二次曲线方程的化简与分类

其中 A1 A2 B1B2 0 l1 横轴 Ox l2 纵轴 Oy, o
M
l2
x
( x, y), ( x, y).
旧坐标与新坐标分别是
因为 x 是点 M ( x, y) 到Oy 轴的距离，也就是M 点 到l 2 的距离，因此我们有 A2 x B2 y C2 x 2 2 A2 B2 A1 x B1 y C1 同理可得
2 2 2 2
sin ,
cos .
A1 A B
2 1 2 1
B1 A B
2 1 2 1
因此（5.6-5）中的第一式右端的 x 的系数应与第二 式的右端 y 的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取 要使得这两项的系数是同号的。 例1 已知两垂直的直线 l1 : 2 x y 3 0 与 l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求 坐标变换公式。 解 设 M ( x, y) 的新坐标为 ( x, y) ，那么有
因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换 规律为： 二次项系数一般要改变。新方程的二次 1o 项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而 与一次项系数及常数项无关。
2o
一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
( x, y ) 与 ( x, y) 而在辅助坐标系 O xy 中的坐标
( x, y),
那么有 y// y o/ o x （图5-1） x//
与
x x cos y sin y x sin y cos
x x x0 y y y0
这里
a11 a11 cos 2 2a12 sin cos a22 sin 2 , a12 (a22 a11 )sin cos a12 (cos 2 sin 2 ), a a sin 2 2a sin cos a cos 2 , 22 11 12 22 a13 a13 cos a23 sin , （5.6-7） a a sin a cos , 13 23 23 a33 a33 .
5
再作移轴
5 , x x 5 y y
曲线方程化为最简形式 或写成标准方程为
2
x 5 y 0
2
x 5 y
这是一条抛物线，它 y 的顶点是新坐标系 x/ (x//) / y O xy 的原点。原 y// 方程的图形可以根据 o x O xy 它在坐标系 o/ 中的标准方程作出， 它的图形如图5 - 3所 （图 5 - 3） 示。 利用坐标变换化简二 次曲线的方程，如果曲线 有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。
或 2 。
1 ， cos ，所以得 5
取 tg 2 ，那么
转轴公式为
1 x ( x 2 y) 5 y 1 (2 x y) 5
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
5x2 2 5x 5 5 y 1 0
利用配方使上式化为 ( x 5 ) 2 5 y 0
化简整理得：
0
x2 2a12 xy a y2 2a13 x 2a y a33 0 a11 22 23
a11x 2a12 xy a y 2a13 x 2a y a33 0 22 23
2 2
y
o
x
而在一般情形，由旧坐标系 O xy 变成新坐 标系 O xy ，总可以分两步来完成， 先移轴使坐标原点与新坐标系的原点 O重合,变成坐 标系O xy, 然后由辅助坐标系 O xy. 再转轴而
成新坐标系 O xy. 设平面上任意点 P 的旧坐标与新坐标分别为
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原 点的坐标 ( x0 , y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上 面的这种情况外，还可以有 y 其它的方法。 例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标 系里的方程，并规定 o 了一个轴的正方向等。 现在我们就来介绍这 情况下的坐标变换公式。
5.6 二次曲线方程的化简与分类
这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变 换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式， 然后在此基础上进行二次曲线的分类。
1. 平面直角坐标变换
我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标/ y 分别为 ( x, y ) 与 ( x, y)，那么移轴公式为 y x x x0 （5.6-1） y y y0 o/ 或
a11 a22 ctg 2 2a12
（5.6-8）
因为余切的值可以是任意的实数，所以 总有 满 足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消 去（1）的 xy 项。 例 2 化简二次曲线方程 并画出它的图形。
x 4xy 4 y 12x y 1 0
2 2
x 4xy 4 y 12x y 1 0
因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变 换规律为：
1 二次项系数不变； 2 o 一次项系数变为 2F1 ( x0 , y0 ) 与 2F2 ( x0 , y0 ) ；
3
o
o
常数项变为 F ( x0 , y0 ) 。
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因为当 ( x0 , y0 ) 为二次曲线（1）的中心时，有 F1 ( x0 , y0 ) 0 , F2 ( x0 , y0 ) 0 ， 所以当二次曲线有中 心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那 么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。 把转轴公式（5.6-2）即
x x x0 y y y0
x/
（5.6-1′）
o
x
式中 ( x0 , y0 ) 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。
转轴公式为
或
式中的 为坐标轴的旋转角。
x x cos y sin （5.6-2） y x sin y cos x x cos y sin y x sin y cos （5.6-2′）
3
o
常数项不变。
a12 (a22 a11)sin cos a12 (cos2 sin2 ) 0,
即 所以
二次曲线方程（1）里，如果 a12 0 ，我们往往 ' 使用转轴使新方程中的 a12 0 。为此，我们只有取 旋转角 ，使得
(a22 a11 )sin 2 2a12 cos2 0,
在移轴（5.6-1）即
x x x0 y y y0
F ( x x0 , y y0 )
下，二次曲线（1）的新方程为
a11 ( x x0 ) 2 2a12 ( x x0 )( y y0 ) y0 ) 2 2a13 ( x x0 ) 2a23 ( y y0 ) a33 a22 ( y
2 2
解 因为二次曲线的方程含有 xy 项，因此 我们总可以先通过转轴消去 xy 项。设旋转角为 ， 那么由（5.6-8）得： 3 ctg 2 , 4 即 所以 从而得
1 tg 2 3 , 2tg 4
2tg 3tg 2 0,
2
1 tg 2
2 sin 5
这里 a11 a11 , a12 a12 , a a22 , 22 a13 a11 x0 a12 y0 a13 F1 ( x0 , y0 ), a23 a12 x0 a22 y0 a23 F2 ( x0 , y0 ), （5.6-6） 2 2 a23 a11x0 2a12 x0 y0 a22 y0 2a13 x0 2a23 y0 a33 F ( x0 , y0 ) .
由（5.6-3）解出 x, y 便得逆变换公式
x/
M
y/
A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
x
（图5-2）
设在直角坐标系 xOy 里给定了两条互相垂直的直线 M l1 : A1x B1 y C1 0 y x/ y/ l1 l2 : A2 x B2 y C2 0
x 2y 2 x , 5 2x y 3 y , 5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
x 2y 2 , x 5 或 y 2 x y 3 ; 5
x 2y 2 , x － 5 y 2 x y 3 。 5
由上两式得一般坐标变 换公式为
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
（5.6-3）
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) （5.6-4） y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
y A12 B12
于是在去掉绝对值符号以后，便有
A2 x B2 y C2 x 2 2 A2 B2 1 y A x B1 y C1 2 A2 B1 1
（5.6-5）
为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（5.6-5） 中的符号, 将（5.6-5）式与公式（5.6-4）比较得
代入（1），得在转轴（5.6-2）下二次曲线（1）的 新方程为
x x cos y sin y x sin y cos
x2 2a12 xy a y2 2a13 x 2a y a33 0 a11 22 23
2. 二次曲线方程的化简与分类
设二次曲线的方程为
F ( x, y ) a11x 2a12 xy a22 y
2
2
2a13 x 2a23 y a33 0,
（1）
现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确 定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的 方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。 为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的 系数是怎样变化的。 因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们 分别考察在移轴与转轴下， 二次曲线方程（1）的系数的变换规律。
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
A2 A B
2 2 2 2
（5.6-4）
cos ,
sin ,
B2 A B
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13 , a23 得
可以进一步看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的 一次项系数 a13 , a23 的变换规律是与点的坐标 x, y 的 变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转 轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通 过转轴也不会产生一次项。