对于中心曲线，其方程可化简为（I）当，令A=，B=，则（I）为 Ax²+By²=1若A，B>0，令A= ，B=，则（I）为[1] ——椭圆若A，B<0，令A=-，B=-，则（I）为[2] ————虚椭圆若A>0，B<0,令A=，B=-，则（I）为[3] ————双曲线同理当A<0，B>0时，也是双曲线当时，令A=，B=，则（I）为[4] ————一点同理，若A，B<0,则（I）也为一点若A>0,B<0，令A=，B=-，则（I）为[5] —————二相交直线同理若A<0，B>0,则（I）也为二相交直线。
二次曲线方程化简与分类的矩阵表示
二次曲线方程化简与分类的矩阵表示冯福存【摘要】利用二次曲线的方程与实对称矩阵的对应关系及矩阵的秩是合同变换的不变量,通过合同变换和二次曲线的特征向量的几何含义,引出并证明了三个新的定理,讨论了二次曲线的化简与分类.最后结合实例,说明三个定理在二次曲线方程化简和作图中的具体应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】7页(P37-43)【关键词】二次曲线;实对称矩阵;合同变换;化简;分类【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21平面二次曲线的化简、作图与分类不仅是大学本科阶段空间解析几何研究的主要内容之一，而且对中学圆锥曲线内容的教学有非常重要的指导作用．如何把二次曲线的方程进行化简、做出二次曲线的图形并对二次曲线进行分类具有重要的教学和研究价值．目前，各种教材[1-3]及相关文献资料[4-6]给出了二次曲线化简的四种方法：坐标变换法；主直径、主方向法；不变量与半不变量法；因式分解法．这四种方法中前两种是纯几何的方法，便于作图但化简过程太复杂，需要掌握的量较多；后两种方法是纯代数的方法，能快速的将二次曲线化为最简形式，但不易作图.本文通过深入分析二次曲线的相关知识点，挖掘其深刻的几何背景，运用代数与几何相结合的方法，得出一种既易于二次曲线的方程化简又易于作图和分类的简便方法，以便为学生的自主性学习和教师的研究型教学提供一定的指导和参考．平面二次曲线的方程为定义1 二次型的矩阵的秩称为二次型的秩，二次曲线的矩阵的秩称为二次曲线的秩．定义2 设X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，Y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn，若存在C∈Rn×n，使得X=CY，称为由X到Y的一个线性变换．若r(C)=n，则称线性变换X=CY是可逆的．需要注意的是此定义中的X,Y的分量xi,yi(i=1,2,…,n)若任意取值，则该定义可认为是一个线性变换，但若某一个xi或yi是确定的实数，则该定义只能是变换而不一定是线性变换．定义3 A,B∈Rn×n，若存在C∈Rn×n，且r(C)=n,使得B=CTAC成立，称A与B合同．定义4 若有可逆的变换X=CY使得A,B∈Rn×n满足B=CTAC，则称变换X=CY 为合同变换．由以上定义可知，合同矩阵具有相同的秩．定义5[7] Rn中的变换φ若保持任意两个向量间的距离不变，即定理1[8] 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式．定理2[8] 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵P，使PTAP=P-1AP成对角形．定理3 对称矩阵只能合同于对称矩阵．证明设A与B合同，且A为对称矩阵，那么存在可逆矩阵C使得B=CTAC，则BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B，故合同变换将对称矩阵变为对称矩阵．定理4[7] Rn中的等距变换有以下性质：1)两个等距变换的乘积仍是等距变换；2)φ是等距变换，且φ(0)=0，则φ是正交变换．反之亦然；3)任一等距变换可唯一的分解为一个正交变换与一个平移变换之积；4)等距变换是可逆的，逆也是等距变换．因为X,Y∈Rn，若r(C)=n，从几何角度看，变换X=CY可看做n维向量空间中的一个坐标变换，若C为正交矩阵，变换X=CY可看作右手直角坐标系下的旋转变换，若C为等距变换所对应的矩阵，变换X=CY可看作一个旋转变换与一个平移变换的复合．平面二次曲线的方程化简的本质就是适当的选择直角坐标系使得方程形式最简单，而坐标系的建立就是确定坐标轴的方向和原点的位置．由解析几何[1]的理论知当二次曲线的对称轴与其主方向一致时，方程形式可以大大简化．因此建立坐标系时让坐标轴与二次曲线的主方向一致，再取一个合适的点为原点，这时二次曲线的方程为最简形式．主方向的本质是二次曲线的特征值所对应的特征向量．二次曲线的特征值就是二次曲线的矩阵的特征值，而二次曲线的矩阵为实对称矩阵，这样对二次曲线的方程化简与分类的讨论，其本质就是对二次曲线的矩阵的化简和最简形式的讨论，这样便可将几何问题的讨论转化为矩阵问题．而矩阵化简的本质是利用可逆变换将矩阵化为对角形(若不能化为对角形退而求其次化为准对角形)，因为对角形是最简单的矩阵，而在变换的过程中，矩阵的秩是可逆变换的不变量．因此，可以利用二次型(3)的秩和二次曲线(1)的秩的关系来对二次曲线的方程进行化简与分类．因为平面二次曲线(1)的矩阵是一个三阶实对称矩阵，若把平面上任一点的坐标(x,y)写成其齐次坐标(x,y,1)，则(2)可看做关于变量为x,y,1的二次型，令X=(x,y,1)，用矩阵乘积的表示形式(2)式可写为有了前面的理论分析，下面可以通过与A的秩的关系化简和分类二次曲线，并绘制二次曲线的图形．定理5 当(A)<3时，二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+λ2y′2=0，所做的坐标变换为其中λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点在二次曲线(1)上．证明由A∈R2×2是二次型(3)的矩阵，设λ1,λ2为A的特征值，利用二次型理论知存在正交矩阵P∈R2×2，使得．又为对称矩阵，且)=r(A)<3，可知合同于，由分块矩阵理论可知存在向量δ∈R2×1，有可逆矩阵使得可知Aδ+b=0,f(δ)=0，说明以δ为坐标的点在二次曲线上(1)．此时所做的合同变换为，即定理6 当(A)+1时，二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+λ2y′2+c1=0，所做的坐标变换为其中c1≠0，λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点不在二次曲线(1)上．证明由定理5的证明可知λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，由为对称矩阵，且)=r(A)+1，可知合同于，此时c1≠0,否则)=r(A)，由分块矩阵理论可知存在向量δ∈R2×1，有可逆矩阵使得可知Aδ+b=0，且f(δ)=c1≠0，说明以δ为坐标的点不在二次曲线(1)上．由定理5的证明可知二次曲线(1)的方程化简为λ1x′2+λ2y′2+c1=0所做的坐标变换为定理7 当(A)+2时,二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+2c1y′=0，所做的坐标变换为其中c1≠0，λ1为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点在二次曲线(1)上．证明因为讨论的是二次曲线，r(A)≥1，又是三阶方阵，)≤3，所以对于本命题所讨论的情况只能是)=3．这时A的特征根肯定有一个为零，一个不为零，不妨设λ1≠0，由定理5的证明和定理3可知此时二次曲线(1)的矩阵合同于，且c1≠0,否则)=r(A)=1．这时有正交矩阵P与向量δ∈R2×1，使得由分块矩阵理论可知此时f(δ)=0，说明以δ为坐标的点在二次曲线(1)上．由定理5的证明可知，变成所做的坐标变换为+δ．如果按照的秩可将二次曲线分为：退化二次曲线和非退化二次曲线．退化二次曲线当时，表示两条相交直线；当时，表示两条重合直线；当时，表示两条平行直线．非退化二次曲线)=3)当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当r(A)=1时，表示抛物线．如果按照A的秩可将二次曲线分为：中心二次曲线≠0，即r(A)=2)和非中心二次曲线=0，即r(A)=1)．中心二次曲线，即r(A)=2)当时，表示椭圆；当=0时，表示相交虚直线；当时，表示双曲线；当=0时，表示相交实直线．非中心二次曲线，即r(A)=1)无心二次曲线：，表示抛物线；线心二次曲线：当)=r(A)=1时，表示两条重合直线；当时，表示两条平行直线．例化简二次曲线的方程x2-xy+y2+2x-4y=0，并画出几何图形．解.特征多项式为得特征根为，由Aδ+b=0，解得所以合同于，故二次曲线的方程的简化形式为y′2-4=0．可判断二次曲线为椭圆．若要绘制此椭圆的图形，由特征根可计算得正交矩阵，所以二次曲线化为最简形的坐标变换为。
一般二次曲线的化简与分类
例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。
解 由于I2=1×4-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为θ,则有
得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有：
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的.
中心方程组
2x3y100,
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴3变x换2y100.
