数学解题理论

2、 怎样解题 （1） 所谓问题，波利亚给出定义： “这就意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不及时可及的目的。 ”问题
可以分成：求解的问题和求证的问题两种。
（2） 从思维角度看，问题解法的产生常常表现为顿悟。 如图，为了解决问题的所有思维活动，如动员和组织各种各样的因素，分离和 重新组合它们，辨认和回忆它们，重新配置和充实我们对这个问题的构思等等，这一切 都是为了预见到解或解的某些特征，以及某一条通向它的小路。 辨认
2、 数学直觉 对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而作出种种预见。庞加莱指出，数学直觉 就是对于数学对象内在的和谐与关系的直接的洞察。并且他突出强调了直觉对于数学学习与数学创造的重要性。 阿达玛在《数学领域中的发明心理学》 （1945）中指出：顿悟是数学发现的一个主要形式。顿悟有以下两个特征： 一、由顿悟所得出的解答与先前的努力似乎毫无关系；二、顿悟是先前的无意识工作的明显证明。 （这里所说的无意识 工作不仅要担当起构造各种各样的思想组合，还要根据我们的审美原则去做最细微和最本质的选择。在无意识的思维 活动与有意识的工作之间存在这相互依赖、相互促进的“合作关系” 。 ） 数学直觉可以进一步区分如：审美直觉、关联直觉、辨伪直觉等
数学解题理论的一些学习体会
一、波利亚的数学启发法 1、 四种具体的解题模式 （1） 双轨迹模式： 问题的未知量为 x 。问题的条件可分成 l 个分款，用有 l 个符号方程的方程组 r 1 ( x) 0 ，r2 ( x) 0 ，„，r l ( x) 0 来表示。满足第一个条件分款（由第一个符号方程表示）的对象组成一个确定的几何，称为的一条轨迹。满足第二个 条件分款的对象组成的二条轨迹，„„，满足最后一个分款的对象组成第 l 条轨迹。而问题的解 x 必须满足全部条件， 因此它必须同时属于 l 条轨迹。即，这 l 条轨迹的交点组成的集合为问题的解集。 双轨迹模式对于解决几何作图问题，或平面解析几何问题比较有效。如：给定三边的长确定三角形。
（2） RMI 方法 映射也是用以实现由未知（难、复杂）到已知（易、简单）的化归的一个重要手段。借助映射所实现的化归具 有以下特点： 通过映射可以建立一个普遍的模式：对数计算法或解析方法。通过解析方法或对数映射，我们可以在两个关系结
构之间建立对应关系，在整体上实现了由较复杂的运算向较简单的运算的转化。 由难到易，由复杂到简单的转化，都是建立在严格的数学形式下，也即是通过在两个关系结构中建立明确定的对
应关系得以实现的。明确的对应关系在数学中称为映射。由于在应用映射法解决问题的过程中有关的映射在相反的方 向上两次得到了应用，即首先被用于由原来得问题去引出问题*，后来又被利用由相应的解答*去引出所寻求的解答。 对关系—映射—反演的方法可以更严格的表述为： 数学对象与关系的结构 映射与反演 在具体应用中， 所面临的问题往往是如何去确定关系结构 S 中的某一未知性状的对象 x 。 我们把这样的对象 x 称为 “目标原象” ，而把 x 在映射 之下的映象 x ( x) 称为“目标映象” 。如果 是个可逆映射，它把关系结构 S 映
5、 数学证明的一般方法：化归与逻辑 各种数学问题的证明，多半使用化归法。郑毓信指出“善于利用化归法是数学家思维方式的一个重要特点。 ”数学 中的化归法，更精确的说就是关系—映射—反演的方法(RMI，由徐利治教授于 1983 年首先提出)。由复杂到简单的转化。 ” ，从方法论的角度，这就是“化归原则” 。 就其基本思想而言，化归原则与波利亚关于解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的。 化归原则的具体应用而言，其中的关键显然在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转 化。数学中实现化归的方法是很多的，分割法就是经常使用的一种。用笛卡儿的话来说分割法的基本思想就是：把你 所考虑到的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们易于求解。波利亚所给出的几个具体的解题模式中 的双轨迹模式和笛卡儿模式都可以看成分割法的特殊情况。前者是通过对未知量（如，点）所应满足的条件进行分割 实现了所说的化归；后者是对未知量本身进行了分割，也即把未知量看成一个多元的未知量（如 ( x, y, z ) 等） ，这样问 题中的条件也就被分割成各个“部分条件” （条件分款） ，而我们就可以由部分条件去列出相应的方程，并进而求得所 需解答。此外，递归模式是指在应用分割法求解问题时，我们不应机械地实行“分割——组合”的过程，而应充分利 用已有的知识，以此为基础进行新的扩展。 相对于一般而言，特殊问题的解决往往比较容易，因此数学中常用到由一般向特殊的化归。同样数学中，恒等变 形也常常被用以实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归。
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成关系结构 S ，在 S 中通过某种形式的有限踱步数学手续，能够把目标映象 x ( x) 一义的确定下来。这样就可
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由目标映象去求得目标原象，原问题就得到了解决。
6、特殊化与一般化 特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子。梅森在《数学地思维》中指出：由于特殊化具有明确的目的性，即 为了更好的了解所面临的问题、发现可能的解题途径等，因此，我们在此就不应对任意的特例去进行考虑，而应特别 注意那些我们较为熟悉的、能较有信心进行操作的对象。 一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。在数学中我们经常通过改变条件、用变量替代常量等来获得更为一般 的结论。 就怎样解题而言，梅森指出，特殊化与一般化贯穿整个解题的过程之中。根据特殊化在解题过程中的作用，梅森 给出如下策略： 由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。 同时，梅森指出一般化是指我们应努力去引出一般的结论，揭示其内在的依据，并作出可能的推广。一般化可以 被认为是围绕这样三个问题展开的： 什么看上去象真的？（猜测） 为什么它是真的？（检验） 它在怎样的范围内看上去也是真的？（新的问题）
