高等数学竞赛辅导综合题汇总
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高等数学综合练习题
1、设,{xn}满足:
证明:{xn}收敛,并求limxn。
分析:用数列通项表示的这种类型题目,往往要用单调有界必有极限这个定理来解决,因此先要用不等式技术证明{xn}单调且有界。
证明: (1)证明:易见,则
,
从而有:, 2xn2xn
故{xn}单调减少,且有下界。所以{xn}收敛。
(2)设,在两边同时取极限得 2xn
解之得,即。
、设f(x)在的邻域具有二阶导数,且,试求
f(0),
及
分析:这种类型的题目,先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零,得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。
得解由li
,
因为分母极限为零,从而分子极限为零,即
limln[1f(x)
,可以得到limf(x)
,
同样,我们有
,
由导数的定义得
。
因为f(x)在的邻域具有二阶导数,由泰勒公式得
)
两边取极限得
10(x2
,
故。
3、设,且f(x)在满足:,有
(为常数)。证明: f(x)
x在有界。
证明:由条件知,,有
,
则
,
从而
故, x|x||x|xxaf(x)在有界。 x 、设函数且存在, 试确定常数a, b, c.
分析:这是一个分段函数,分段函数在分段点的导数要用定义求。
解:由条件可知函数f(x)在处连续, 故。
由条件可知在处连续,且故。
因此从而,故,则
。 2
5、设当时, 可微函数f(x)满足条件
,试证: 当时, 有成立,且
分析:这是一个积分微分方程,可以通过两边求导变成一个微分方程,然后求解。证明: 设由题设知则所给方程可变形为
两端对x求导并整理得
,
这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得
可见f(x)单减. 由得
而所以当时。
在[0,x]上进行积分得对
-
x
6、计算三重积分
V
x2y2z2
。 abc
x2y2z2
其中V是椭球体。
abc
分析:计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容,这种题目都是将重积分化成累次积分,而累次积分的关键是要确定出每个积分的限,确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域,因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。解:由于
V
x2
V
y2
V
z2
, c2
其中
V
x2
x2
dydz,
D
a
这里D表示椭球面
y2z2x2
bca
或
y2x22
a
z2x22
a
。
它的面积为 x2x2x2
。 aaa
于是
。 2215aa2
同理可得, 15b2
。
所以
7、讨论积分。 155
的敛散性。
分析:积分敛散性的讨论是数学中的一个难点,要用不等式技术和一些重要结
论,其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。
解:首先注意到。
,从而当x充分大时,函数若,则当x充分大时,
x是递减的,且这时
。
又因(对任何),故收敛。
若,则恒有,故函数在上是递增的。于
是,正整数n,有
4
4
常数,
故不满足Cauchy收敛准则,因此发散。
8、设f(x)在上二阶可导,
求证:使
分析:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容,往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时,采用多种方法去解决,能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。
证1 令则
由洛尔定理知
由洛尔定理知证2 令由拉格朗日定理知
由洛尔定理知证3 在展开为一阶泰勒公式
因故
1证4 令用两次洛尔定理。 2
证5 令用一次洛尔定理。
9、设f在[a,b]上可微,且a与b同号,证明:存在,使
(1);
(2)
证:(1)令,显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件,所以
,
即
(2)令,显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件,所以
,
即
10、设二阶可微,,证明:存在,使
证明:令,则。显然F(x)在[0,1]上满足
Rolle定理的条件,从而,使又,于是在上满足Rolle定理的条件,故,使,即存在,使
11、设f(x)是定义在上的函数,
且
证明:f在上可导,且
是一个很广的条件,分析:由于已知条件:要充分利用它;另外要用导数的定义。
证明:由已知条件得因为
。
所以f(x)在上可导,且
12、设,且,
证明:
分析:从结论可以看出,绝对值里面刚好是,因此容易想到先求f(x)的导数。再用导数的定义。
证明:因为,所以
又
,
所以
即。