原方程化为
再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为
x x 2,
y
y
2,
x23xyy210
cot2θ 1310 x
1 ( x y ), 2
4
y
1 ( x y ). 2
4、转轴变换公式 ：
x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
标准方程是 6x2 y2 12 O'
这是一个椭圆,如图所示.
2
2
O"
x'
x2 y12 1 作图要中点坐：标要系比O-较xy准平确移地到画(2,出1)成新O旧'-坐x'y标',再系把和坐曲标线系的O图'-形x'y,'必旋须转掌角握得好O比"-x例"y、".在新新旧坐原O 标点系的O位"-置x"以y"及中坐根标据轴椭的圆旋的转标角准.本方x 题程
学位论文-—二次曲线的方程化简、作图及分类教学与应用数学
本科毕业论文题目：二次曲线的方程化简、作图及分类学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：曹振佐指导教师：李秀兰职称：教授完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲线的方程化简、作图及分类摘要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了.关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换目录1 引言 (4)2预备知识 (4)3 二次曲线的方程的化简 (5)3.1用坐标变换化简二次曲线 (5)3.1.1 化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy项的二次曲线 (6)3.1.2 利用转轴化简含有xy项的二次曲线 (6)3.1.3 一般二次曲线方程的化简 (7)3.1.3.1 中心曲线的化简 (7)3.1.3.2 非中心二次曲线的化简 (8)3.2通过主直径,主方向化简二次曲线 (8)3.2.1 中心曲线的化简 (9)3.2.2 无心曲线的化简 (9)3.2.3 线心曲线的化简 (10)3.3用不变量、半不变量化简二次曲线 (11)3.3.1 中心曲线的化简 (11)3.3.2 无心曲线的化简 (11)3.3.3 线心曲线的化简 (12)3.4正交变换化简二次曲线 (12)3.5合同变换法化简有心二次曲线 (13)4 二次曲线的方程的作图 (15)4.1中心二次曲线的作图方法 (15)4.2无心二次曲线的作图方法 (16)4.3线心二次曲线的作图方法 (18)5 二次曲线的方程分类 (18)5.1二次曲线的分类 (18)参考文献 (19)1 引言我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量321I I I ，，以及1K 完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.2 预备知识在平面直角坐标系xy O -上,由二元一次方程022233231322212211=+++++a y a x a y a a x a )1(所表示的曲线,叫做二次曲线.我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.为了方便起见,我们引进下面一些记号:33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++≡ ,1312111),(a y a x a y x F ++≡ , 2322122),(a y a x a y x F ++≡ , 3323133),(a y a x a y x F ++≡ , 222122112),(y a xy a x a y x ++≡Φ , 这样我们容易验证,下面的恒等式成立),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ ,)1(式也就可以写成),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ . 我们把),(y x F 的系数所排成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211a a a a a a a a a A叫做二次曲线）（1的矩阵.），（y x Φ的系数所排成的矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211*a a a aA 叫做），（y x Φ的矩阵.显然二次曲线)1(的矩阵A 的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是),(),,(),,(321y x F y x F y x F 的系数.下面我们引用加个符号22111a a +=I ,221212112a a a a =I ,3323132322121312113a a a a a a a a a =I ,33232322331313111a a a a a a a a+=K .这里的1I 是矩阵*A 的主对角元素的和,2I 是矩阵*A 的行列式,3I 是矩阵A 的行列式.3 二次曲线的方程的化简 3.1 用坐标变换化简二次曲线 3.1.1 化简缺少xy 项的二次曲线3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy 项的二次曲线方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心),(00y x 的坐标00,y x 由中心方程组⎩⎨⎧=++=++,0,0232212131211a y a x a a y a x a )2( 给出. 这样将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,0'0'y y y x x x 代入原方程,即可化简原二次曲线. 例1 化简二次曲线方程01162422=+--+y x y x .解 二次曲线的系数矩阵 101048181A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 因为 0440012≠==I ,所以 此曲线是中心二次曲线.由中心方程组)2(得⎩⎨⎧=-=-，084,01y x解 2,100==y x .可得 变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=，2,1''y y x x 代入原方程, 整理得 016422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy 项的二次曲线例2 化简二次曲线方程010*********=++-+y x y x .解 将方程的左端配方,得: 036)2(9)5(422=-++-y x .令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,5''y y x x可得 变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,5''y y x x 于是方程化为0369422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.2 利用转轴化简含有xy 项的二次曲线方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式12221122cot a a a -=α )3( 给出. 然后将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,cos sin ,sin cos ''''ααααy x y y x x 代入原方程. 例3 化简二次曲线方程080609241622=+++-y x y xy x .解 这里242,9,16122211-===a a a .由)3(得 247249162cot -=--=α,257)247(12472cos 2-=-+-=α, 542257122cos 1sin =+=-=αα, 532257122cos 1cos =-=+=αα, 所以 转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=),34(51cos sin ),43(51sin cos ''''''''y x y x y y x y x x αααα代入原方程,整理得'2'4x y -=.(抛物线) 3.1.3 一般二次曲线方程的化简 3.1.3.1 中心曲线的化简方法 一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解 因为 0541232312≠-=--=I 即此曲线为中心曲线. 先移轴,由中心方程组得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-,0523,0523y x y x解得 ⎩⎨⎧=-=.2,200y x故移轴公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,2''y y x x 代入原方程,整理得0132'''2'=++-y y x x . )4(对方程)4(进行转轴 1,1,23,133'22'12'11'==-==a a a a .031122cot 12'22'11'=-=-=a a a α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''''''''y x y y x x 代入方程)4( 整理得最简方程为 0125212''2''=++-y x .(双曲线) 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简方法 一般采用先转轴后移轴进行化简 例5 化简二次曲线方程0168222=+++-y y xy x .解 因为 01111112=-=--=I , 所以此曲线是非中心曲线.先进行转轴 02112cot =-=α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''y x y y x x 代入原方程,得 01624242''2'=++-y x y . )5( 对)5(进行移轴( 实质配方),得:)23(22)2('2'-=+x y .令 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,23,2''''''x x y y 则变换公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,23,2''''''x x y y 则原方程化简为 ''2''22x y =.(抛物线) 3.2 通过主直径,主方向化简二次曲线方法 一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含xy 项.3.2.1 中心曲线的化简方法 取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.例6 化简二次曲线方程0122422=++++-y x y xy x .解 因为 2111=+=I , 0312212≠-=--=I ,所以 此曲线是中心曲线.其特征方程为0322=--λλ,因此两特征根为11-=λ, 32=λ.由11-=λ, 32=λ分别对应的两个主方向为1:1:11=Y X ,1:1:22-=Y X . 由两主方向决定的主直径分别为02=-+y x 和0=-y x 取二主直径为新坐标系轴, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=,2,22''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,1)(22,1)(22''''y x y y x x 代入原方程,化简得 132'2'=-y x .(双曲线)3.2.2 无心曲线的化简方法 取它的唯一的一个主直径为x 轴,过顶点垂直于主直径的直线为y 轴建立坐标系(顶点为坐标原点)例7 化简二次曲线方程0168222=+-+-x y xy x .解 这里0,4,1,1,12313221211=-==-==a a a a a .因为231322121211a a a a a a ≠= ,所以 此曲线是无心曲线. 因为 0,221==I I .其特征方程为022=-λλ,因此两特征根为0,221==λλ.对应于21=λ的非渐近主方向为1:1:11-=Y X .取主直径为 02=--y x 为新坐标系'x 轴,主直径与曲线的交点即顶点为)21,25(过顶点且以非渐近主方向11:Y X 为方向的直线方程为)25(21--=-x y 即03=-+y x .则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+=,22,23''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,21)(22,25)(22''''y x y y x x 代入原方程,整理得 '2'22x y =.(抛物线) 3.2.3 线心曲线的化简方法 取它的中心直线为x 轴,任取垂直它的直线为y 轴,建立坐标系. 例8 化简二次曲线方程0322222=--++-y x y xy x .解 因为,231322121211a a a a a a ==所以此曲线是线心曲线. 唯一的主直径为 01=+-y x .取主直径为新系的'x 轴,取任一垂直它的直线如0=+y x 为'y 轴,这时变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+=,21,2''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=,21)(22,21)(22''''y x y y x x 代入原方程,得22'±=y .