数学解题理论
数学中的五大主要解题思路
数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。
函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
高考数学127个快速解题公式
高中数学127个快速解题公式第1章 集合1、有限集合子集个数：子集个数：2n 个，真子集个数：12n -个；2、集合里面重要结论：①A B A A B ⋂=⇒⊆；②A B A B A ⋃=⇒⊆；③A B A B ⇒⇔⊆ ④A B A B ⇔⇔= 3、同时满足求交集，分类讨论求并集4、集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-第2章 函数52.236,3.142, 2.718e π≈≈≈≈≈ 6、分数指数幂公式：nma = 7、对数换底公式：log 1log ;log log log c a a c b b b b a a ==8、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调不变：9、奇偶性的快速法：①.奇±奇→奇；偶±偶→偶；②.奇()⨯÷奇→偶；偶()⨯÷偶→偶；奇()⨯÷偶→奇；10、函数的切线方程：000()()y y f x x x '-=-11、函数有零点min max ()0()0f x f x ≤⎧⇔⎨≥⎩12、函数无零点max min ()0()0f x f x ⇔≤≥或13、函数周期性：()()f a x f b x +=+的周期T b a =-； 14、函数对称性：()()f a x f b x +=-的对称轴2a bx +=； 15、抽象函数对数型：若()()()f xy f x f y =+，则()log a f x x =；16、抽象函数指数型：若()()()f x y f x f y +=，则()xf x a =；17、抽象函数正比型：若()()()f x y f x f y +=+，则()f x kx =； 18、抽象函数一次型：若()f x c '=，则()f x cx b =+；19、抽象函数导数型：若()()f x f x '=，则()x f x ke =或()0f x =;20、两个重要不等式：1ln(1)1(0)ln 1x x e x x x e x x x ⎧≥+⇒+≤≤-==⎨≤-⎩当且仅当时“”成立 21、洛必达法则：()()()()limlim x ax a f x f x g x g x →→'='(当()0()0f x g x ∞→∞或时使用) 22、恒成立问题：max min(1)()()(2)()()a f x a f x a f x a f x ≥⇔≥<⇔<23、证明()()f x g x >思路：思路1：(1)()()()()0h x f x g x h x =-⇔>（常规首选方法）思路2：min max ()()f x g x >（思路1无法完成）第3章 数列24、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 25、等差数列通项公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 26、等比数列通项公式：11n n a a q -=27、等比数列通项公式：11(1)11n n n a a qa q S q q+-==--28、等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 29、等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a = 30、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2A a b =+ 31、等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab = 32、裂项相消法1：若111(1)1n n nn -++=，则有1111n nT n n =-=++ 33、裂项相消法2：若1111(2)22n n n n -++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有1111(1)2212n T n n =+--++ 34、裂项相消法3：若111111n nnn a a d a a ++=-⎛⎫⎪⎝⎭，则有11111()n n T d a a +=- 35、裂项相消法4：若1111(21)(21)22121n n n n -+--+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有11(1)221n T n =-+ 36、错位相减法求和通式：1112()1(1)1n n n n dq b b a b qa b T q q q -=+----第4章 三角函数37、三角函数的定义：正弦：sin y r α=；余弦：cos x r α=；正切：tan yxα=；其中：r =38、诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限；半π加减名要变，符号还是看象限。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法
数学解题涉及到多种基本思想和方法，以下是高考数学中常见的七大基本思想方法：
1. 分析思想：对问题进行分析，了解问题的背景和条件，理清问题的主要要求和关键点。
通过理性思考，找出问题的关键信息和解题的具体思路。
2. 归纳思想：在解题过程中，通过观察和分析一系列具体问题的特点和规律，总结出普遍规律和定理。
通过推理和归纳，用普遍的结论解决具体的问题。
3. 定义思想：利用定义和性质，将一个复杂的问题转化成一个或多个简单的问题，从而得到解题的线索和方法。
通过准确的定义和原理，避免解题过程中的模糊和混乱。
4. 逆向思维：通过逆向思考，将问题的推理过程倒转，从后往前寻找解题的线索和方法。
当直接求解困难时，可以通过反向思考，先假设结论成立，然后倒推出问题的可能解。
5. 近似思想：在实际解题中，可能遇到问题过于复杂或计算困难的情况。
可以通过近似思想，将问题简化成近似问题，从而得到解题的方法和结果。
通过适当的近似和简化，可以减少计算量和复杂度。
6. 映射思维：通过建立不同对象之间的映射关系，将原问题转化成已知问题或同类问题。
通过找出问题之间的联系和相似性，来解决具体的问题。
7. 模型思想：将实际问题抽象成数学模型，通过建立数学模型和方程式来求解问题。
通过对实际问题的抽象和建模，可以将问题转化成更容易解决的数学问题。
这些思想方法在解决高考数学问题中都很有用，需要根据具体问题的特点和要求选择合适的思想方法。
波利亚的解题理论
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第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题 意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系 列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
13
1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成 正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件 是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否 不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之 间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
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例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
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3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用 一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
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回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？ 弗赖登塔尔数学教育理论 建构主义理论 数学教学理论
2
一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论 三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
3
一、波利亚简介
波 利 亚 （ 1887-1985 ） ， 美 籍匈牙利数学家。生于布达佩 斯，卒于美国。青年时期曾在布 达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读 数学、物理和哲学，获博士学 位。1914年在瑞士苏黎世工业大 学任教 ， 1938 年任数理学院院 长。1940年移居美国，历任布朗 大学、斯坦福大学教授。1963年 获美国数学会功勋奖。
高中数学解题理论与技巧第一篇理论篇
解法1:将左端彻底展开,然后逐步倒退, 略加更动,使之变为右端.
