高等数学竞赛辅导综合题汇总

高等数学综合练习题

1、设，{xn}满足：

证明：{xn}收敛，并求limxn。

分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明{xn}单调且有界。

证明: （1）证明：易见，则

，

从而有：， 2xn2xn

故{xn}单调减少，且有下界。所以{xn}收敛。

（2）设，在两边同时取极限得 2xn

解之得，即。

、设f(x)在的邻域具有二阶导数，且，试求

f(0)，

及

分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。

得解由li

，

因为分母极限为零，从而分子极限为零，即

limln[1f(x)

，可以得到limf(x)

，

同样，我们有

，

由导数的定义得

。

因为f(x)在的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得

）

两边取极限得

10(x2

，

故。

3、设，且f(x)在满足：，有

（为常数）。证明： f(x)

x在有界。

证明：由条件知，，有

，

则

，

从而

故， x|x||x|xxaf(x)在有界。 x 、设函数且存在, 试确定常数a, b, c.

分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。

解：由条件可知函数f(x)在处连续, 故。

由条件可知在处连续,且故。

因此从而，故，则

。 2

5、设当时, 可微函数f(x)满足条件

，试证: 当时, 有成立，且

分析：这是一个积分微分方程，可以通过两边求导变成一个微分方程，然后求解。证明: 设由题设知则所给方程可变形为

两端对x求导并整理得

，

这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得

可见f(x)单减. 由得

而所以当时。

在[0,x]上进行积分得对

-

x

6、计算三重积分

V

x2y2z2

。 abc

x2y2z2

其中V是椭球体。

abc

分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。解：由于

V

x2

V

y2

V

z2

， c2

其中

V

x2

x2

dydz，

D

a

这里D表示椭球面

y2z2x2

bca

或

y2x22

a

z2x22

a

。

它的面积为 x2x2x2

。 aaa

于是

。 2215aa2

同理可得， 15b2

。

所以

7、讨论积分。 155

的敛散性。

分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结

论，其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。

解：首先注意到。

，从而当x充分大时，函数若，则当x充分大时，

x是递减的，且这时

。

又因（对任何），故收敛。

若，则恒有，故函数在上是递增的。于

是，正整数n，有

4

4

常数，

故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。

8、设f(x)在上二阶可导，

求证：使

分析：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时，采用多种方法去解决，能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。

证1 令则

由洛尔定理知

由洛尔定理知证2 令由拉格朗日定理知

由洛尔定理知证3 在展开为一阶泰勒公式

因故

1证4 令用两次洛尔定理。 2

证5 令用一次洛尔定理。

9、设f在[a,b]上可微，且a与b同号，证明：存在，使

（1）；

（2）

证：（1）令，显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件，所以

，

即

（2）令，显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件，所以

，

即

10、设二阶可微，，证明：存在，使

证明：令，则。显然F(x)在[0,1]上满足

Rolle定理的条件，从而，使又，于是在上满足Rolle定理的条件，故，使，即存在，使

11、设f(x)是定义在上的函数，

且

证明：f在上可导，且

是一个很广的条件，分析：由于已知条件：要充分利用它；另外要用导数的定义。

证明：由已知条件得因为

。

所以f(x)在上可导，且

12、设，且，

证明：

分析：从结论可以看出，绝对值里面刚好是，因此容易想到先求f(x)的导数。再用导数的定义。

证明：因为，所以

又

，

所以

即。