(两条平行直线) 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 3.3.1 中心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为0232'22'1=++I I y x λλ 例9 化简二次曲线方程0121252522=--++y x y xy x .解 ,288,24,10321-===I I I 特征方程为024102=+-λλ.因此两特征根为.4,621==λλ可知最简形式为 024288462'2=-++y x‘. 即 1322'2'=+y x .(椭圆)3.3.2 无心曲线的化简方法 用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为02'132'1=-±x I I y I . 例10 化简二次曲线方程048222=+-++x y xy x .解 因为 01644011411,01111,2321≠-=--====I I I . 它的最简形式为 0216222'=--±‘x y . 即 022'2'=±x y .(抛物线) 3.3.3 线心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为:0112'1=+I K y I 例11 化简二次曲线方程0322222=-++++y x y xy x .解 这里,231322121211a a a a a a == 即此曲线是线心曲线. 831113111,211-=-+-==K I . 所以 它的最简形式为:02822'=-+y . 即 2'±=y .(两条平行的直线) 3.4 正交变换化简二次曲线方法 任意实二次型AX X x x ax x x f T i j i ijn ==∑∑==n1n1j 21),,( ,都可以用正交变换QY X =化为平方和2222211n n y y y f λλλ+++= . 这里),2,1(n i i =λ是A 的全部特征根.例12 化简二次曲线方程024241222=+-++y x y xy x .解 上式中所有二次项构成实二次型2212),(y xy x y x f ++=.它的系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1661A .特征矩阵)5)(7(1661)(+-=----=A -E =λλλλλλf . 即 A 的特征根为 5,721-==λλ.当5,721-==λλ时,A 的特征向量分别为)1,1(),1,1(21-==αα单位化得)21,21(),21,21(21-==ββ.以21,ββ为列向量,作正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121Q , 正交变换为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,2121,2121''''y x y y x x代入原方程,得 0857'2''=+-y y x .配方得 0516)45(572''=+--y x . 令⎪⎩⎪⎨⎧-==,45,''''''y y x x 则坐标交换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=,5222121,5222121''''''''y x y y x x 得标准方程为516572''2''-=-y x .(双曲线)3.5 合同变换法化简有心二次曲线方法 对矩阵A 作合同变换,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡333231232221131211321.........000000c c c c c c c c c d d d E A . 所作变换为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=,,23'22'2113'12'11c y c x c y c y c x c x 这样)1(式就化简成0),(32'22'1=++≡d y d x d y x F例13 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=215551235231A . 因为451232312-=--=I ,所以 此曲线为中心曲线.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥. 这样经变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 使原方程化为 01452'2'=+-y x .(双曲线) 检验 把变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 代入原方程,并整理得01452'2'=+-y x . 经检验,此方法对中心曲线是成立的. 4 二次曲线的方程的作图 4.1 中心二次曲线的作图方法对中心二次曲线0),(:=y x F C 利用不变量可将其简化方程表为0232'22'1=++I I y x λλ. )6( 其中21,λλ是曲线C 的两特征根,且'',y x 轴分别沿1λ和2λ对应的主方向.因此x '轴关于原坐标系中x 轴的倾角α满足2212112111tan a a a a X Y -=-==λλα. 可见要从中心二次曲线C 的简化方程)6(作出其图形,只需以过C 的中心),(00'y x O 且与原坐标系中x 轴的倾角为α直线作为'x 轴,建立直角坐标系'''y x O -,然后在该坐标系下作出)6(所表示的曲线即可.例14 求二次曲线042226565:22=-+-+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形.解 因为 不变量128,16,10321-===I I I . 所以解特征方程 016102=+-λλ. 即得曲线C 的两特征根,8,221==λλ且由823-=I I .得曲线的简化方程为 08822'2'=-+y x .即 142'2'=+y x (椭圆)另外通过解中心方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--,0253,02335y x y x 可得曲线的中心 )241,243('O . 过'O 作与x 轴的倾角41arctan πα==的直线 22--y x ,并以此作为'x 轴建立直角坐标系'''y x O -,且在该坐标系下作出方程142'2'=+y x (椭圆)所表示的曲线,如图1所示.4.2 对无心二次曲线0),(:C =y x F ,由于2211,a a 同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为012'1312'=-±x I I I y 其中±号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方程为 012'1312'=--x I I I y )7( 不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点O '是曲线的顶点(主直径与曲线的交点).对任意点P ,若设其在旧、新坐标系的坐标为),(y x 和),(''y x ,则数),(y x F 与012'1312'=-±x I I I y 至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点)0,(x P （或),0(y P ）的坐标使0)0,(<x F （或0),0(<y F ）则向量P O '便指向'x 轴的正向（因'x 轴正向上的点)0,(x P 使'1312'12x I I I y -±为负), 否则,便指向'x 轴的负向.可见要从简化方程)7(画出无心二次曲线0),(:C =y x F 的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点),(00'y x O ,并选取主直径上一点)0,(x P （或),0(y P ）若0)0,(<x F （或0),0(<y F ）,则以O '作为原点,以向量P O '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -;若0)0,(>x F （或0),0(>y F ）则以O '作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -,并在该坐标系下作出方程)7(所表示的曲线即可.例15 求二次曲线0256102:22=+--+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解 对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ≠=. 所以 曲线是无心的.因为 曲线的不变量6402321-===I I I ，，,所以曲线的简化方程为 024'2'=-x y . )8(又曲线的主直径为01=--y x ,顶点为)1,2('O .取主直径上一点)0,1(P ,由于0)0,1(>F ,所以只需以'O 作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -并在该坐标系下作出方程)8(所表示的曲线即可,如图2所示.4.3 线心二次曲线的作图方法对线心二次曲线0),(:C =y x F 利用不变量可将其简化方程表为02112'=+I K y . （9）不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴（主直径）,所以若曲线的不变量01=K ,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若01<K ,只需作出与主直径0131211=++a y a x a 平行的二直线012211211131211=+-±++a a I K a y a x a 即可.例16 求二次曲线03222:22=--++-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解 对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ==. 所以曲线是线心的.因为二次曲线的不变量802321-===I I I ，，,又曲线的主直径为01=+-y x ,所以只需在原坐标系下作出直线021=±+-y x ,即为要作的曲线的图形,如图3所示.5 5.1 二次曲线的分类通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:[1]12222=+by a x (椭圆)；[2]12222-=+by a x (虚椭圆)；[3]12222=-by a x (双曲线)；[4]02222=+b y a x (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5]02222=-by a x (两相交直线)；[6]px y 22=(抛物线)； [7]22a y =(两条平行直线)； [8]22a y -=(两平行共轭虚直线)； [9]02=y (两重合直线)；参考文献:[1]吕林根,许子道.解析几何[M].第4版.北京:高等教育出版社,2006.[2]甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题[J].安庆师范学院学报,2004,10(2):45-47.[3]吕林根.解析几何学习指导书[M]北京:高等教育出版社,2006.[4]廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81. [5]傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2001,21(2):72-74.[6]苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. [7]林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[8]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(20):6 -13. [9]Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve Equation[J].Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.