评析:这种工作失于过分保守,只知比猫 画虎,毫无创造意识.
注意到要证的等式两端表现的差异,仅
是a 2 与 3 位置不同.若将左端的 a 2 与 3
恒等式的任一端关于 2 , 3 对称就够了.
运用已知条件,记 ti t(i ),则有
=-c(a-b)(c-a-b)-ab(a-b) =(a-b)(ac+bc-c2-ab)=(a-b)(b-c)(c-a) 正好与分母相同,相约后值为1.所以答案为1.
例恒3:等若式函1 t数( t1 ( t (1 x 2 ) )有 2 ) tt( ( t (3 3 x y4 4 )) ) 1t1 t(( x t)t(1 ( x )t1 t (( y3 y) ) ) 性3 ) tt( ( 质2 2 , 则4 4 ) )
2
),由OA⊥OB
得B的坐标为
B
x2
y2
acos( bsin(
) asin
2
) bcos
2
则S=4S△AOB=2OA•OB≤OA2+OB2=(a2cos2θ+ b2sin2θ)+ (a2sin2θ+ b2cos2θ)=a2 + b2
例8:求函数
y
ax 1 a2x2 2
(a≠0)的最大值与最小值.
1
4
3
3k1 4
3,所以最大值为
1
4
3 ,最小值
4
பைடு நூலகம்
例9:设λ,ω是已知的复数(|λ|≠1),解关于z
的方程 zz
解:对已知式求共轭复数 zz
与上式联立可解得
z
初中数学常见解题思路
初中数学常见解题思路初中数学是培养学生数学思维能力和解决问题能力的重要阶段。
在初中数学的学习中，我们经常会遇到一些常见的数学问题，针对这些问题，也有一些常见的解题思路。
下面就让我们来了解一些初中数学常见解题思路。
一、代入法代入法是一种常见的解题思路，用于解决带有未知数的方程或不等式的问题。
它的核心思想是将方程或不等式中的未知数，代入已知条件，从而得到一个具体的解。
这种方法常用于解决一些实际应用题，比如“甲、乙两个数的和是20，差是10，求甲、乙两个数各是多少？”我们可以设甲的值为x，则乙的值为20-x，根据给定的条件可得方程x-(20-x)=10，通过求解方程可以得知甲、乙两个数的值。
二、逆向思维逆向思维是解决问题时的一种常见方法，它的核心思想是从问题的要求出发，逆推求解问题的前提条件。
这种方法常用于解决一些逻辑推理题或概率问题。
比如“现有一对父母和一个孩子，问这个家庭中有至少一个女孩的概率是多少？”我们可以采用逆向思维，从问题的要求出发，考虑没有女孩的情况，即只有一个孩子且为男孩的情况；然后再考虑有1个女孩的情况，即只有一个孩子且为女孩的情况；最后将这两种情况的概率相加，即可得到有至少一个女孩的概率。
三、分析法分析法是解决问题时的一种常见方法，它的核心思想是将复杂的问题分解为简单的小问题，通过分析和解决小问题，再整合得到复杂问题的解。
这种方法常用于解决一些几何题或函数题。
比如“已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，夹角的度数可以取多少？”我们可以通过分析题目的条件，将这个问题分解为求解两边之和大于第三边的条件，然后根据三角形的性质，可以得到夹角的度数的范围。
四、设变量法设变量法是一种常见的解题思路，它的核心思想是通过引入适当的变量，将复杂的问题转化为简单的方程或不等式，从而求解问题。
这种方法常用于解决一些实际应用题，比如“一辆汽车以80km/h的速度行驶2小时的距离与以60km/h的速度行驶3小时的距离相等，求这个距离是多少？”我们可以设这个距离为x km，则根据题目的条件可以得到方程80*2=60*3，通过求解方程可以得到这个距离的值。
初中数学有哪些解题的思想方法
初中数学有哪些解题的思想方法
1，首先也是最重要的是转化思想。
无论是求解还是证明题，最核心的方法就是转化法。
例如要证明a=b，又已知a=c就设法证明b=c即可。
已知MN垂直平分线段AB，则MA=MB。
这样转化就用到了已知条件得到了新的条件，无形中离答案近了一步！
2.按类别讨论想法。
几何题如果没有图形，往往会有两个答案甚至更多。
最常见的是等腰三角形问题。
3，方程思想。
很多几何题需要利用勾股定理和相似作为等量关系列方程求出来。
还有些题则需要设x，但不需要列方程，最后x可以抵消。
4、整体思路。
需要用到一些复杂的求导过程，几何代数就是用这个思路来解题的。
比如郭的数学公益课，我们可以用整体论的思维去解一元二次方程。
5，数形结合思想。
解各类函数问题经常用到，数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,数形结合百般好,隔离分家万事休。
如果不能体会数形结合的妙处，不可能学好函数！
6、临界值思想。
经常用到求取值范围的问题。
郭老师，有十几年的初中数学教学经验，是数学教研组成员，辅导全国各地的学生。
开设公益教学课程:郭数学公益课系列，每天发布初中数学各章节考点及解题方法。
欢迎关注，免费学习。
小学数学常用的16种解题思想方法
数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
小学数学常用的解题思路+详细分析+例子说明
小学数学常用的11种解题思路+详细分析+例子说明一、直接思路"直接思路〞是解题中的常规思路。
它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。
【顺向综合思路】从条件出发，根据数量关系先选择两个数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的条件，与其他的条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。
这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫"综合法〞。
例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析〔按顺向综合思路探索〕：〔1〕根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。
〔2〕根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。
〔3〕通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。
〔4〕狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是一样的。
〔5〕狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下列图〔图2.1〕表示。
