2016届海淀区高三期末数学(理)答案

π ， 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数学（理科） 2016.1
阅卷须知:
1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
D
C
A
C
D
D
题号 9
10
11
12 13
14 答案
2 ; 5
15 6 2 3
-4
②； 45
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.
15. 解：（Ⅰ）因为 f (x ) = 2 2 cos x s in( x - π
) +1
4
= 2 2 cos x [ 2
(sin x - cos x )] +1
2
…………………………….1 分
= 2cos x (sin x -cos x ) +1
= 2cos x sin x - 2cos 2 x +1
= sin 2x -cos2x
…………………………….5 分
（两个倍角公式，每个各 2 分）
= 2 sin(2x - π
)
4
…………………………….6 分
所以函数 f (x ) 的最小正周期T =
2π | ω |
= π ...................................................................................... 7 分 （Ⅱ）因为
x ∈[ π π]，所以2x ∈[ π π] ，所以(2x - π) ∈[- π ，π ] .................................. 8 分 ， ， 12 6 6 3
4 12 12 当2x - π = - π 4 12 时，函数 f (x ) 取得最小值 2 sin(- π
) ; .............................................................. 10 分
12 当2x - π = π 时，函数 f (x ) 取得最大值 2 sin π
, ...................................................................... 12 分
4 12 12
因 为 2 sin(- π
) + 2 sin( ) = 0 ,
12 12
所以函数 f (x ) 在区间[ π π
] 上的最大值与最小值的和为0 .................................................... 13 分
12 6
16. 解：
（Ⅰ）设持续i 天为事件 A i ,i = 1,2,3,4 ，用药持续最多一个周期为事件 B ， .............. 1 分 所以 P ( A ) = 1，P ( A ) = 1 ⋅ 2，P ( A ) = 1 ⋅ ( 2)2，P ( A ) = 1 ⋅ ( 2
)3 ， ................ 5 分
1 3
2
3 3 3 3 3 4
3 3
则 P (B ) = P ( A ）+ P ( A ) + P ( A ) + P ( A ) = 65 ........................................................................
6 分
1 2 3 4 81
法二：设用药持续最多一个周期为事件 B ，则 B 为用药超过一个周期， ..................
1 分 所以
P (B ) = ( 2)4 = 16
, .............................................................................................................. 3 分 3 81 所以 P (B ) = 1- ( 2)4 = 65 ......................................................................................................
6 分
3 81
（Ⅱ）随机变量η 可以取 1, 2 ， .................................................... 7 分
所 以 P (η = 1) = C 3 (1)3 2 + (1)4 = 1 , P (η = 2) = 1
- 1 = 8 , ......................................................... 11 分 4
3 3 3 9 9 9
所以 E η = 1⋅ 1 + 2 ⋅ 8 = 17 .............................................................................................................
13 分
9 9 9
n , m >=
n ⋅ m = - 1 H
F
A
17. 解：
P
（Ⅰ）过点 F 作 FH AD ，交 PA 于 H ,连接 BH , 因为
PF = 1 PD ，所以 HF = 1 AD = BC .............................................. 1 分 3 3 D
又
FH AD ， AD BC ，所以 HF BC .
…………………………….2 分 B
C
所以 BCFH 为平行四边形, 所以CF
.
…………………………….3 分
又 BH ⊂ 平面 PAB ， CF ⊄ 平面 PAB , ........................................ 4 分（一个都没写的，则这 1 分不给） 所以CF 平面 PAD ....................................................................................5 分
（Ⅱ）因为梯形 ABCD 中， AD BC ， AD ⊥ AB , 所以
BC ⊥ AB . P
因为 PB ⊥ 平面 ABCD ，所以 PB ⊥ AB ，PB ⊥ BC , 如图，以 B 为原点，
B
BC , B A , B P 所在直线为
x , y , z 轴建立空间直角坐标系, ................................................................. 6 分 所以C (1,0,0), D (3,3,0), A (0,3,0), P (0,0,3) .
设平面 BPD 的一个法向量为n = (x , y , z ) ，平面 APD 的一个法向量为m = (a ,b ,c ) , 因为 PD = (3,3, -3), BP = (0,0,3),
⎧⎪PD ⋅ n = 0 ⎧3x + 3y - 3z = 0 所以⎨BP ⋅ n = 0 ，即⎨
3z = 0 ， ............................................ 7 分 ⎩⎪ ⎩ 取
x = 1 得到n = (1, -1,0) ,..................................................................................................................... 8 分 同理可得m = (0,1,1) , ............................................................................................................................ 9 分
所以cos < | n || m |
2 , ........................................................................................................ 10 分 因为二面角 B - PD - A 为锐角，
π
所以二面角 B - PD - A 为 .