[10] Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by ParameterFunctions[J].High School Mathematics Teaching,1994,24-25.Second Curve Equation ReductionMapping And ClassificationAbstract:In this paper, we give the conic simplified methods, including several for contract transformation method for simplified center a bit conic are discussed . From the conic by not variable simplified equation said conic mapping is given a new method . Offsetting the knows only through calculating invariant simplified equation and can't in the original coordinate draw the second curve graphics defects. Specifically we use the quadratic curves for the new coordinate the Lord made diameter of coordinate transformation to the simplified general quadric curve equation. Thus the geometry of the conic theory and algebra theory naturally relates in together, generally makes the second curve equation according to the simplified, mapping and the metric standard equationconic classification also is briefly finish together.Key Words: Coordinate transformation; invarient; Lord diameter; Main directions; Contract exchange本科毕业论文题目：逼近法的相关研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：晁燕萍指导教师：许芝卉职称：副教授完成日期： 2011 年 5 月 20 日逼近法的相关研究摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近目录1引言 (1)2二分逼近法 (1)1.2二分逼近法的典型证明方式 (1)2.2二分逼近法在数学分析中的应用 (2)3逐次逼近法以及在泛函分析中的应用 (3)4逐步逼近法 (5)1.4逐步逼近法在微分方程中的应用 (5)2.4一次同余式组的逐步逼近解法 (9)1.2.4用剩余定理求解的方法 (9)2.2.4逐步逼近法 (10)3.2.4两种解法计算量的比较 (12)参考文献 (13)1 引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列{}n a 以A 为极限,其意即为用n a a a ,,,21 去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.2 二分逼近法1.2 二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质p 的实数,则可以从一个具有相应性质*P 的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质p 的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质*P .(*P 由性质p 决定)2）逐次二等分得到闭区间列[]{}m m B A ,,则所有的闭区间都具有性质*P ,且1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤(亦可写成：[][][][] ⊃⊃⊃⊃⊃m m B A B A B A B A ,,,,332211) 从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()021l i m l i m =-=-∞→∞→m m m m m m m A B A B 3）由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间,使k 满足：()i 具有性质p .这是由于k 属于所有的闭区间,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形象的表示为：m m B k A ←→ ∞→m因而, k 的任意小的邻域内()εε+-k k ,都包含[]m m B A ,（m 足够大）,于是()εε+-k k ,具有*P ,故k 具有性质p .()ii k 是唯一的.事实上,若k 不唯一,设k k '≠,且满足m m B k A ←→,m m B k A ←'→,则对任何m , m m A k B k >'<,,得到m m A B k k -≤'-,而()0lim =-∞→m m m A B ,故k k '=,即k 唯一.2.2 二分逼近法在数学分析中的应用例1 设在[]b a ,上连续的单调递增函数()x f 满足:b b f a a f <>)(,)(,则存在),(b a c ∈,使()c c f =.证明 令11,B b A a ==,将[]11,B A 二等分,分点为211B A +, 若221111B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立. 若221111B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,,2B A B B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 若221111B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,2,B A B A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 逐次二等分区间,一般的对于区间[]m m B A ,,若22m m m m B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立; 否则,若22m m m m B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,,2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B B A , 若22m m m m B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,2,++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B A A . 从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()i1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤且 ()0l i m=-∞→m m m A B()ii ()()m m m m B B f A A f <>,于是可知存在实数c ,使()∞→←→m B c A m m ,由于()x f 单增,所以()()()m m B f c f A f ≤≤,即:()()()m m m m B B f c f A f A <≤≤< 令()c c f m =∞→,上述证明中,所求的数c 具有的性质p :()c c f =,而构造的闭区间[]{}m m B A ,具有性 质*P ,则确定为()()m m m m B B f A A f <>,,从而得到夹逼数列{},m A {}m B 将c “逼出”.在不同问题的论证中性质p 与相应的*P 是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实 际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.3 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明 设()d X X ,=是完备的度量空间,T ：X →X 是压缩映射, 即对于任意X y x ∈,,不等式()()y x d Ty Tx d ,,θ≤成立,其中θ是满足不等式10<≤θ的常数.先证映射T 有不动点.构造X 中的序列{}n x .任取X x ∈0,并令()010201201,,,x T Tx x x T Tx T Tx x Tx x n n n =======- () 2,1=n , 我们证明{}n x 是X 中的基本点列,事实上,()()()()00101021,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ=≤=()()()()0022112132,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ≤≤=……… 一般地,可以证明()()001,,Tx x d x x d n n n θ≤+ () ,3,2,1=n于是,对自然数n 与k n +,由广义三角不等式得()()()()n n k n k n k n k n n k n x x d x x d x x d x x d ,,,,1211+-+-+-++++++≤()()0021,Tx x d n k n k n θθθ+++≤-+-+()00,1Tx x d kn n θθθ--=+ ()00,1Tx x d nθθ-≤对任何给定的0>ε,只有n 充分大,则()εθθ<-01,1x x d n因而{}n x 是柯西序列.又因X 是完备的,柯西序列{}n x 是收敛的, 即存在X x ∈,使x x n n =∞→lim ,再由于T 是压缩映射,必为连续映射, 于是.在n n Tx x =+1中,令∞→n ,得到x x T =即x 是不动点.再证唯一性.若x 不唯一,设不动点x x ≠',则x x T '=', 于是存在10<≤θ使()()()x x d x T x T d x x d '='=',,,θ则必有()0,='x x d ,故x x '=,则T 有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.4 逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.1.4 逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程. 1） 现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想. 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程()dx y x f y y xx ⎰+=0,0的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数()x 0ϕ代入上面积分方程右端的y ,就得到函数()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ显然()x 1ϕ也是连续函数,如果()x 1ϕ=()x 0ϕ,那么()x 0ϕ就是积分方程的解,否则,我们又把()x 1ϕ代入积分方程右端的y ,得到()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ如果()x 2ϕ=()x 1ϕ,那么()x 1ϕ就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,一般地,作函数()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ ()1这样就得到连续函数序列()()() ,,,,10x x x n ϕϕϕ如果()()x x n n ϕϕ=+1,那么()x n ϕ就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数()x ϕ,即()()x x n n ϕϕ=∞→lim存在,因而对()1式取极限时,就得到()()()dx x x f y x xx n n n n ⎰-∞→∞→+=010,lim lim ϕϕ()()dx x x f y xx n n ⎰-∞→+=010,lim ϕ()()dx x x f y xx ⎰+=0,0ϕ,即()()()dx x x f y x xx⎰+=0,0ϕϕ,这就是说,()x ϕ是积分方程的解.这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法.2）一阶微分方程解的存在唯一性定理：设()b a f ,在R 上连续且满足利普希茨条件,则方程()y x f dxdy,= ()1 存在唯一解()x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件()00y x =ϕ ()2这里()()y a f M Mba h Ry x ,max ,,min ,∈=⎪⎭⎫⎝⎛=证明 在区间h x x ≤-0上构造一个连续的函数序列(){}x n ϕ 以()x 0ϕ代入方程()1得 ()()x x f dxdy0,ϕ= ()3 则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ是()3的且满足条件()2的解 再以()x 1ϕ代入方程()1得()()x x f dxdy1,ϕ= ()4则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ是()4的且满足条件()2的解 一般地,继续这一步骤得到()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ是方程()()x x f dxdyn 1,-=ϕ 的且满足条件()2的解,从而得到函数序列(){}x n ϕ,可以证明该序列存在极限函数()x ϕ,从而有：()()()dx x x f y x xx ⎰+=0,0ϕϕ是()1的且满足条件()2的解.虽然我们对定理证明只给给予一个简单的叙述,但还是可以体会出逼近法思想在证明中所发挥的关键作用,然而逼近法的作用不仅仅是证明,它还提供了求近似解的途径.以下通过几个实例来体会逼近法在近似计算中的应用.