例2 下面图形〔图2.2〕中有多少条线段？分析〔仍可用综合思路考虑〕：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做根本线段，则就可以这样来计数。
〔1〕左端点是A的线段有哪些？有AB AC AD AE AF AG共6条。
弗赖登塔尔的数学教育理论及波利亚的解题理论
对于后者，基本流程是：
用数学公式表示关系； 对有关规则作出证明； 尝试建立和使用不同的数学模型； 对得出的数学模型进行调整和加工； 综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； 用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概念 和新方法； 作一般化的处理、推广。
再创造
弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心 是数学过程再现。 学生“再创造”学习数学的过程实际上 就是一个“做数学”的过程。 教师的任务是引导和帮助学生去进行这 种再创造的工作。
再见
谢谢
波利亚的“怎样解题表”（分为四步）
第一步，必 须了解问题 了解问题
未知数是什么？已知数是什么？条件是
什么？ 可能满足什么条件？ 画一个图，引入适当符号。
波利亚的“怎样解题表”（分为四步）
第二步，找 出已知数和 未知数间的 关系。假使 你不能找出 关系，就得 考虑辅助问 题，最后应 想出一个计 划 拟定计划
一名好的数学教师具备两方面的知识
一是数学内容的知识。
二是数学教学法的知识。
波利亚给数学教师提出了“十条建议”
1. 要对所讲的课题有兴趣 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜, 尽量让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
波利亚的著作
《怎样解题》
《数学的发现》
数学中常见的解题思路及技巧
数学中常见的解题思路及技巧数学作为一门科学，其解题思路和技巧是学习和应用数学的基础。
通过掌握一些常见的解题思路和技巧，我们可以更加高效地解决数学问题。
本文将介绍一些常见的解题思路和技巧，并提供相应的示例。
1. 问题分析法问题分析法是解决数学问题的一种常用思路，它要求我们深入分析问题，将复杂的数学问题分解为更简单的子问题，从而逐步解决。
下面以一个代数方程的求解问题为例进行说明：假设我们需要解方程2x + 5 = 15。
首先，我们可以将这个方程分解为：2x = 10。
然后，再将这个简化后的方程进一步分解为：x = 5。
通过问题分析法，我们可以顺利求解得到方程的解。
2. 借助图形工具图形工具是解决几何问题时非常实用的技巧。
通过画图，我们可以更好地理解问题，并利用几何性质进行分析和推理。
以下是一个应用图形工具解决几何问题的示例：已知一个三角形ABC，其中∠ABC = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm。
要求求解∠BAC的大小。
我们可以通过画一条辅助线AD，使得AD ⊥ BC，并延长AD达到BC的延长线。
此时，我们可以利用三角形的性质得出∠BAC = ∠BAD。
进一步，由于∠ABC = 90°，则∠BAD = ∠BAC = 90°。
通过借助图形工具，我们成功求解出∠BAC的大小。
3. 利用变量代换利用变量代换的技巧在解决复杂的数学问题时十分有效。
通过引入新的变量，我们可以将原问题转化为更易解的问题。
以下是一个利用变量代换解决方程问题的示例：假设要求解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们可以引入一个新的变量y，假设y = x + 2。
将原方程中的x用y代换，得到(y - 2)^2 + 5(y - 2) + 6 = 0。
然后，我们可以对这个新的方程进行求解，得到y的解。
最后，再将y的解代回原方程，求得x的解。
通过利用变量代换，我们可以更好地解决复杂的方程问题。
4. 利用数学定理和公式数学定理和公式是解决问题时不可忽视的重要工具。
数学试题解题方法及公式定理
数学试题解题方法及公式定理利用x^2+p+qx+pq=x+qx+p其中PQ为常数;x^2是X的平方1.因式分解即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止;而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则结果唯一,因为：数域F上的次数大于零的多项式fx,如果不计零次因式的差异,那么fx可以唯一的分解为以下形式：fx=aP1k1xP2k2x…Pikix,其中α是fx的最高次项的系数,P1x,P2x……Pix是首1互不相等的不可约多项式,并且PixI=1,2…,t是fx的Ki重因式;或叫做多项式fx的典型分解式;证明：可参见高代P52-53初等数学中,把多项式的分解叫因式分解,其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止;2.方法介绍提公因式法：如果多项式各项都有公共因式,则可先考虑把公因式提出来,进行因式分解,注意要每项都必须有公因式;例15x3+10x2+5x解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x,接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解;解：原式=5xx2+2x+1=5xx+12公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征,即可采用套公式法,进行多项式的因式分解,故对于一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外,数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=a+ba-ba2±2ab+b2=a±b2a3+b3=a+ba2-ab+b2a3-b3=a-ba2+ab+b2a3±3a2b+3ab2±b2=a±b3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a+b+c2a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=a1+a2+…+an2a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-ac-bcan+bn=a+ban-1-an-2b+…+bn-1n为奇数说明由因式定理,即对一元多项式fx,若fb=0,则一定含有一次因式x-b;可判断当n为偶数时,当a=b,a=-b时,均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b,a-b因式;例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=8x3-y68x3+y6=2x-y24x2+2xy2+y42x+y24x2-2xy2+y4②1+x+x2+ (x15)=1+x1+x21+x41+x8注多项式分解时,先构造公式再分解;分组分解法当多项式的项数较多时,可将多项式进行合理分组,达到顺利分解的目的;当然可能要综合其他分法,且分组方法也不一定唯一;例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1解原式=x15+m12+m9+m6+m3+1=m12m3+1+m6m3+1+m3+1=m3+1m12+m6++1=m3+1m6+12-m6=m+1m2-m+1m6+1+m3m6+1-m3例2分解因式：x4+5x3+15x-9解析可根据系数特征进行分组解原式=x4-9+5x3+15x=x2+3x2-3+5xx2+3=x2+3x2+5x-3十字相乘法对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,即x2+b+cx+bc=x+bx+c当x2项系数不为1时,同样也可用十字相乘进行操作; 例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12解①1x21x-3原式=x+2x-3②2x-33x4原式=2x-33x+4注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法;双十字相乘法在分解二次三项式时,十字相乘法是常用的基本方法,对于比较复杂的多项式,尤其是某些二次六项式,如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3,也可以运用十字相乘法分解因式,其具体步骤为：1用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式,得到一个十字相乘图2把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项,同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=2x-3y+12x+y-32x-3y12xy-3②原式=x-5y+2x+2y-1x-5y2x2y-1③原式=b+1a+b-20ab1ab-2④原式=2x-3y+z3x+y-2z2x-3yz3x-y-2z说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法,当然此题也可用分组分解法;如ab+a+b2-b-2=ab+1+b+1b-2=b+1a+b-2④式三个字母满足二次六项式,把-2z2看作常数分解即可：拆法、添项法对于一些多项式,如果不能直接因式分解时,可以将其中的某项拆成二项之差或之和;再应用分组法,公式法等进行分解因式,其中拆项、添项方法不是唯一,可解有许多不同途径,对题目一定要具体分析,选择简捷的分解方法;例6分解因式：x3+3x2-4解析法一：可将-4拆成-1,-3即x3-1+3x2-3法二：添x4,再减x4,.即x4+3x2-4+x3-x4法三：添4x,再减4x即,x3+3x2-4x+4x-4法四：把3x2拆成4x2-x2,即x3-x2+4x2-4法五：把x3拆为,4x2-3x3即4x3-4-3x3-3x2等解选择法四原式=x3-x2+4x2-4=x2x-1+4x-1x+1=x-1x2+4x+4=x-1x+222．7换元法换元法就是引入新的字母变量,将原式中的字母变量换掉化简式子;运用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果;例7分解因式：x+1x+2x+3x+4-120解析若将此展开,将十分繁琐,但我们注意到x+1x+4=x2+5x+4x+2x+3=x2+5x+6故可用换元法分解此题解原式=x2+5x+4x2+5x+6-120令y=x2+5x+5则原式=y-1y+1-120=y2-121=y+11y-11=x2+5x+16x2+5x-6=x+6x-1x2+5x+16注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单2．8待定系数法待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n 个含有特殊确定系数的方程组,解出这个方程组求出待定系数;待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用;例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20分析属于二次六项式,也可考虑用双十字相乘法,在此我们用待定系数法先分解2a2+3ab+9b2=2a-3ba+3b解设可设原式=2a-3b+ma+3b+n=2a2+3ab-9b2+m+2na+3m-3nb+mn……………比较两个多项式即原式与式的系数m+2n=141m=43m-3n=-32=>mn=203n=5∴原式=2x-3b+4a+3b+5注对于式因为对a,b取任何值等式都成立,也可用令特殊值法,求m,n令a=1,b=0,m+2n=14m=4=>令a=0,b=1,m=n=-1n=5因式定理、综合除法分解因式对于整系数一元多项式fx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0由因式定理可先判断它是否含有一次因式x-其中p,q互质,p为首项系数an的约数,q为末项系数a0的约数若f=0,则一定会有x-再用综合除法,将多项式分解例8分解因式x3-4x2+6x-4解这是一个整系数一元多项式,因为4的正约数为1、2、4∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,∵f1≠0,f1≠0但f2=0,故x-2是这个多项式的因式,再用综合除法21-46-42-441-220所以原式=x-2x2-2x+2当然此题也可拆项分解,如x3-4x2+4x+2x-4=xx-22+x-2=x-2x2-2x+2分解因式的方法是多样的,且其方法之间相互联系,一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成,故在知晓这些方法之后,一定要注意各种方法灵活运用,牢固掌握-------------------------------------------------------------------------------------------------------------不知道你是什么教材的初中的都给你好了-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理ASA有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理SSS 