…………………………….11 分
3
（Ⅲ）假设存在点 M ，设 PM = λ PD = (3λ,3λ, -3λ) ，
所以CM = CP + λ P M = (-1+ 3λ,3λ,3 - 3λ) , .............................................................................. 12 分
所以 PA ⋅ C M = -9λ + 3(3 - 3λ) = 0 ，解得λ = 1
, ......................................................................... 13 分
2 所以存在点 M ，且 PM = 1 PD =
3 3 ..........................................................................................
14 分 2 2
BH z
F
y
D
A
C
x
2 18．解：（Ⅰ）
因为 f (x ) = kx - (k +1) ln x - 1
,
x
k +1 1 kx 2 - (k + 1)x + 1
所以 f '(x ) = k - + = ， ..................................... 1 分
x x 2 x 2
1 1
( x - 2)( x -1) 当k = 时， f '( x ) = 2 ............................................................................................ 2 分 x
2
1
( x - 2)( x -1) 令 f '( x ) = 2 = 0 x
2
， 得 x 1 = 1, x 2 = 2 ，
............................... 3 分
所以 f '(x ), f (x ) 随 x 的变化情况如下表：
分
所以 f (x ) 在 x = 1 处取得极大值 f (1) = - 1
，
2
在 x = 2 处取得极小值 f (2) = 1 - 3
ln 2 ...................................................................................... 7 分
2 2
函数 f (x ) 的单调递增区间为(0,1) ，(2, +∞) , （Ⅱ）证明：
f (x ) 的单调递减区间为(1, 2)
............................. 8 分 不等式 f (x ) > 1在区间[1,e] 上无解，等价于 f (x ) ≤ 1在区间[1,e] 上恒成立， 即函数 f (x ) 在区间[1,e] 上的最大值小于等于 1.
k ( x - 1
)( x -1)
因为 f '( x ) = k ，
x 2
令 f '(x ) = 0 ，得 x = 1
, x = 1 .......................................................................................................... 9 分
1 k
2
因为0 < k < 1时，所以 1
> 1 .
k
当 1
≥ e 时， f '(x ) ≤ 0 对 x ∈[1,e]成立，函数 f (x ) 在区间[1, e ]上单调递减， ........... 10 分
k
所以函数 f (x ) 在区间[1, e]上的最大值为 f (1) = k -1 < 1,
所以不等式 f (x ) > 1在区间[1, e] 上无解； ........................................... 11 分
当1
< e 时，f '(x), f (x) 随x 的变化情况如下表：k
所以函数f (x) 在区间[1, e]上的最大值为f (1) 或f (e) ............................................................. 12 分
此时 f (1) =k -1 <1, f (e) =k e - (k + 1) -1 ，
e
所以 f (e) -1 =k e - (k + 1) -1 -1
e
=k(e -1) - 2 -1
< (e -1) - 2 -
1
= e - 3 -
1
< 0 .
e e e
综上，当0 <k <1时，关于x 的不等式f (x) >1在区间[1,e] 上无解..................... 13 分
16 1+ k 2 y 1 19. 解：
（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点 A 在圆O : x 2 + y 2
= 16 上，
令 y = 0 ，得 x = ±4 ，所以a = 4 ..................................................................................................... 1 分
又离心率为
3
，所以e = c = 3
，所以c = 2 , .......................................................................... 2 分 2 a 2
所以b 2 = a 2 - c 2 = 4 , ........................................................................................................................ 3 分
所以W 的方程为 x
2 + = 1 ............................................................................................................
4 分
（Ⅱ）
16 4
法一：设点 P (x 1, y 1 ),Q (x 2 , y 2 ) ，设直线 AP 的方程为
y = k (x + 4) ， ..................... 5 分 ⎧ y = k ( x + 4)
⎪
与椭圆方程联立得⎨ x 2 + y 2 = ,
⎩16 4
化简得到(1+ 4k 2 )x 2 + 32k 2 x + 64k 2
-16 = 0 , .................................................................................... 6 分
-32k 2 因为-4 为上面方程的一个根，所以 x 1 + (-4) = 1+ 4k
2 ，所以 x 1 = 4 -16k 2
1 + 4k
2 . …………………………….7 分
所以| AP | . …………………………….8 分
因为圆心到直线 AP 的距离为d = ， ........................................... 9 分
所以| AQ |= 2 2
= 8 , .................................................................................... 10 分
因为
| PQ | = | AQ | - | AP | = | AQ | -1 ， ............................................ 11 分
| AP | | AP | | AP |
| PQ | = 1 + k 2
- = 1 + 4k 2 - = 3k 2 = - 3 代入得到 | AP | 1 8 1 + k 2 2
1 + k
2 1 1 + k 2
3 1 + k 2 .......................................................................................... 13 分 显然3 -
法二：
3 1 + k 2
≠ 3 ，所以不存在直线 AP ，使得| PQ | = 3 ..............................................................14 分 | AP | 设点 P (x 1, y 1 ),Q (x 2 , y 2 ) ，设直线 AP 的方程为 x = my - 4 ， ............................ 5 分
⎧ x = my - 4
⎪ 与椭圆方程联立得⎨ x 2 + y 2 = ⎪⎩16 4 1
3 8 1 + k 2 k 2
+ 1
16 - d 2
1+ k 2
2
化简得到(m 2 + 4) y 2
- 8my = 0 , 由∆ = 64m 2
> 0 得 m ≠ 0 ............................................................ 6 分
显然0 是上面方程的一个根，所以另一个根，即 y 1 = 8m
m 2
+ 4
. …………………………….7 分
由| AP |
y 1 - 0 |
， .............................................