例3 用皮卡逼近法求微分方程1=dxdy过点()1,1的解. 解 这里()1,1,1,00===y x y x f()()()⎰⎰+=+=-xx x n n d d f y x 11011,0ςςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x x =1ϕ()()x x 01ϕϕ≠,把()x 1ϕ代入()1可得 ()x x =2ϕ,故()()x x 12ϕϕ=,由逐步逼近法 ()x x =1ϕ是微分方程1=dxdy,过点()1,1的解. 例4 用皮卡逼近法求微分方程y dxdy=过点()1,0的解 解 这里()1,0,,00===y x y y x f()()()()⎰⎰--+=+=xn x x n n d d f y x 01101,0ςςϕςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x d x x+=+=⎰1101ςϕ()1!21)1(1202++=++=⎰x x d x xςςϕ()1!21!31)1!21(123203+++=+++=⎰x x x d x x ςςςϕ……由数学归纳法可得：()().1!11!11!11+++-+=-x x n x n x n n n ϕ显然()()x x n n ϕϕ≠+1 () ,3,2,1=n∑∞=0!n n n x 的n 项部分和函数为()x nϕ,可得幂级数∑∞=0!n n n x 的和函数是xe 在()+∞∞-,上 ()xn n e x =∴∞→ϕlim ()+∞<<∞-x由逐步逼近法有x e y = 是微分方程y dxdy=,过点()1,0的解. 例5 对于无法用初等积分法求通解的黎卡提方程22y x dxdy+=,我们可用逼近法求出满足初始条件()000=ϕ的近似解.解 ()00=x ϕ()()()33202021x dx x dx x x x xx==+=⎰⎰ϕϕ()()633)9()(730622122x x dx x x dx x x x xx+=+=+=⎰⎰ϕϕ ()()dxx x x x dx x x x xx⎰⎰+++=+=01410622223)396918929()(ϕϕ5953520792633151173x x x x +++=随着求解次数的增加,近似解()x n ϕ与真正解将越来越接近,因此在允许误差范围内可求出令人满意的解.上面我们结合不同数学分支中的实例,来体会逼近法的思想,尽管构造逼近序列的元素与方法各不相同,但其指导思想却是共同的,那就是用“已知的”、“简”的序列去逼近“未知的”“繁”的,从而达到我们的认识目的.正确领会逼近的思想,提高以逼近思想为指导的分析论证能力,将有助于我们深化对数学知识的认识,也将有助于我们提高数学分析运用能力和解决问题的能力.2.4 一次同余式组的逐步逼近解法用剩余定理求解一次同余式组是一种传统的方法,其缺点是兼容性差,计算量大.笔者将工程实践中的逐步逼近法引入传统的代数理论中,从而使一次同余式组的求解过程的兼容性大大增强,即一次同余式组增加几个条件时只需增加少量计算,而不必像对待一个新问题那样从头算起.设k m m m ,,,21 为两两互质的正整数,k b b b ,,,21 为整数.即求一次同余式组 1b x ≡ ()1mod m2b x ≡ ()2m o d m ()1k b x ≡ ()k mm o d的通解.它的最小正整数解,定义为一次同余式组()1的解.1.2.4 用剩余定理求解的方法令()k j m M M m M j j ki j ,2,1,1===∏=由于k m m m ,,,21 两两互质,故j M 与j m 也互质,故存在2个正整数j n 和()k j N j ,,2,1 =,满足1=+j j j j N M n m ()2 故j j j j j j j n m b b N M b -=从而有()∑∑∑+=-==+-+=kj i iiij j j jj i iiik i iiiNM b n m b bN M b N M b 1111于是j ki iiib NM b ≡∑=1()j m m o d对于任意整数l 有∏∑==+=ki i ki i i i m l N M b x 11()3此为式()1的通解.若∑==ki i i i N M b x 1()M m o d 为通解中的最小正整数解则为式()1的解,若同余式组()1增加了第1+k 个式子,则上述计算过程都需要重复计算,计算量较大.2.2.4 逐步逼近法)1 逐步逼近解法的构思设想一次同余式组i b x ≡ )(m o d i mk i ,,2,1 = 为k 个条件,称i b x ≡ ()i m m o d 为第i 个条件. 显然,对于任意整数1l ,111m l b x += ()4 满足第1个条件1b x ≡ )(m o d 1m逐步逼近法的构思是,选择适当的整数1l ,使式()4在满足第1个条件的同时满足第2个条件.如果存在一个整数1l 使式()4同时满足第1,第2个条件,则进一步假设211111m m l m l b x ++= ()5 对于任意整数2l ,显然式()5同时满足第1,第2个条件,只要适当选择整数2l ,使之再满足第3个条件,……,如此一步一步逼近,直至选择适当121,,,-k l l l ,使∏-=-++++=111212111k i i k m l m m l m l b x ()6满足所有k 个条件,则通解为∏∏=-=-+++++=ki ik i i k m l m l m m l m l b x 1111212111式中l 为任意整数.是()6如果为最小整数解,则为解.)2 逐步逼近解法的理论证明。
一般二次曲线的化简与分类
若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程
• 则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点 (x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为 曲线的中心。此时方程称为中心方程。
2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项； 3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项； 4、令“配方”后的括号内分别为x''和 y'' (相当于作平移变 换),得到曲线的标准方程。 5、将平移变换代入旋转变换,得到直角坐标变换公式。
6、作出新旧坐标系O-xy，O'-x'y'和O''-x''y'' ,在新坐标系下
注：本题转轴时若取tanθ＝-2，
则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是
得到的标准方程为
,
图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是 图中y 轴的反向。
例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10x-10y+21=0,写出坐标变换 公式并作出它的图形．
将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为
x
1 (x 2 y) 1 ,
5
5
y
1
(2x y) 2 .
作图要点5 ：坐标系O5-xy旋转角tanθ＝2成O'-x'y',再把坐标系
O'-x'y' 平移,得到O"-x"y".在新坐标系O"-x"y" 中可根据抛物
二次曲线方程的化简与分类
二次曲线方程是指以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线。
它的一般模式是，形式为$ax^2+bx+c=0$。
这里$a,b,c$是实数或复数，且$a≠0$。
一般而言，根据$ax^2+bx+c=0$中存在二次项次级导数存在不变加（减）点，这样的曲线叫做二次曲线。
根据方程的性质，可以将二次曲线分为以下几类：（1）抛物线：当$a>0$时，$ax^2+bx+c=0$为一抛物线，其两根为$x=-\frac{b}{2a}±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$，抛物线两端形状分别为拱顶和顶点，且$x_1<x_2$；（2）拉普拉斯曲线：当$a<0$时，$ax^2+bx+c=0$为一拉普拉斯曲线，其根绝无，拉普拉斯曲线两端形状分别为顶点和拱底，拉普拉斯曲线不具有实根；（3）直线：当$a=0$时，$bx+c=0$成立，这是一条直线，其根为$x=-\frac{c}{b}$，直线有一定的斜率；（4）静止：当$a,b,c$均为0时，$ax^2+bx+c=0$成立，这是一条不动线，一般由于不符合实际需求，所以不会出现。
二次曲线方程的化简仅到这四类，不能太具体。
而根据方程$ax^2+bx+c=0$的模式，可以将方程化简为$y=ax^2+bx+c$，并通过幂级数法作变换，得出其他分类，如可采用二次型$y=a(x-h)^2+k$，或一般型$y=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$，或极坐标$(r,\theta )=acos2\theta+bsin2\theta +c$。
总而言之，二次曲线方程是以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线，可分为抛物线、拉普拉斯曲线、直线和静止；而方程的化简还可采用二次型、一般型和极坐标等方式。
二次曲线方程的化简与分类
(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二 次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解 设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
5.3二次曲线方程的化简与分类
❖ 由于特征多项式的系数C1，C2，C3是旋转坐 标变换下的不变量，而当 X0 0 ，即在平移 坐标变换时C1，C2将会改变. 因而C1，C2是 半不变量. 而I2是不变量，故K1是半不变量.
1
❖ 定理5.3.2 在直角坐标变换下，二次曲线的方程
总可以化成下列简化方程之一：
（1）1x2
2 y2
M T AM M 1AM A I2.
即 I1 I1, I2 I2 . 又因
I3
MT
X
T 0
0 A 1 BT
B M
a33
0
X0 1
MT
X
T 0
0A 1 BT
BM a33 0
X0 1
M 1 A BT
B
A
M
a33
BT
B a33
I3.
所以是二次曲线 的不变量.
把旋转坐标变换式（5.17）代入二次曲线方程 （5.2）得：
其中 ：X
x y
,
0
X0
a23
2
则（5.23）式变为： I1y2 b2 0 .（5.25）
这时，半不变量
K1
a11 a13
a13 a22 a33 a23
a23 0 a33 0
0 2
a33
a23
a23 a33
2a33 a223 K1.
因此（5.25）式可写为： b2
a332 a223 2
a223 a332 a223
2
2
0
，因
（5.23） I2 I3为不变量，且
. I3
I3
diag 0, 2
BT
B a33
2a132
所以,
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到 x"2＋y"＝0, 即 x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5-6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线： a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
第五章 二次曲线的一般理论
在平面上，二元一次方程
ax by c 0
代表直线，因此直线也称为一次曲线。
而由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y2 2a13 x 2a23 y a33 0
(a11 , a12 , a13 不同时为0)所表示的曲线，叫做二次曲线。
在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质 以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。
一般二次曲线是否有对称中心或顶点呢？是否 有互相垂直的对称轴呢？怎样找到中心或顶点以及 对称轴，从而把二次曲线的方程化简呢？
本章就是按照这样的考虑展开讨论的，但是把 二次曲线的方程简化为标准方程并不是我们全部目 标，我们还希望结合方程的简化，对二次曲线的几 何性质作一般的分析。
为了讨论方便，先引进一些记号：
F1 F2
( (
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
y y
a13 a23
0 0
(5.2 2)
如果 I2 ≠ 0，则（5.2-2）有唯一解，即为中心坐标。
如果 I2＝0，分两种情况：
a11 a12
a12 a22
a13 a23
时，（5.2-2）无解，没有中心；
a11 a12 a13 a12 a22 a23
取 X :Y 1:0 或 X :Y 0:1
这时
I2
a11 a12
a12 0 a22 a12来自a12 0a122
0
X a12 I2 Y a12 I2
Y
a11
X
a22
X :Y 1:0 X :Y 0:1
当且仅当 I2 0, 曲线有一对共轭的虚渐近方向；
二次曲线的方程化简与分类
x y
A2 x A1x
B2 y C2 z
A22 B22 B1 y C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin ，
B1 A12 B12
cos
．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中一次项消失.