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于n-2×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=a×b÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=a+b÷2 S=L×h83 1比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕84 2合比性质如果a／b=c／d,那么a±b／b=c±d／d85 3等比性质如果a／b=c／d=…=m／nb+d+…+n≠0,那么a+c+…+m／b+d+…+n=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似ASA92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似SAS94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似SSS95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆;110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+rR＞r④两圆内切d=R-rR＞r ⑤两圆内含d＜R-rR＞r136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公弦137定理把圆分成nn≥3:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于n-2×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×n-2180°／n=360°化为n-2k-2=4144弧长扑愎剑篖=n兀R／180145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长= d-R-r 外公切线长= d-R+r还有一些,大家帮补充吧实用工具:常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a^2-b^2=a+ba-ba^3+b^3=a+ba^2-ab+b^2a^3-b^3=a-ba^2+ab+b^2三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√b^2-4ac/2a -b-√b^2-4ac/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理判别式b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b^2-4ac<0 注：方程没有实根,有轭复数根三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBcotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotAcotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA倍角公式tan2A=2tanA/1-tanA^2cos2a=cosa^2-sina^2=2cosa^2 -1=1-2sina^2半角公式sinA/2=√1-cosA/2 sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2 cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosA tanA/2=-√1-cosA/1+cosAcotA/2=√1+cosA/1-cosA cotA/2=-√1+cosA/1-cosA和差化积2sinAcosB=sinA+B+sinA-B2cosAsinB=sinA+B-sinA-B2cosAcosB=cosA+B-sinA-B-2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/21+3+5+7+9+11+13+15+…+2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+1 51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=nn+12n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2n+12/412+23+34+45+56+67+…+nn+1=nn+1n+2/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程x-a^2+y-b^2=^r2 注：a,b是圆心坐标圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0抛物线标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py直棱柱侧面积S=ch 斜棱柱侧面积S=c'h正棱锥侧面积S=1/2ch' 正棱台侧面积S=1/2c+c'h'圆台侧面积S=1/2c+c'l=piR+rl 球的表面积S=4pir2圆柱侧面积S=ch=2pih 圆锥侧面积S=1/2cl=pirl弧长公式l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2lr锥体体积公式V=1/3SH 圆锥体体积公式V=1/3pir2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=sh 圆柱体 V=pir2h。
