等差数列 优秀教学设计

等差数列

【教学目标】

一、知识与技能：

进一步熟悉等差数列的概念、通项、主要结论与前n 项和公式，并能用它们解决一些综合问题

二、过程与方法：

汇总——应用

三、情感态度和价值观：

体会实际应用与数学问题间的转化关系

【教学重点】

等差数列的应用

【教学难点】

问题的转化

【教学流程】

一、汇总

等差数列基本必须掌握的内容：

1．定义式：an+1-an=d 或an-an-1=d(n ≥2)

2．通项公式：＝＋（n-1）d

n a 1a 3．前n 项和公式：Sn== na1+12n a a n +(1)2

n n d -引申内容，主要结论：

1．数列{an}等差 an+1-an=d 或an-an-1=d(n ≥2)an=dn+b 对任意n ≥2有an=⇔⇔⇔11

2

n n a a -++2．已知数列{an}、{bn}分别是以a ，b 为公差的等差数列，对于任意常数λ、μ，则数列{λan+μbn}是以λa+μb 为公差等差数列

3．数列{an}为等差数列，则每隔相同项构成的数列仍然是等差数列

4．已知等差数列{an}中任意两项ak ，am ，则公差d 表示所在直线的斜率，d=k m

a a k m

--5．数列{an}为等差数列，m+n=s+t ，则am+an=as+at ；特别的，m=n 时，am 就是as 和at

的等差中项

6．数列{an}成等差数列，其前n 项和为Sn ，则：

（1）Sn ，S 2n-Sn ，S 3n-S 2n ，……也称等差数列，公差为n 2d

（2）数列{}为等差数列，且公差为n S n 2

d

二、应用

例1．某工厂2005年的月产值按等差数列增长，一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，求2005年全年的总产值为多少？

解：由月产值成等差数列增长，可知季度总产值也按等差数列增长

而第二季度总产值为60-20=40(万元)，所以公差d=40-20=20（万元）

所以(万元) 答：2005年全年的总产值为200万元

443204202002S ⨯=⨯+⨯=说明：数列应用问题一定要说明数列的结构特征（如：以…为公差的等差数列），最后要作答

例2．某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m ）？

分析：纸卷的各处厚度是不一的，如果按最里的计算，一定比实际长度

小，最外的一定比实际的大，为此，我们取每一圈的平均值作为其长度考虑

解：卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一

组同心圆,然后分别计算各圆的周长,再求总和.由内向外各圈的半径分别为

20.05,20.15,…,59．95．

因此,各圈的周长分别为

40.1π,40.3π,…,119．9π.

因为各圈半径组成首项为20.05,公差为0.1的等差数列,设圈数为n,则

59．95=20.05+(n-1)×0.1,

所以n=400.

显然,各圈的周长组成一个首项为40.1π,公差为0.2π,项数为400的等差数列.根据等差数列的求和公式,得

S=400×40.1π+400×(400-1)/2×0.2π

=32000π(mm).

32000π(mm)≈100(m).

答 满盘时卫生纸的长度约为100m.

例3　教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为

2．1‰.（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元?（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本息合计约为多少?(精确到1元)

解 （1）设每月存A 元,则有

A(1+2．1‰)+A(1+2×2．1‰)+…+A(1+36×2．1‰)=20000.

利用等差数列求和公式,得

A(36+36×2．1‰+36×35/2×2．1‰)=20000,

解得A≈535(元).

（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多可存入20000/36≈555(元).这样,3年后的本息和为

555(1+2．1‰)+555(1+2×2．1‰)+…+555(1+36×2 1‰)=55536+36×2．1‰+36×35/2×2．1‰≈20756(元).

答 欲在3年后一次支取本息2万元,每月大约存入535元.3年期教育储蓄每月至多存入555元,3年后本息合计约20756元.

说明:这种每次只以本金计利息的方法称单利

补充习题

1．等差数列的公差d=2，若前80项和为160，则a 1+a 3+a 5+……+a 79=___________

2．等差数列{an}、{bn}前n 项和分别为Tn ，Sn ，=，则=___________

n n T S an b cn d ++11

11a b 3．等差数列{an}前n 项和为Sn=3n-2n 2，当n ≥2时，na 1，Sn ，na n 从小到大的顺序为________

4．等差数列{an}前n 项和为S n ，且S 9=18，Sn=240，a n -4=30(n>9，n ∈N*)，则

n=________

5．把正整数按以下方法分组：（1），(2，3)，(4，5，6)，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn 表示第n 组所有数的和，则S 21=_____________

6．已知两个等差数列：2，5，8，……，197和2，7，12，……，197，求这两个数列公共项之和.由此猜想，等差数列{an}、{bn}各项均为正整数，而且公差分别为d1，d2问它们的公共项是否成等差数列，若是，公差是多少？

7．已知an=1024+lg21-n(lg2≈0.3010)，问多少项和为最大？前多少项和的绝对值最