张 之 正 解析几何
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2．二次曲线方程的化简与分类
2. 转轴：
数学科学学院
x xcos ysin
y
x sin
y
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
[1] x2 y2 1 (椭 圆) a2 b2
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2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
[2]
x2 a2
y2 b2
1 (虚 椭 圆)
a12 0 ．为此，取 ，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11 sin 2 2a12 cos 2 0 ，
cot 2 a11 a22
∴
2a12
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§5.6 二次曲线的方程化简与分类
一般二次曲线的化简与分类
THANKS
感谢观看
结构设计
在建筑和土木工程中，二次曲线 可以用来描述结构的形状和受力 情况，例如拱桥的拱形结构和高 层建筑的抗风设计。
机械设计
在机械设计中，二次曲线可以用 来描述机器零件的形状和运动轨 迹，例如曲轴和凸轮的设计。
航空航天
在航空航天领域中，二次曲线可 以用来描述飞行器的飞行轨迹和 气动外形，例如飞机和导弹的设 计。
二次曲线标准形式的性质
总结词
二次曲线的标准形式具有一些重要的几何和代数性质。
详细描述
例如，圆的标准形式是$x^2 + y^2 = r^2$，它表示一个以原点为中心、半径 为$r$的圆；双曲线的标准形式是$x^2 - y^2 = r^2$或$y^2 = mx + n$，表 示两条渐近线与坐标轴成45°的角。这些性质在解决几何问题时非常有用。
未来研究方向与展望
研究方向
未来对于二次曲线化简与分类的研究可 以从多个方向展开，如探索新的化简与 分类方法、研究二次曲线的性质和特点 、将二次曲线化简与分类应用于实际问 题中等。
VS
展望
随着数学和其他学科的发展，二次曲线化 简与分类的研究将不断深入，有望在理论 和应用方面取得更多的突破和创新。同时 ，随着计算机技术的发展，也可以利用计 算机进行二次曲线化简与分类的计算和模 拟，提高研究的效率和精度。
虚轴焦点
当判别式小于0时，二次曲线与x轴无交点，但与y 轴有两个交点，即有两个虚轴焦点。
无焦点
当判别式等于0时，二次曲线与x轴只有一个交点 ，即没有焦点。
根据对称性的分类
对称二次曲线
当二次曲线关于x轴或y轴对称时，称 为对称二次曲线。
非对称二次曲线
当二次曲线既不关于x轴也不关于y轴 对称时，称为非对称二次曲线。
二次曲线方程的化简与应用
山西师范大学现代文理学院（数计系）毕业论文论文题目：二次曲线方程的化简与应用学生姓名：刘彦雪学号： 1290110415专业：数学与应用数学班级： 1204班指导教师：范青龙二零一四年十一月四号目录摘要 (2)（一）、二次曲线的相关定义 (2)（二）、平面直角坐标变换 (3)2.1二次曲线方程的化简与分类 (3)2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................... 错误!未定义书签。
（三）、应用举例.. (7)（四）、结束语 (10)参考文献 (11)二次曲线方程的化简与应用刘彦雪摘要二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。
文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。
关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换（一）、相关定义1.1.在平面上，由二元二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二次曲线.1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。
二次曲线方程的化简
二次曲线方程是一种数学形式，用来表达一条曲线的几何特征的方程。
它是一元二次方程的一般形式，其关键是表示二维坐标系中的曲线。
一般来说，二次曲线方程可以表示为 y = ax² + bx + c，其中，a, b, c 为
任一实数。
了解了这样一个形式，我们可以计算它在x轴上的拐点，
可以利用求根公式求出这样一个方程的拐点，其根是：
x1 = [-b + √(b² - 4ac) ] / 2a
x2 = [-b - √(b² - 4ac) ] / 2a
这样我们就可以以a,b,c为参数，来写出一个二次曲线的方程表达式。
需要注意的是，当参数a的值为0的时候，方程实际上就是一个一次函数，不再是二次函数了。
二次曲线方程的化简对数学中一些概念的理解非常重要，例如，曲线
的极值，切线斜率，矩形轴对称，椭圆形等等。
其实，二次曲线方程化简的技巧可以分为三种：平移法、标准形式化
简法和具体数值求解法。
（1）平移法：将原始方程中的每一项的常数项“平移”到右边，令原始方程的左边变为0，从而表达出一个标准的二次曲线方程。
（2）标准形式化简法：把方程中的变量变为标准形式，这样只要把变量重新合并就可以得到一个标准的二次曲线方程。
（3）具体数值求解法：意味着直接利用求根公式计算出二次曲线方程
的解。
总的来说，二次曲线方程的化简是一个非常重要的数学知识点，对于理解数学形状的概念有很大的帮助。
要想掌握其中的知识，需要深入研究，努力理解，并在此基础上不断练习。
chapter10.2二次曲线方程的化简
3、其它应用 、
公式， 利用二次曲线化简后的 简化方程以及坐标变换 公式， 线的方程。 可以得到与曲线 C相关联的一些特殊点和 线的方程。
(1)、二次曲线的中心 （教材 P135） 、 (2)、二次曲线的对称轴 （教材 P136） 、 (3)、二次曲线的渐近线 （教材 P137） 、
（二）、 A = I 2 = λ1λ2 = 0. 1、化简二次曲线方程 、
（一）、 A = I 2 = λ1λ2 ≠ 0. 1、化简二次曲线方程 、
令 X 0 = − A −1 B , 由已知条件， 可逆， 由已知条件，则矩阵 A可逆， 则由一中二次曲线方程 的坐标变换公式可得 ,
方程为： 二次曲线 C 在新的直角坐标系下的 方程为：
相应的直角坐标方程变 为：
X T 1 = 0
1 2 3 2 从而， 的简化方程为： 从而，曲线 C 的简化方程为： x ′ + y ′ − 4 = 0 , 2 2 x′2 y′2 化为标准方程为： 化为标准方程为： + = 1. 8 8 3 (3).求相应坐标变换公式
1 −2 x − 2 y + 3 = 0 得： X 0 = 2 解方程组： 解方程组： 1 − x + y − 3 = 0 2 2 2 x′ − y′ − 2 x = 2 2 相应坐标变换公式为： ∴ 相应坐标变换公式为： y = 2 x′ + 2 y′ + 2 2 2
[
]
A本质上是 ( x, y)的二次项构成的二次型11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2的矩阵 F a .
2、坐标变换公式 、
取新直角坐标系 [O;η 1 ,η 2 ]，
5-6二次曲线方程的化简与分类
4.二次曲线方程的化简和分类
定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化 成下列三个简化方程中的一个：
( I ) a11 x 2 a22 y 2 a33 0, a11a22 0; ( II ) a22 y 2 2a13 x 0, a22 a13 0; ( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
y y' P j j O i i O' (x0 , y0 ) x' x
x x x0 y y y0
解析几何
2．转轴 标架 {O；i, j } 和 {O‘；i’, j‘} 的原点相同，即O = O’， 但坐标基向量不同，且有∠(i，i‘ ) = ，则标架 {O‘；i’，j‘} 可以看成是由标架 {O；i，j } 绕O点旋转 角而得来的.这种由标架 {O；i，j } 到标架 {O'；i'，j'} 的坐标变换叫做转轴
解析几何
解析几何
5x 2 4 xy 2 y 2 24x 12 y 18 0
例1 已知两垂直的直线 l1 : 2x y 3 0 与 l2 : x 2 y 3 0 ，取 l2 为 O' y' 轴，求坐标变换公式。 l1 为 O' x' 轴， 例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
解析几何
1.平面直角坐标变换 标架 {O；i, j } 和 {O‘；i, j’ } 的原点O与O‘ 不同，O’ 在 {O；i, j }中的坐标为 (x0,y0)，但两标架的坐标基向量相 同，即i‘ = i， j’ = j那么标架 {O‘；i’, j‘} 可以看成是由标 架 {O；i, j } 将原点平移到O‘点而得来的这种坐标变换叫 做移轴（坐标平移）． 设P是平面内任意一点，它对标架 {O；i, j} 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 (x’,y’)，则有
二次曲线方程的化简与分类
－92－§5.8 二次曲线方程的化简与分类1．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律设二次曲线Γ 的方程为F (x , y )≡022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a(1)为了选择适当的坐标变换以使曲线Γ在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线Γ 的方程（1）的系数是怎样变化的．在移轴（5.7－1）⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x下，设二次曲线Γ 的新方程为 ))((2)(),(0012201100y y x x a x x a y y x x F +'+'++'≡+'+'0)(2)(2)(330230132022=++'++'++'+a y y a x x a y y a化简整理得：022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++='=++='=++='='='='),(222),(),(,,00330230132022001220113300223022012230011301201113222212121111y x F a y a x a y a y x a x a a y x F a y a x a a y x F a y a x a a a a a a a a (2)因此可得命题5.8.1 在移轴（5.7－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数不变；2°一次项系数变为),(2001y x F 与),(2002y x F ； 3°常数项变为),(00y x F ．因为当（x 0，y 0）为二次曲线（1）的中心时，有),(001y x F = 0，0),(002=y x F ，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．把转轴公式（5.7－3），即⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 代入（1），得在转轴（5.7－3）下二次曲线（1）的新方程为022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里－93－⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='+-='+='+-='-+-='++='3333231323231313222122112222121122122221221111cos sin sin cos cos cos sin 2sin )sin (cos cos sin )(sin cos sin 2cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααααα (3)于是有命题5.8.2 在转轴（5.7－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．3°常数项不变． 从（3）中的ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a +-='+='中解出2313,a a ，得ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a '+'='-'=则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数2313a a 、的变换规律与点的坐标x ，y 的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．二次曲线方程（1）里，若012≠a ，我们往往使用转轴使新方程中的012='a ．为此，只要取旋转角α，使0)sin (cos cos sin )(2212112212=-+-='ααααa a a a 即可． 令 02cos 22sin )(121122=+-ααa a a 得 12221122cot a a a -=α (5.8－1)因为余切的值可以是任意实数，所以总有α 满足（5.8－1），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy 项．2．确定坐标变换步骤的基本原则对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．如果决定先转轴，则根据（5.8－1）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行： 先根据I 2判断曲线的类型．如果I 2 ≠ 0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．－94－如果I 2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy 后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．3．二次曲线方程的化简实例与方法分析以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简． 例1 化简二次曲线方程01124422=+-+++y x y xy x ，并画出它的图形． 解 I 2 = 1 × 4 － 2 2 = 0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴． 设旋转角为α，则应有：434412cot -=-=α 即 43tan 2tan 12-=-αα所以 02tan 3tan 22=--αα从而得 21tan -=α 或 tan α＝2取tan α＝2（若取tan α＝－ 1 / 2，同样可将原方程化简），则有51cos ,52sin ==αα所以得转轴公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=)2(51)2(51y x y y x x 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为01555252=+'-'+'y x x配方得05552='-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'y x 再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧'=''+'=''y y x x 55曲线方程就化为最简形式052=''-''y x或写成标准方程为y x ''=''52这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y" 的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y" 中的标准方程作出，如图5.8.1所示．