波利亚“解题理论”及启示
波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。
关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。
1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。
波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。
他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。
1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。
1.1弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。
因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。
在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。
然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。
当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。
高中数学19种答题方法及6种解题思想
高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
初中数学48个解题模型
初中数学48个解题模型数学是一门需要理解和掌握的学科，而解题模型则是数学学习中非常重要的一部分。
解题模型是指在解决数学问题时，根据问题的特点和要求，采用合适的方法和步骤，运用数学知识进行分析、计算和推理的一种解题方式。
在初中数学学习中，掌握一定的解题模型，可以更好地提高数学解题的能力和效率。
下面，我们将介绍初中数学中常用的48个解题模型，其中包括了初中数学的各个方面，希望对初中数学学习有所帮助。
1. 等式变形模型：根据等式变形的性质，对等式进行变形，使其更加简单易解。
2. 分式化简模型：根据分式化简的原理，对分式进行化简，使其更加简单易解。
3. 去括号模型：根据去括号的原理，将括号内的式子进行展开，使其更加简单易解。
4. 合并同类项模型：根据合并同类项的原理，将同类项进行合并，使其更加简单易解。
5. 因式分解模型：根据因式分解的原理，将式子进行因式分解，使其更加简单易解。
6. 基本不等式模型：根据基本不等式的原理，对不等式进行变形，使其更加简单易解。
7. 二次函数解析式模型：根据二次函数解析式的原理，求出二次函数的解析式。
8. 三角函数解析式模型：根据三角函数解析式的原理，求出三角函数的解析式。
9. 解方程模型：根据解方程的原理，对方程进行变形，求出方程的解。
10. 解不等式模型：根据解不等式的原理，对不等式进行变形，求出不等式的解。
11. 平面几何基本定理模型：根据平面几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
12. 空间几何基本定理模型：根据空间几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
13. 三角形的性质模型：根据三角形的性质，对三角形问题进行求解。
14. 相似三角形模型：根据相似三角形的原理，对相似三角形问题进行求解。
15. 同余模型：根据同余的原理，对同余问题进行求解。
16. 勾股定理模型：根据勾股定理的原理，对勾股定理问题进行求解。
17. 三角函数基本关系式模型：根据三角函数的基本关系式，对三角函数问题进行求解。
数学竞赛解题规律及方法
数学竞赛集训材料姓名一、速算与巧算：项数=（末项-首项）÷公差+11、等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2末项=首项+（项数-1）×公差首项=末项-（项数-1）×公差2、速算：（1）、13+23+33+……+n3=（1+2+3…+ n）2（2）、1+3+5+7+9+…+ n=项数的平方（n为奇数）二、数的整除（1）能被4整除的数：末两位数要能被4整除。
（2）能被25整除的数：末两位要能被25整除。
（3）能被8或125整除的数：末三位数要能被8（或125）整除。
（4）能被9整除的数：各位数字之和要能被9整除。
（5）能被11整除的数：奇位数字之和与偶数位上数字之和的差要能被11整除。
（6）能被7、13整除的数：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差要能被7或13整除。
例：（1）用0-9这十个不同的数字可以组成许许多多不同的十位数。
在这众多的十位数中能被11整除的最大的十位数是（）。
（2）请你只修改“970405”中的某一位数字，使这个六位数能被225整除。
（3）一个四位数能被45整除，它的千位数字与个位数字的积等于20，百位数字与十位数字组成的二位数是9的四倍。
这个是四位数是（）。
三、数的奇偶性：奇+奇 =偶偶+偶=偶偶+奇=奇奇+奇+…… +奇=奇奇+奇+ …… +奇=偶奇数个偶数个奇-奇=偶偶-偶=偶奇-偶=奇偶-奇=奇奇×奇=奇偶×偶=偶奇×偶=偶四、同余和剩余问题：1、如果两整数被N除时，余数相同，则它们的差必能被N整除。
2、被除数加上除数的倍数，再除以除数、余数不变。
3、如果整数A1和B1，除以同一个自然数M，所得的余数相同；A2和B2除以同一个自然数M，余数也相同，那么A1+A2，B1+B2除以M所得的余数也相同。
4、如果整数A和B除以自然数M所得的余数相同，那么A N和B N除以M所得的余数也相同。
初中数学常见解题模型及思路(中考数学难题破解自有定理)
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ． 代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108⋅⋅⋅化为分数。
设S=0.108108108⋅⋅⋅ （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108⋅⋅⋅（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22x y + 中，知二求二。
