线性代数第五章 线性变换PPT课件

第五章 线性变换
第一节 线性变换的基本概念
一、集合之间的映射
定义1 设 M 和 N 是两个非空集合．如果对于 M 中 任意一个元素 x ，按照某个对应法则 f ， 总存在 N 中一个确定的元素 y 与之对应， 则称这个对应法则 f 为从集合 M 到 N 的一个映射．
通常用英文小写字母 f , g,h, 表示映射．
则称 f 是一个一一对应， 或者双射． 例1 设 M 是一个非空集合，定义 M 到 M 的对应 f ， 满足
f(x)x, xM ,
则 f 是 M 到自身的一个映射， 我们称其为集合 M
的单位映射，或恒等映射，记为 i d M ．
例2 设 是全体整数的集合，定义 到 的对 应 f ， 满足
f(n)2n, n,
例6 设 F [ x ] 是以数域 F 上的数作为系数的多项式 的全体， 按多项式的加法和数量乘法， 构成 F 上 的线性空间． 对于任意
f( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 F [ x ] ,
定义 f ( x ) 的微商 ， 满足
( f( x ) ) f ( x ) n a n x n 1 ( n 1 ) a n 1 x n 2 a 1
性质2 如果 是 1,2, ,s的线性组合， 且组合
系数是 k1,k2, ,ks， 即
k 11 k 22 k s s,
f(M )={f(x )|x M }.
定义2 设 f 是从集合 M 到 N 的映射．如果 f (M) = N， 那么称 f 是从 M 到 N 的满映射，或简称为满射．
定义2’ 设 f 是从集合 M 到 N 的映射．如果对于 N 中 的每一个元素 y ，都存在 M 中元素 x ，使得 y = f (x)， 则称 f 是一个满射． 定义3 设 f 是从集合 M 到 N 的映射．如果 M 中不同
量 T ( ) 在坐标系 O x y 下的坐标记为 ( x2 , y 2 ) ，那么坐
标( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) 满足下面关系：
xy22csoins csoisnxy11.
三、线性变换的基本性质及运算
设 是 V 上的一个线性变换．则有
性质1 (0) 0， ()()．
f(x)xa, x,
则 f 不是一个映射．因为，对于任意的 0xa，
xa .
定义5 设 f 和 g 都是从集合 M 到 N 的映射，如果
对于任意的 xM，都有 f(x)g(x),
则称映射 f 与 g 相等，记为 f = g ．
定义6 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射， g 是从 集合 N 到 P 的一个映射，则对于 M 中的任意元素
特别地，我们也将一个非空集合 M 到自身的映 射称为上的一个变换．
如果映射 f 将 M 中的元素 x 对应到集合 N 中的 元素 y ，则记
y f (x) 或 f (x) y
此时，称 y 为 x 在映射 f 下的像，而称 x 为 y 在映射 f 下的原像．
如果 f 是从集合 M 到 N 的映射， 则将在 f 下的 像的全体所构成的集合， 称为映射 f 的像集， 记为 f (M)， 即
将称其为单位变换，或者恒等变换，记为 ，即
(), V.
定义 V 上的一个变换 0 ，使得
0()0, V.
显然， 它是一个线性变换， 称其为零变换．
设数 k F ，定义 V 上的一个变换 k ，满足
k () k , V .
它也是一个线性变换，称其为数乘变换．当 k 1 时，
它即为单位变换 ；当 k 0 时， k 为零变换．
元素在 f 下的像也不同， 即只要 x1 x2 ，就有
f (x1) f (x2), 则称 f 是从集合 M 到 N 的单映射，或简称为单射．
定义4 设 f 是从集合 M 到 N 的映射．如果 f 既是 满射也是单射，即 f 满足
1） f (M) = N ；
2）对于任意的 x 1 , x 2 ，只要 f(x1)f(x2), 就有 x1 x2 ,
于是 是 F [ x ] 到自身的一个映射．
容易验证， 是 F [ x ] 上的一个线性变换．
例7 在平面解析几何中，将坐标系绕原点 O 逆时针
旋转角 ， 如果一个向量 在直角坐标系O x y 下的
坐标为( x1, y1 )T , 将其旋转之后对应的向量记为T ( )， 可以证明 T 构成 2 维空间 2 的一个线性变换．将向
x ，存在 P 中唯一确定的元素 g ( f (x)) 与之对应， 这样得到一个 M 到 P 的映射，记为 g f ， 将这个 映射称为 f 与 g 的乘积或复合映射，即 g f 是集合
M 到 P 的映射，满足 gf(x ) g (f(x )), x M .
显然， 对于任意从集合 M 到 N 的映射 f ， 都有 idN ff idMf.
则 f 是 到自身的映射，且 f 是一个单射但不是 满射． 例3 设 M n ( )是实数域上的所有 n 阶方阵的集合． 定义 M n ( ) 到 的对应 f ，满足
f(A ) |A |, A M n (),
则 f 是 M n ( ) 到 的一个映射，且 f 是一个满射但 不是单射．
例4 设 a 是一个已知的正数， 是所有正实数的 集合． 定义 到 的对应，满足
二、线性变换的定义 定义8 设 V 是数域 F 上的一个线性空间．如果 V
上的一个变换 ， 满足 1）对于任意的 , V ， 有
( ) () ();
2）对于任意的 V ，k F ，有
(k)k(),
则称 为线性空间 V 上的一个线性变换，通常用希
腊ห้องสมุดไป่ตู้母 ,,, 表示．
例5 显然，V 上的单位映射 i d V 是一个线性变换，
另外，映射的乘积还满足结合律．
定义7 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射，如果存 在 N 到 M 的一个映射 g， 使得
g f idM, f g idN,
则称 f 是一个可逆映射， 并将映射 g 称为 f 的逆映 射． 定理1 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射， 则 f 是 可逆映射当且仅当 f 是一个一一对应．