作图要点：坐标系O －xy 旋转角度︒≈44.63)5/2arcsin(，成O'－x'y'，再把坐标系O'－x'y' 平移到（5/5-，0），图5.8.1－95－得 O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y" 中可 根据抛物线的标准方程y x ''=''52作图．为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出． 例2 化简二次曲线方程018122424522=+--++y x y xy x并画出它的图形．解 因 I 2＝5 × 2 － 22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组⎩⎨⎧=-+≡=-+≡0622),(01225),(21y x y x F y x y x F 得中心为 (2，1)．取 (2，1) 为新原点，作移轴⎩⎨⎧+'=+'=12y y x x 原方程变为0424522=-'+''+'y y x x①这里实际上只需计算F (2，1)＝－ 4，因为移轴时二次项系数不变．再转轴消去y x ''项．令434252cot =-=α 即 43tan 2tan 12=-αα所以 02tan 3tan 22=-+αα从而得 21tan =α 或 tan α＝－ 2取tan α＝1 / 2，可得51sin ,52cos ==αα，用转轴公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''='''-''='y x y y x x 52515152代入①，可将方程化简为12622=''+''y x标准方程是112222=''+''y x 这是一个椭圆，它的图形如图5.8.2图5.8.2所示．要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角︒≈=6.26)5/1arcsin(α．注 本题转轴时若取tan α＝－ 2，则可得52s i n ,51c o s -==αα（旋转角是︒-≈-=4.6352arcsin α），所得的转轴公式是－96－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''-='y x y 515255 得到的标准方程为 121222=''+''y x ，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.8.2中y" 轴的反向．利用转轴消去二次曲线方程的xy 项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根λ确定的主方向为X ︰Y ，那么有⎩⎨⎧=-+=+-0)(0)(22121211Y a X a Y a X a λλ 由此可得平行于主方向的斜率为12112212tan a a a a X Y-=-==λλα ∴122211221212112212221222212222121tan 2tan 12cot a a a a a a a a a a a a a -=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=λλλλλααα 因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．例3 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x并作出它的图形．解法1 I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛- < 0，所给的二次曲线是双曲型的．令 ⎩⎨⎧=-+-=+-0102301032y x y x解得中心坐标为 (－ 2，2) ． 作坐标平移⎩⎨⎧+'=-'=22y y x x 就将原方程化为01322=+'+''-'y y x x令 03112cot =--=α 得转轴应取的旋转角为 π / 4．故转轴xx'yy'x"y"OO'图5.8.3－97－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''=')(212y x y就把二次曲线的方程化简为01252122=+'+'-y x 即15/2222='-'y x 这是一条双曲线，其图形如图5.8.3所示．解法2I 1＝1 ＋ 1＝2， I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛-于是曲线的特征方程是04522=--λλ 解得两特征根为25,2121=-=λλ因而曲线的两个主方向为1X ︰231-=Y ︰1)121(=--︰12X ︰232-=Y ︰1)125(-=-︰1曲线的两条主直径为0523523=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y x与0523523=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 即x ＋ y ＝0 与x － y ＋ 4＝0取x － y ＋ 4＝0为x' 轴，x ＋ y ＝0为y' 轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='242y x y y x x 反解出x 与y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=2212122121y x y y x x代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为15/2222='-'y x 这是一条双曲线．在作图时，必须首先确定x' 轴的正向．在变换公式的x' 表达式的右端，x 项的系数为,21y 项的系数为,21把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道21cos ,21sin ==αα，－98－因此x' 轴与x 轴的交角为4π=α，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (－ 2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的． 两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．例4 化简二次曲线方程02222=++++y x y xy x ．解 由于I 1 = 1 ＋ 1 = 2，I 2 = 1 × 1 － 12= 0，曲线是非中心型的． 解特征方程022=-λλ，得特征根为 λ 1 = 2， λ 2 = 0．曲线的非渐近主方向为对应于λ 1 = 2的主方向X ︰Y ＝1︰1，所以曲线的主直径为021)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++y x y x即 x ＋ y ＋43= 0将此主直径的方程与原曲线的方程02222=++++y x y xy x 联立，即求得曲线的顶点为(3 / 16，－15 / 16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为116/15116/3+=-y x 即 x － y －89= 0这也是过顶点垂直于主直径的直线．取主直径043=++y x 为新坐标系的x' 轴，取直线089=--y x 为y' 轴，作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='--='24/328/9y x y y x x 解出x 与y 得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'+'-=+'+'=1615)(21163)(21y x y y x x代入已知方程，经过整理得02222='+'x y ，化为标准方程就是 x y '-='422 这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x' 轴的直线的正向．设x' 轴与x 轴的交角为α，则根据变换公式有21sin -=α，21cos =α，因此4π-=a ，于是x '轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．－99－例5 化简二次曲线的方程 0322222=--++-y x y xy x ． 解 所给二次曲线的矩阵为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----311111111 A 的第一行和第二行的元素成比例，这表示F 1 (x ，y ) = 0和F 2 (x ，y ) = 0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F 1 (x , y ) = 0：x － y ＋ 1 = 0取其为新坐标系的x' 轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x ＋ y ＝0为新坐标系的y' 轴作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='212y x y y x x 解出x 与y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=212121212121y x y y x x代入已知方程，经过整理得0422=-'y即 2y '= 2 或 y'＝2± 这是两条平行直线（图5.8.4）．对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为 03)(2)(2=--+-y x y x 就是 0)1)(3(=--+-y x y x因此原方程表示两条直线图5.8.4x － y ＋ 3 = 0 与 x － y － 1 = 0它们的图象如图5.8.4所示．当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．例6 化简二次曲线方程021*******=+---+y x y xy x ．解 计算得I 2 < 0，I 3 = 0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) = 0故原二次曲线的方程表示两条相交直线x － y ＋ 3 = 0 和 2x ＋ 3y － 7 = 0－100－ 4．二次曲线的简化方程通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．命题 5.8.3 通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：（I ）0,0221133222211≠=++a a a y a x a ；（II ）0,021********≠=+a a x a y a ； （III ）0,02233222≠=+a a y a ．证 二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论． 1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即02313==a a其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有012=a ．所以曲线的方程为（I ）033222211=++a y a x a又因为它是中心曲线，所以又有0221121222112≠=-=a a a a a I2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x 轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y 轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时主直径的共轭方向为X ︰Y ＝0︰1，所以主直径的方程为0232212=++a y a x a它就是x 轴，即与直线y ＝0重合，所以有0,0222312≠==a a a又因为顶点与坐标原点重合，所以 (0，0) 满足曲线方程，从而又有a 33 = 0．其次，由于曲线为无心曲线，所以231322121211a aa a a a ≠=，而,0,02212≠=a a 所以有0,01311≠=a a ．因而曲线的方程为（II ）0,02132213222≠=+a a x a y a3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x 轴，任意垂直于中心直线的直线为y 轴建立坐标系，设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为线心曲线的中心直线的方程是0131211=++a y a x a与0232212=++a y a x a中的任何一个，而第二个方程表示x 轴的条件为－101－02312==a a ，022≠a但第一个方程在012=a 的条件下，不可能再表示x 轴，所以它必须是恒等式，因而有01311==a a ，所以线心曲线的简化方程为： （III ）0,02233222≠=+a a y a命题证毕．5．二次曲线的分类根据命题5.8.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．（I ）中心曲线0,0221133222211≠=++a a a y a x a当033≠a 时，方程可化为122=+By Ax其中 33223311,a a B a a A -=-=． 如果A > 0，B > 0，那么设221,1b B a A ==就得方程[1]12222=+b y a x （椭圆） 如果A < 0，B < 0，那么设221,1b B a A -=-= 就得方程[2]12222-=+b y a x （虚椭圆） 若A 与B 异号，不失一般性，可设A ＞0，B ＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox 和Oy 对调）．设221,1b B a A -==则得方程[3]12222=-by a x （双曲线） 当033=a 时，如果a 11与a 22同号，可以假设a 11＞0，a 22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘 － 1），再设2222111,1b a a a ==就得方程[4]02222=+b y a x （点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线） 如果a 11与a 22异号，那么类似地有－102－ [5] 02222=-b y a x （两相交直线） （II ）无心曲线0,021********≠=+a a x a y a不妨设a 13与a 22异号（同号时令x = － x'，y = y'即异号），令p a a =-2213，即得 [6] px y 22= （抛物线）（III ）线心曲线033222=+a y a ，a 22≠0 方程可以改写为：22332a a y -= 当a 33与a 22异号时，设2233a a -2a =，则得方程 [7] 22a y = （两平行实直线）若a 33与a 22同号，设2233a a 2a =，则得方程 [8]22a y -= （两平行共轭虚直线） 当a 33＝0时，得方程为[9] 02=y （两重合实直线） 于是我们就得到了下面的命题：命题5.8.4 通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式： [1] 12222=+b y a x （椭圆）； [2] 12222-=+b y a x （虚椭圆）； [3] 12222=-b y a x （双曲线）； [4] 02222=+b y a x （点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）； [5] 02222=-b y a x （两相交直线）； [6] px y 22=（抛物线）； [7]22a y = （两平行直线）； [8] 22a y -= （两平行共轭虚直线）；[9] 02=y （两重合直线）．根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中．。
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其中 A1 A2 B1B2 0 l1 横轴 Ox l2 纵轴 Oy, o
M
l2
x
( x, y), ( x, y).