222222()2()2x y x y xy x y x y xy +=++⇒+=+- 2222()2()4x y x y xy x y xy -=+-=+- 加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x x x x ±=+±2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+（）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。
7．11n m m n --=mn 的灵活应用：如：111162323==-⨯等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111x y x y x y+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
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2、 怎样解题 （1） 所谓问题，波利亚给出定义： “这就意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不及时可及的目的。 ”问题
可以分成：求解的问题和求证的问题两种。
（2） 从思维角度看，问题解法的产生常常表现为顿悟。 如图，为了解决问题的所有思维活动，如动员和组织各种各样的因素，分离和 重新组合它们，辨认和回忆它们，重新配置和充实我们对这个问题的构思等等，这一切 都是为了预见到解或解的某些特征，以及某一条通向它的小路。 辨认
2、 数学直觉 对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而作出种种预见。庞加莱指出，数学直觉 就是对于数学对象内在的和谐与关系的直接的洞察。并且他突出强调了直觉对于数学学习与数学创造的重要性。 阿达玛在《数学领域中的发明心理学》 （1945）中指出：顿悟是数学发现的一个主要形式。顿悟有以下两个特征： 一、由顿悟所得出的解答与先前的努力似乎毫无关系；二、顿悟是先前的无意识工作的明显证明。 （这里所说的无意识 工作不仅要担当起构造各种各样的思想组合，还要根据我们的审美原则去做最细微和最本质的选择。在无意识的思维 活动与有意识的工作之间存在这相互依赖、相互促进的“合作关系” 。 ） 数学直觉可以进一步区分如：审美直觉、关联直觉、辨伪直觉等
数学解题理论的一些学习体会
一、波利亚的数学启发法 1、 四种具体的解题模式 （1） 双轨迹模式： 问题的未知量为 x 。问题的条件可分成 l 个分款，用有 l 个符号方程的方程组 r 1 ( x) 0 ，r2 ( x) 0 ，„，r l ( x) 0 来表示。满足第一个条件分款（由第一个符号方程表示）的对象组成一个确定的几何，称为的一条轨迹。满足第二个 条件分款的对象组成的二条轨迹，„„，满足最后一个分款的对象组成第 l 条轨迹。而问题的解 x 必须满足全部条件， 因此它必须同时属于 l 条轨迹。即，这 l 条轨迹的交点组成的集合为问题的解集。 双轨迹模式对于解决几何作图问题，或平面解析几何问题比较有效。如：给定三边的长确定三角形。
（2） RMI 方法 映射也是用以实现由未知（难、复杂）到已知（易、简单）的化归的一个重要手段。借助映射所实现的化归具 有以下特点： 通过映射可以建立一个普遍的模式：对数计算法或解析方法。通过解析方法或对数映射，我们可以在两个关系结
构之间建立对应关系，在整体上实现了由较复杂的运算向较简单的运算的转化。 由难到易，由复杂到简单的转化，都是建立在严格的数学形式下，也即是通过在两个关系结构中建立明确定的对
应关系得以实现的。明确的对应关系在数学中称为映射。由于在应用映射法解决问题的过程中有关的映射在相反的方 向上两次得到了应用，即首先被用于由原来得问题去引出问题*，后来又被利用由相应的解答*去引出所寻求的解答。 对关系—映射—反演的方法可以更严格的表述为： 数学对象与关系的结构 映射与反演 在具体应用中， 所面临的问题往往是如何去确定关系结构 S 中的某一未知性状的对象 x 。 我们把这样的对象 x 称为 “目标原象” ，而把 x 在映射 之下的映象 x ( x) 称为“目标映象” 。如果 是个可逆映射，它把关系结构 S 映
5、 数学证明的一般方法：化归与逻辑 各种数学问题的证明，多半使用化归法。郑毓信指出“善于利用化归法是数学家思维方式的一个重要特点。 ”数学 中的化归法，更精确的说就是关系—映射—反演的方法(RMI，由徐利治教授于 1983 年首先提出)。由复杂到简单的转化。 ” ，从方法论的角度，这就是“化归原则” 。 就其基本思想而言，化归原则与波利亚关于解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的。 化归原则的具体应用而言，其中的关键显然在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转 化。数学中实现化归的方法是很多的，分割法就是经常使用的一种。用笛卡儿的话来说分割法的基本思想就是：把你 所考虑到的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们易于求解。波利亚所给出的几个具体的解题模式中 的双轨迹模式和笛卡儿模式都可以看成分割法的特殊情况。前者是通过对未知量（如，点）所应满足的条件进行分割 实现了所说的化归；后者是对未知量本身进行了分割，也即把未知量看成一个多元的未知量（如 ( x, y, z ) 等） ，这样问 题中的条件也就被分割成各个“部分条件” （条件分款） ，而我们就可以由部分条件去列出相应的方程，并进而求得所 需解答。此外，递归模式是指在应用分割法求解问题时，我们不应机械地实行“分割——组合”的过程，而应充分利 用已有的知识，以此为基础进行新的扩展。 相对于一般而言，特殊问题的解决往往比较容易，因此数学中常用到由一般向特殊的化归。同样数学中，恒等变 形也常常被用以实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归。
*
成关系结构 S ，在 S 中通过某种形式的有限踱步数学手续，能够把目标映象 x ( x) 一义的确定下来。这样就可
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由目标映象去求得目标原象，原问题就得到了解决。
