高等数学竞赛辅导综合题汇总

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高等数学综合练习题

1、设,{xn}满足:

证明:{xn}收敛,并求limxn。

分析:用数列通项表示的这种类型题目,往往要用单调有界必有极限这个定理来解决,因此先要用不等式技术证明{xn}单调且有界。

证明: (1)证明:易见,则

从而有:, 2xn2xn

故{xn}单调减少,且有下界。所以{xn}收敛。

(2)设,在两边同时取极限得 2xn

解之得,即。

、设f(x)在的邻域具有二阶导数,且,试求

f(0),

分析:这种类型的题目,先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零,得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。

得解由li

因为分母极限为零,从而分子极限为零,即

limln[1f(x)

,可以得到limf(x)

同样,我们有

由导数的定义得

因为f(x)在的邻域具有二阶导数,由泰勒公式得

两边取极限得

10(x2

故。

3、设,且f(x)在满足:,有

(为常数)。证明: f(x)

x在有界。

证明:由条件知,,有

从而

故, x|x||x|xxaf(x)在有界。 x 、设函数且存在, 试确定常数a, b, c.

分析:这是一个分段函数,分段函数在分段点的导数要用定义求。

解:由条件可知函数f(x)在处连续, 故。

由条件可知在处连续,且故。

因此从而,故,则

。 2

5、设当时, 可微函数f(x)满足条件

,试证: 当时, 有成立,且

分析:这是一个积分微分方程,可以通过两边求导变成一个微分方程,然后求解。证明: 设由题设知则所给方程可变形为

两端对x求导并整理得

这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得

可见f(x)单减. 由得

而所以当时。

在[0,x]上进行积分得对

-

x

6、计算三重积分

V

x2y2z2

。 abc

x2y2z2

其中V是椭球体。

abc

分析:计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容,这种题目都是将重积分化成累次积分,而累次积分的关键是要确定出每个积分的限,确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域,因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。解:由于

V

x2

V

y2

V

z2

, c2

其中

V

x2

x2

dydz,

D

a

这里D表示椭球面

y2z2x2

bca

y2x22

a

z2x22

a

它的面积为 x2x2x2

。 aaa

于是

。 2215aa2

同理可得, 15b2

所以

7、讨论积分。 155

的敛散性。

分析:积分敛散性的讨论是数学中的一个难点,要用不等式技术和一些重要结

论,其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。

解:首先注意到。

,从而当x充分大时,函数若,则当x充分大时,

x是递减的,且这时

又因(对任何),故收敛。

若,则恒有,故函数在上是递增的。于

是,正整数n,有

4

4

常数,

故不满足Cauchy收敛准则,因此发散。

8、设f(x)在上二阶可导,

求证:使

分析:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容,往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时,采用多种方法去解决,能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。

证1 令则

由洛尔定理知

由洛尔定理知证2 令由拉格朗日定理知

由洛尔定理知证3 在展开为一阶泰勒公式

因故

1证4 令用两次洛尔定理。 2

证5 令用一次洛尔定理。

9、设f在[a,b]上可微,且a与b同号,证明:存在,使

(1);

(2)

证:(1)令,显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件,所以

(2)令,显然f,g在[a,b]上满足Cauchy中值定理的条件,所以

10、设二阶可微,,证明:存在,使

证明:令,则。显然F(x)在[0,1]上满足

Rolle定理的条件,从而,使又,于是在上满足Rolle定理的条件,故,使,即存在,使

11、设f(x)是定义在上的函数,

证明:f在上可导,且

是一个很广的条件,分析:由于已知条件:要充分利用它;另外要用导数的定义。

证明:由已知条件得因为

所以f(x)在上可导,且

12、设,且,

证明:

分析:从结论可以看出,绝对值里面刚好是,因此容易想到先求f(x)的导数。再用导数的定义。

证明:因为,所以

所以

即。

相关文档
最新文档