自由度分析及系统分解

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注意
• 本节所讲的自由度概念与“物理化学”课程中提到 的自由度不同。
• 在“物理化学”中，相律用下式表达体系的自由度
d=C-P +2
式中 C——组分数 P——想数目
“相律”中的自由度只涉及强度性质（T，P等）而不 涉及系统的大小数量。
在化工单元操作模型中，必须考虑系统的大小量、如 流股的质量流率、热负荷及压力变化等。
d=n-m
即需要在n个变量中，给定d个变量的值，其余的 m个变量可通过m个方程求解。
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为了求解单元数学模型而确定的d维独立变量称为决策变 量。
在m个变量中究竟选取哪d个，具有一定的“自由度”。
d个变量选择原则： 1）选那些受限制较多的变量.如冷却水的温度、流量等，
它们受当地气候和水资源条件的限制。又如高温状态 下物料的温度将受设备材料耐温性能的限制。 2）选出的变量，赋值后，可是系统模型方程的求解，最 为方便、容易。
F1，T1，P1 Q
F3，T3，P3
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（3）闪蒸器
• 闪蒸器的加热量Q必须作为设备参数。故总变 量数为3（C+2）+1，表示闪蒸器变量间关系的 方程为：
• 物料衡算方程 x1i * F1= x2i * F2 + x3i *F3
(i=1,2,….,C)
• 热量衡算方程 • 温度平衡方程 • 压力平衡方程 • 相平衡方程
x 1 jF 1 x 2 jF 2 x 3 jF 3 (j 1 ,2 ,， .C .- 1 .)
• 热量衡算方程 F1H1+F2H2=F3H3
式中H——流股的比摩尔焓 F——流股的摩尔流量 x——流股中组分的摩尔分率 p——压力
独立方程数 C+2
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混合器的独立方程数 m = C+ 2 混合器的自由度 d = n – m =3(C+2)-(C+2)= 2(C+2)
独立方程数 2C+4
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当一个流股分成S个流股，指定输入流股变量C+2 个以及S-1个分割分率值，则可由S(C+2)个独立 方程式解出S个分支流股包含的变量。这样该 分割器的自由度为
d=(S+1)(C+2)+(S-1)-S(C+2)= (C+2)+(S-1)
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（3）闪蒸器
F2，T2，P2
➢ 其他——如混合物中各组分摩尔分率之和必须 等于1的关系（摩尔分率约束方程）等。
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（1）混合器
图中有2个流股合并成1个流股，每个流股有 C+2个独立变量，因此总的变量数有3(C+2） 个。
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对该过程可以Baidu Nhomakorabea立以下独立方程：
• 压力平衡方程 • 物料衡算方程
P3= min(P1,P2) F3= F1 + F2
注意：杜赫姆定理定义自由度时含有归一方程∑xi=1. 所以不含归一方程，则独立流股的自由度为C+3
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2.2单元模型的自由度分析
单元模型方程的分类
➢ 物料衡算方程——指直接表达物料守恒关系式 的方程
➢ 热量衡算方程——指直接表达能量守恒关系即 热力学第一定律
➢ 设备约束方程——物料通过特定设备时受具体 设备的约束，按照特定的关系发生变化。
F2 F1 C+2
r
F3
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• 独立变量数3(C+2)+1, 过程参数(分流比U) 1个 • 2个温度等式 T1=T2, T1=T3 • 2个压力等式 P1=P2, P2=P3 • 2个物料平衡方程 F2= U*F1, F3=(1-U)*F1 • 组份等式
x1i=x2i (i=1,2,…，C-1) x1i=x3i (i=1,2,…，C-1)
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• 在“化工热力学”中，杜赫姆（Duhem）定理指出，对于 一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态取决 于两个独立变量，而不论体系中有多少个相、多少个组分 或多少个化学反应。
• 根据该定理，可推知一个独立流股具有（C+2）个自由度。
• 如规定流股的中C个组分的摩尔流量以及流股的温度T和压 力P，则该流股就确定了。
第二章 过程系统自由度分析及系统分解
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主要内容
2.1 单元模型的自由度分析 2.2 化工单元模型和模块 2.3 过程系统的结构分析
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2.1 自由度分析
化工单元的数学模型是单元的输入变量、输出 变量和过程参数用某种机理的、半机理的或统 计的函数关系关联而成的线性的或非线性的方 程组。
p2-p1=32 l u / d2
机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过
程本质的反映，因此其结果可以外推。
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统计模型
数学模型也可以根据实验装置、中型或大型 工业装置的实测数据，通过数据回归分析得 到纯经验的数学关系式，这就是统计模型。
Nu=0.023Re0.8Pr0.3
统计模型与过程机理无关，是根据实验从输 入和输出变量之间的关系，经分析整理得到。 它只是在实验范围内有效，不具有外推性。
F(X)=0
其中X=（x1,x2,……xn)T为完整描述对象所需的变 量向量，F=（f1,f2,……，fm）为函数关系向量。
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机理模型
由过程机理出发，经推导得到，并得到实验验 证。一般只有对过程内在规律明确且相对比较简 单的研究对象才能建立机理模型。
例如：流体在圆管中作层流流动时其压力p变 化的关系式：
如果有S股输入物流，则自由度为S(C+2)，即相 当于S个输入流股变量后，混合器出口流股的 变量也就确定。
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（2）分割器
由直观分析可知，当指定一股输入物流的变量(C+2) 以及一个分割率（其值在0～1之间），则该分割 器的两股输出物流的变量就完全确定了，即该简 单分割器的自由度为（C+2）+1。
F1 * H1+F2 * H2=F3 * H3 T2=T3 P2=P3 x2i= ki * x3i (i=1,2,….,C)
• 共有2C+3个独立方程
• 故自由度为d= 3(C+2)+1 –(2C+3) = （C +2）+2
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混合模型
对实际过程进行抽象概括和合理简化，然 后对简化的物理模型加以数学概述，这样 得到数学关系式称为混合型模型，它是半 经验半理论化性质的。
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自由度分析的主要目的：在系统求解之前，确定 需要给定多少个变量，可以使系统有唯一确定 的解。
F(X)=0
单元操作过程的数学模型含有m个独立方程，其 中含有n个变量，且n>m，则该模型具有的自由 度为