高中数学解题方法谈：例谈复数解题中的几种常用方法

复数解题规律总结

一．利用复数的代数形式

由复数的代数形式(,)z x yi x y R =+∈，以代入法解题是最基本而常用的方法． 例１．若复数z 满足10

||12z z i

-=

-，则复数z 等于（ ） A ．34i -+ B ．34i -- C ．34i - D ．34i +

解答：设(,)z x yi x y R =+∈，则有：(,)z x yi x y R =-∈

)x yi -＝24i + 由复数相等的充要条件得：

8

4

x y ==⎪⎩解得：3,4x y ==，故答案为D ．

二．利用复数相等的充要条件

在复数集{}|,C a bi a b R =+∈中，任取两个数,a bi c di ++（,,,a b c d R ∈）， 则有 a bi c di +=+a c b d ⇔==且

两复数相等的充要条件是解有关复数题的“万宝囊”，特别是新教材更突出了以复数相等的充要条件解题．

例２．设存在复数z 同时满足下列条件：

（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限； （2）28()zz iz ai a R +=+∈ 求a 的取值范围．

解答：设(0,0)z x yi x y =+<>代入28zz iz ai +=+得 22228x y y xi ai +-++=+ 由复数相等的充要条件得：

2228

2x y y x a

⎧+-=⎨=⎩

由此得实系数方程为：2

2

2804

a y y -+-=

方程有正实解（0y >）的充要条件得：

244(8)4a ∆=--0≥①，且2

804

a ->②

解①得66a -≤≤

，解②得a a ≤-≥ 又0x <③

由①、②、③可得：6a -≤≤-

因此，实数a

的取值范围是6,⎡--⎣

三．利用复数除法法则以及虚数i 的运算性质

1．形如a bi

c di ++，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；

2．i 的乘方规律：2341,,1i i i i =-=-=L L 3．特殊式的化简：22(1)2,(1)2i i i i +=-=-；11i i i +=-，11i

i i

-=-+ 例３．（由2005年重庆理2改）．2005

1()

1i i

+-＝ （ ）

A ．－1

B ．－i

C ．20052

D ．－20052

解答：因为2

22

1(1)111i i i ++=-+＝i 所以20051()1i i

+-＝2006i ＝21003()i ＝1003(1)1-=-

故答案A

四．利用共轭复数

复数a bi +与复数a bi -（,a b 是实数）是一对互为共轭复数． 例４．若32i +是方程220()x bx c b c R ++=∈、的一个根求c 的值．

解答：因为,b c 是实数，所以两根之和是实数，两根之积是实数； 又因为32i +是方程的一个根，因此满足条件的另一个根必定是它的共轭复

数32i -，因此，(32)(32)2c

i i +-= 解得c ＝26

另解：把32x i =+代入方程得310(242)0b c b i ++++=，根据复数的相等 得3100b c ++=且2420b +=，解得26c = 例５．若 12z a i =+, 234z i =-，且

1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ．

解答：

12z z ＝234a i i

+-＝22(2)(34)38(64)3425a i i a a i +--++=+ 因为

1

2z z 为纯虚数，所以380a -=，得83

a = 注：①两共轭复数的积：（a bi +）（a bi -）＝22a

b +

②复数a bi +为纯虚数的充要条件是其实部a =０，虚部0b ≠ 例６．若12,z z C ∈，则1212z z z z +是（ ）

A ．纯虚数

B ．实数

C ．虚数

D ．不能确定

解答：若一个数的共轭复数是它的本身，则这个数是实数．

由1212z z z z +＝1212z z z z +可知1212z z z z +为实数 故答案B

五．利用复数的几何意义 1．利用复数的模

复数z a bi =+

的模||z = 例７

．已知210

12

(43)(1)(1)

i z i --+=-，求||z 解：||z

＝||

＝256532⨯＝6065

64

注：如果先化简再求模就会增大计算量．

２．利用复数加法及减法的几何意义

（1）复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则进行运算． 例８．设复数12,z z

满足1212||||2,||z z z z ==+=，求12||z z - 解：根据题意

画出如图所示的平行四边形

222

22cos 222

OBC +-∠=⨯⨯

＝－

12

2z

12z z +u r u u r

A

B

所以，1cos 2

AOB ∠=

因此，22222222AB COS AOB =+-⨯⨯∠＝４ AB ＝2

得，12||z z -＝2

（2）复数减法以及复数模的几何意义

例9．复数z 的模为1，求|(1)|z i -+的最大值和最小值．

解法一：（几何法）由题设||1z =表示了以原点为圆心以一为半径的圆，|(1)|z i -+表示了圆上的点到A （1，1）的距离（如图）．

因此圆上的点到圆心的最大距离

1

，最小距离是

1．

解题评注：此题如果以代数法，设z x yi =+，以二次函数法解就会非常麻烦． 六．利用复数与实数的类比关系

例10（见例9）解法二．不等式法

可以证明不等式：

121212||||||||||||z z z z z z -±≤+≤

|||(1)||||z z i z ≤-+≤又：||1z =

，|1|i +=

1|(1)|1z i ≤-+≤

于是：|(1)|z i -+

1

1．

注：此题主要考察了把复数与实数类比得到的不等式的性质．此解法简捷易懂．

我们看到上面的解题方法互相关联，因此在解题时．要注意灵活解题，综合运用所学知识．

图１