3、数学发现的逻辑 拉卡托斯在《证明与反驳》 （1963）中提出了数学发现的逻辑。其对于数学发现的逻辑可以看成波利亚的数学启发 法和波普尔德批判哲学的有机结合。他指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑的实际出发点，数学发现的逻辑的基 本意义在于这是一种对于已有的猜想进行改进的启发性方法。因此，数学发现的逻辑又称为证明与反驳的方法或证明 分析法。这一方法的核心就在于：借助反例去对所给出的“证明”进行分析，使隐蔽的前提明朗化，从而达到对原先 的猜测进行改进的目的。由于证明分析法的最终目标在于获得改进了的猜想，因此，这就是一种发现的逻辑。然而， 这种发现有时通过证明与反驳作出的，后两者显然属于检验的范围。
（3） 递归模式 所谓递归是指知识的“不断扩张” ，即在解题的每一阶段都把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去， 在每一阶段都利用已经得到的知识去得出更多的知识。 如求数列的通项、极限等。
（4） 叠加模式 叠加模式的应用通常包括两个步骤：第一，为了求得一般情形的解，首先处理一个特殊情形。这一特殊情形应 当满足以下条件：它不仅易于解决，而且可以把我们引导到一般情形的解。第二，用模中指定的代数运算（此即为“叠 加” ）把一些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。 如：求证，在一个圆中，弧所对的圆心角是它所对的圆周角的两倍。
2、 简单性原则 从解决问题的过程可以看到简单性原则。在解决问题的思维过程中，常常是先由繁归结到简。这是因为眼前的所谓 “繁”的问题，往往是由与之有联系的相对“简”的一些问题发展来的。退回到“简”的问题，就一定会有所启示。 用简单性原理指导解题，具体可以分成两种情况： 一，将原问题分解，寻求解题的大思路
4、设定数学猜想的一般方法：归纳与类比 在中学数学教学中，类比思想也是经常使用的，大体有如下几种： （1） 个别到一般的推广。如数的运算性质推广到式的运算性质。 （2） 某种特性的推广使用。如数和式的分配律可推广到数列极限的运算或一次函数的运算。 （3） 低维到高维的类比。如平面几何定理推广到立体几何。 （4） 方法上的类比。
分离 重新配置 预见 动员 回忆 充实 组织
（3）解题过程可被分割成四个步骤：第一、弄清问题；第二、制定计划；第三、执行计划；第四、回顾。
第一 你必须弄清问题
未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否 可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或 者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图，引入适当的符号。 把条件的各个部分分开，你能否把他们写下来？ 拟定计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不 同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的 上的定理？ 看着未知数，试想促一个具有相同未知数或相似未知数 的熟悉的问题。 这里有一个与你现在地问题有关，且早已解决的问题。 你能否利用它？你能否利用它的结果？你能利用它的方法 吗？为了能利用它，你是否该引入某些辅助元素？ 你能否重新叙述这个问题？你能否用不同的方法重新叙 述它？ 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关 的问题。你能否想出一个更容易着手的有关问题？一个更普 遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解 决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其它部 分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你 能否从已知数据导出某些有用的东西？你能否想出适合于确 定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数 或数据？如果二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接 近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条 件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？ 实现计划 实现你的求解计划，检查每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一 步骤是正确的？
三、中学数学方法的原理、原则 1、 形式化原则 数学教育必须重视形式化。数学学习从某种意义上来说，这是学习一个个形式系统。从一个测面看，数学问题可 以划分为三类：一、为熟悉某种形式系统内的符号操作规则的练习性问题。二、把实际问题、模型问题咏一个系统内 的符号形式化，然后用该系统内的操作规则，兼顾到有关符号的本真意义，以解决这一问题。三、已经在一个行时系 统内形式化了的问题，需要返回去寻求它的具体模型，或在另一形式系统中，用另外的符号来表述这一问题。 运用形式化原则指导数学解题教学，重要的是培养如下三大意识： 将数学关系、数学问题咏符号恰当地加以形式化的意识。 在形式系统中按操作规则推演时，随时注意关键处字母取值范围的变化，牢固把握符号的本真理解的意识。 为形式关系、形式结构寻求对应的模型的意识。
第二 找出已知数与未 知数之间的联 系。如果找不出 直接的联系，你 可能不得不考虑 辅助问题。你应 该最终得出一个 求解的计划。
第三 实行你的计划
第四 验算所得到的解
回 顾 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结 果？你能不能一下子看出它来？ 你能不能把这一结果或方法用于其它的问题？
二、数学中使用的一般方法 1、 观察和实验 和一般的实验不同，数学实验面对的往往是数据、图形、方程之类的思想材料，进行的是思想试验。是根据研究目 的，认为地创设、改变和控制某种数学情境，在有利的条件下经过思想活动，以研究某种数学现象和数学规律。通过 思想实验，往往会形成一些新的概念，提出一种猜想，或者酝酿一种结构。
（2） 笛卡儿模式——方程的思想 步骤： 在很好理解问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知量。 通盘考虑问题，把已知量和未知量之间根据条件所必须成立的一切关系式都列出来。 列出一部分条件，使你能用两种不同方式表示同一个量，这样可得出一个联系未知量的方程式。这样操作下去， 最后得出一个方程组（方程的个数与未知量个数相等） 解方程组 如求解“鸡兔同笼”问题