旧坐标与新坐标分别是
因为 x 是点 M ( x, y) 到Oy 轴的距离，也就是M 点 到l 2 的距离，因此我们有 A2 x B2 y C2 x 2 2 A2 B2 A1 x B1 y C1 同理可得
这里
a11 a11 cos 2 2a12 sin cos a22 sin 2 , a12 (a22 a11 )sin cos a12 (cos 2 sin 2 ), a a sin 2 2a sin cos a cos 2 , 22 11 12 22 a13 a13 cos a23 sin , （5.6-7） a a sin a cos , 13 23 23 a33 a33 .
因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变 换规律为：
1 二次项系数不变； 2 o 一次项系数变为 2F1 ( x0 , y0 ) 与 2F2 ( x0 , y0 ) ；
3
o
o
常数项变为 F ( x0 , y0 ) 。
因为当 ( x0 , y0 ) 为二次曲线（1）的中心时，有 F1 ( x0 , y0 ) 0 , F2 ( x0 , y0 ) 0 ， 所以当二次曲线有中 心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那 么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。 把转轴公式（5.6-2）即
化简整理得：
0
x2 2a12 xy a y2 2a13 x 2a y a33 0 a11 22 23
a11x 2a12 xy a y 2a13 x 2a y a33 0 22 23
2 2
在移轴（5.6-1）即
x x x0 y y y0
F ( x x0 , y y0 )
下，二次曲线（1）的新方程为
a11 ( x x0 ) 2 2a12 ( x x0 )( y y0 ) y0 ) 2 2a13 ( x x0 ) 2a23 ( y y0 ) a33 a22 ( y
2 2 2 2
sin ,
cos .
A1 A B
2 1 2 1
B1 A B
2 1 2 1
因此（5.6-5）中的第一式右端的 x 的系数应与第二 式的右端 y 的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取 要使得这两项的系数是同号的。 例1 已知两垂直的直线 l1 : 2 x y 3 0 与 l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求 坐标变换公式。 解 设 M ( x, y) 的新坐标为 ( x, y) ，那么有
2. 二次曲线方程的化简与分类
设二次曲线的方程为
F ( x, y ) a11x 2a12 xy a22 y
2
2
2a13 x 2a23 y a33 0,
（1）
现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确 定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的 方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。 为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的 系数是怎样变化的。 因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们 分别考察在移轴与转轴下， 二次曲线方程（1）的系数的变换规律。
由（5.6-3）解出 x, y 便得逆变换公式
x/
M
y/
A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
x
（图5-2）
设在直角坐标系 xOy 里给定了两条互相垂直的直线 M l1 : A1x B1 y C1 0 y x/ y/ l1 l2 : A2 x B2 y C2 0
x x x0 y y y0
x/
（5.6-1′）
o
x
式中 ( x0 , y0 ) 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。
转轴公式为
或
式中的 为坐标轴的旋转角。
x x cos y sin （5.6-2） y x sin y cos x x cos y sin y x sin y cos （5.6-2′）
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
A2 A B
2 2 2 2
（5.6-4）
cos ,
sin ,
B2 A B
或 2 。
1 ， cos ，所以得 5
取 tg 2 ，那么
转轴公式为
1 x ( x 2 y) 5 y 1 (2 x y) 5
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
5x2 2 5x 5 5 y 1 0
利用配方使上式化为 ( x 5 ) 2 5 y 0
2 2
解 因为二次曲线的方程含有 xy 项，因此 我们总可以先通过转轴消去 xy 项。设旋转角为 ， 那么由（5.6-8）得： 3 ctg 2 , 4 即 所以 从而得
1 tg 2 3 , 2tg 4
2tg 3tg 2 0,
2
1 tg 2
2 sin 5
5
再作移轴
5 , x x 5 y y
曲线方程化为最简形式 或写成标准方程为
2
x 5 y 0
2
x 5 y
这是一条抛物线，它 y 的顶点是新坐标系 x/ (x//) / y O xy 的原点。原 y// 方程的图形可以根据 o x O xy 它在坐标系 o/ 中的标准方程作出， 它的图形如图5 - 3所 （图 5 - 3） 示。 利用坐标变换化简二 次曲线的方程，如果曲线 有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。
由上两式得一般坐标变 换公式为
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
（5.6-3）
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) （5.6-4） y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原 点的坐标 ( x0 , y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上 面的这种情况外，还可以有 y 其它的方法。 例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标 系里的方程，并规定 o 了一个轴的正方向等。 现在我们就来介绍这 情况下的坐标变换公式。
a11 a22 ctg 2 2a12
（5.6-8）
因为余切的值可以是任意的实数，所以 总有 满 足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消 去（1）的 xy 项。 例 2 化简二次曲线方程 并画出它的图形。
x 4xy 4 y 12x y 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้2 2
x 4xy 4 y 12x y 1 0
y
o
x
而在一般情形，由旧坐标系 O xy 变成新坐 标系 O xy ，总可以分两步来完成， 先移轴使坐标原点与新坐标系的原点 O重合,变成坐 标系O xy, 然后由辅助坐标系 O xy. 再转轴而
成新坐标系 O xy. 设平面上任意点 P 的旧坐标与新坐标分别为
5.6 二次曲线方程的化简与分类
这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变 换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式， 然后在此基础上进行二次曲线的分类。
1. 平面直角坐标变换
我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标/ y 分别为 ( x, y ) 与 ( x, y)，那么移轴公式为 y x x x0 （5.6-1） y y y0 o/ 或
x 2y 2 x , 5 2x y 3 y , 5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
x 2y 2 , x 5 或 y 2 x y 3 ; 5
x 2y 2 , x － 5 y 2 x y 3 。 5
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13 , a23 得
可以进一步看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的 一次项系数 a13 , a23 的变换规律是与点的坐标 x, y 的 变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转 轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通 过转轴也不会产生一次项。
因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换 规律为： 二次项系数一般要改变。新方程的二次 1o 项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而 与一次项系数及常数项无关。
2o
一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
3
o
常数项不变。
a12 (a22 a11)sin cos a12 (cos2 sin2 ) 0,
即 所以
二次曲线方程（1）里，如果 a12 0 ，我们往往 ' 使用转轴使新方程中的 a12 0 。为此，我们只有取 旋转角 ，使得
(a22 a11 )sin 2 2a12 cos2 0,
这里 a11 a11 , a12 a12 , a a22 , 22 a13 a11 x0 a12 y0 a13 F1 ( x0 , y0 ), a23 a12 x0 a22 y0 a23 F2 ( x0 , y0 ), （5.6-6） 2 2 a23 a11x0 2a12 x0 y0 a22 y0 2a13 x0 2a23 y0 a33 F ( x0 , y0 ) .