8 分
因为圆心到直线 AP 的距离为
d =
........................................... 9 分
所以| AQ |===
…………………………….10 分
因为
| PQ | = | AQ | - | AP | = | AQ | -1 ， ............................................ 11 分
| AP | | AP | | AP |
| PQ | = = m 2 + 4 - = 3
代入得到
| AP | 1 1 + m 2 1 1 + m 2 , ................................................................ 13 分 若 3 1 + m 2
= 3 ，则m = 0 ，与m ≠ 0 矛盾，矛盾， 所以不存在直线 AP ，使得
| PQ |
= 3 ............................................................................................... 14 分 | AP |
法三：假设存在点 P ，使得| PQ | = 3 ，则 | AQ |
= 4 ，得| y Q | = 4 .............................................. 5 分 | AP | | AP | | y P | 显然直线 AP 的斜率不为零，设直线 AP 的方程为
x = my - 4 ， ........................... 6 分 ⎧ x = my - 4
⎪
由⎨ x 2 + y 2 = ， 得
(m 2 + 4) y 2 - 8my = 0 ,
⎪⎩16 4
由∆ = 64m 2 > 0 得m ≠ 0 ， .......................................................... 7 分
所以 y P = 8m
m 2
+ 4
. …………………………….9 分
同理可得 y Q = 8m
m 2
+1
， ............................................................ 11 分
所以由 | y Q | = 4 得 | y P | m 2 + 4 m 2 +1
= 4 ， ..................................................... 13 分 则 m = 0 ，与 m ≠ 0 矛盾，
所以不存在直线 AP ，使得
| PQ |
= 3 ..............................................................................................14 分 | AP |
1
1 20. 解：
（Ⅰ）因为{a n } 是 P 数列，且a 1 = 0 所以a 3 =| a 2 | -a 0 =| a 2 |， 所以a 4 = a 3 - a 2 = a 2 - a 2 ,
所以 a - a = 1，解得a = - 1
, ............................................................................................... 1 分
2
2 2
2
所以a = 1
, a =| a | -a =3
分 3
2
5 4 3
2
(Ⅱ) 假设 P 数列{a n } 的项都是正数，即a n > 0, a n +1 > 0, a n +2 > 0 ， 所以a n +2 = a n +1 - a n ， a n +3 = a n +2 - a n +1 = -a n < 0 ，与假设矛盾.
故 P 数列{a n } 的项不可能全是正数, ................................................................................................ 5 分 假设 P 数列{a n } 的项都是负数，
则a n < 0, 而a n +2 = a n +1 - a n > 0 ,与假设矛盾, ...........................................................................7 分 故 P 数列{a n } 的项不可能全是负数.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 P 数列{a n } 中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k 满足a k < 0, a k +1 > 0 （ k ≤ 5）. 设a k = -a , a k +1 = b (a ,b > 0)，则
a k +2 =
b + a , a k +3 = a , a k +4 = -b , a k +5 = b - a .
a k +6 =
b - a + b , a k +7 = b - a + a ,a k +8 = a - b ,a k +9 = -a ,a k +10 = b ,
故有a k = a k +9 , 即数列{a n } 是周期为 9 的数列 ....................................... 9 分 由上可知a k , a k +1,⋅⋅⋅, a k +8 这 9 项中a k , a k +4 为负数，a k +5,a k +8 这两项中一个为正数，另一个为负数， 其余项都是正数. 因为2016 = 9 ⨯ 224 ,
所以当k = 1时， m = 224 ⨯ 3 = 672 ;
当2 ≤ k ≤ 5 时， a 1, a 2 ,⋅⋅⋅, a k -1 这k -1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a k -1 , 记a k , a k +1,⋅⋅⋅, a 2016 这2007 - k 项中负数项的个数为t ，
当k = 2,3, 4 时，若a k -1 < 0, 则b = a k +1 = a k - a k -1 > a k = a ，故a k +8 为负数， 此时t = 671， m = 671+1=672 ；
若a k -1 > 0, 则b =a k +1 =a k -a k -1 <a k =a ，故a k +5 为负数.
此时t = 672 ，m = 672 ，
当k = 5 时，a k -1 必须为负数，t = 671，m = 672 , ................................................................. 12 分综上可知m 的取值集合为{672}...................................................................................................... 13 分
说明：1. 正确给出m 的值，给1 分
2.证明中正确合理地求出数列{a n } 的周期给2 分，但是通过特例说明的不给分
3.正确合理说明m 取值情况给2 分。