6、特殊化与一般化 特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子。梅森在《数学地思维》中指出：由于特殊化具有明确的目的性，即 为了更好的了解所面临的问题、发现可能的解题途径等，因此，我们在此就不应对任意的特例去进行考虑，而应特别 注意那些我们较为熟悉的、能较有信心进行操作的对象。 一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。在数学中我们经常通过改变条件、用变量替代常量等来获得更为一般 的结论。 就怎样解题而言，梅森指出，特殊化与一般化贯穿整个解题的过程之中。根据特殊化在解题过程中的作用，梅森 给出如下策略： 由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。 同时，梅森指出一般化是指我们应努力去引出一般的结论，揭示其内在的依据，并作出可能的推广。一般化可以 被认为是围绕这样三个问题展开的： 什么看上去象真的？（猜测） 为什么它是真的？（检验） 它在怎样的范围内看上去也是真的？（新的问题）
3、数学发现的逻辑 拉卡托斯在《证明与反驳》 （1963）中提出了数学发现的逻辑。其对于数学发现的逻辑可以看成波利亚的数学启发 法和波普尔德批判哲学的有机结合。他指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑的实际出发点，数学发现的逻辑的基 本意义在于这是一种对于已有的猜想进行改进的启发性方法。因此，数学发现的逻辑又称为证明与反驳的方法或证明 分析法。这一方法的核心就在于：借助反例去对所给出的“证明”进行分析，使隐蔽的前提明朗化，从而达到对原先 的猜测进行改进的目的。由于证明分析法的最终目标在于获得改进了的猜想，因此，这就是一种发现的逻辑。然而， 这种发现有时通过证明与反驳作出的，后两者显然属于检验的范围。
（3） 递归模式 所谓递归是指知识的“不断扩张” ，即在解题的每一阶段都把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去， 在每一阶段都利用已经得到的知识去得出更多的知识。 如求数列的通项、极限等。
（4） 叠加模式 叠加模式的应用通常包括两个步骤：第一，为了求得一般情形的解，首先处理一个特殊情形。这一特殊情形应 当满足以下条件：它不仅易于解决，而且可以把我们引导到一般情形的解。第二，用模中指定的代数运算（此即为“叠 加” ）把一些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。 如：求证，在一个圆中，弧所对的圆心角是它所对的圆周角的两倍。
2、 简单性原则 从解决问题的过程可以看到简单性原则。在解决问题的思维过程中，常常是先由繁归结到简。这是因为眼前的所谓 “繁”的问题，往往是由与之有联系的相对“简”的一些问题发展来的。退回到“简”的问题，就一定会有所启示。 用简单性原理指导解题，具体可以分成两种情况： 一，将原问题分解，寻求解题的大思路
4、设定数学猜想的一般方法：归纳与类比 在中学数学教学中，类比思想也是经常使用的，大体有如下几种： （1） 个别到一般的推广。如数的运算性质推广到式的运算性质。 （2） 某种特性的推广使用。如数和式的分配律可推广到数列极限的运算或一次函数的运算。 （3） 低维到高维的类比。如平面几何定理推广到立体几何。 （4） 方法上的类比。
分离 重新配置 预见 动员 回忆 充实 组织
（3）解题过程可被分割成四个步骤：第一、弄清问题；第二、制定计划；第三、执行计划；第四、回顾。
第一 你必须弄清问题
未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否 可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或 者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图，引入适当的符号。 把条件的各个部分分开，你能否把他们写下来？ 拟定计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不 同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的 上的定理？ 看着未知数，试想促一个具有相同未知数或相似未知数 的熟悉的问题。 这里有一个与你现在地问题有关，且早已解决的问题。 你能否利用它？你能否利用它的结果？你能利用它的方法 吗？为了能利用它，你是否该引入某些辅助元素？ 你能否重新叙述这个问题？你能否用不同的方法重新叙 述它？ 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关 的问题。你能否想出一个更容易着手的有关问题？一个更普 遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解 决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其它部 分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你 能否从已知数据导出某些有用的东西？你能否想出适合于确 定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数 或数据？如果二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接 近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条 件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？ 实现计划 实现你的求解计划，检查每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一 步骤是正确的？
三、中学数学方法的原理、原则 1、 形式化原则 数学教育必须重视形式化。数学学习从某种意义上来说，这是学习一个个形式系统。从一个测面看，数学问题可 以划分为三类：一、为熟悉某种形式系统内的符号操作规则的练习性问题。二、把实际问题、模型问题咏一个系统内 的符号形式化，然后用该系统内的操作规则，兼顾到有关符号的本真意义，以解决这一问题。三、已经在一个行时系 统内形式化了的问题，需要返回去寻求它的具体模型，或在另一形式系统中，用另外的符号来表述这一问题。 运用形式化原则指导数学解题教学，重要的是培养如下三大意识： 将数学关系、数学问题咏符号恰当地加以形式化的意识。 在形式系统中按操作规则推演时，随时注意关键处字母取值范围的变化，牢固把握符号的本真理解的意识。 为形式关系、形式结构寻求对应的模型的意识。