2.1.2空间两直线的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
C A
D B
两条直线 既不平行 也不相交
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有 可能是异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 相交、异面 . (4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已 知直线垂直.
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线
分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两 条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所 成的角.
2.1.2空间两条直线的位置关系设计
《空间两条直线的位置关系》教学设计合作一中 耿利军三维教学目标1．知识与能力：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；2.过程与方法：能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。
3．情感、态度、价值观：通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．教学重点 异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法 教学难点 理解异面直线概念，作异面直线所成的角．教学方式 问题引导，操作实验，合作探究，师生互动，计算机辅助教学． 教学过程（一）创设情境 形成概念： 1．提出问题：思考 在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系? 空间中的两条直线呢？ 课件展示学校生活实例，从图片中抽象出空间中直线的位置关系． 让学生观察长方体中线段A 1B 所在直线与线段CC 1所在直线的位置关系如何？2.让学生根据自己的理解选择合适的异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
引导学生总结出空间中两条直线的三种位置关系并进行分类：①从有无公共点的角度分类：有且仅有一个公共点-------------相交直线共面直线-----------------相交直线②从是否共面的角度分类没有公共点-------------平行直线异面直线异面直线-----------------平行直线3．异面直线的画法：（二）直观感知，操作确认，灵活运用1．试一试：取一块长方形纸片ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点， 2．将纸片沿EF 折起，在空间中直线AD 与BC 的位置关系如何 ?A C1C 1A BADCA'C'B'D'bA C EF2．观察：长方体D C B A ABCD ''''-中，A A B B ''//，A A D D ''// ，B B '与D D '什么关系？3．问题：能否再举出生活中与此相关的实例？学生归纳平行的传递性，得出公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行． 思考公理4的作用：判断两条直线平行的依据．4．公理4的应用，引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别例1 如图 ，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．探究：在上例题中，若再加条件AC=BD,会是怎样的四边形? （三）类比推广，探究应用1．提出问题：在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？空间中，结论是否仍然成立？观察: 如图,四棱柱ABCD--A ′B ′C ′D ′ 的底面是平行四边形，∠ADC 与∠A ′D ′C ′, ∠ADC 与∠B ′A ′D ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?BADC A'C'BA DC A'D'C'学生借助长方体观察，与平面时类比并加以推广得出定理：定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化：空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．⇒''''B A •AB C A AC //,// B A C CAB '''∠=∠或 180='''∠+∠B A C CAB ．2 已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线b b •a a//,//'' ，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角．（或夹角）注意:①异面直线a 与b 所成的角与O 的选取无关;②将空间角转化为平面角 异面直线夹角的求解过程：3．提出问题：由平面中两条直线垂直的定义，能否类比得到异面直线垂直的定义？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直． 记作：b a ⊥． 归纳：异面直线所成角θ的取值范围：︒︒（，4．探究：（1）在长方体D C B A ABCD ''''-中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？可以提示学生借助教室、课本等实例观察．平面图形的结论，对于立体图形 有些适用，有些 不适用，注意验证.（四）课堂小结1、异面直线的概念及画法。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(1)课件人教新课标
个平面.
Al
B
C
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
文字语言：
平面公理3
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
P 且P l且P l.
公理3是判定两个平面是否相交的根据.
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
结论：不同在任何一个平面内的两条直线 为异面直线.
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
只有一个 共面
平行 异面
没有 没有
共面 不共面
立交桥
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
C1 B1
D A
C B
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（2）空间两条异面直线的画法
借助平面来反映线与线的异面关系
（3）异面直线的判定方法
证明和判断异面直线的方法有两种：
（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，此时需借反证法；
（2）定理法：
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（1）证明： ， ， ；
（2）求 的值。
有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：
（1）利用等角定理及其推论；
（2）利用三角形相似；
（3）利用三角形全等；
例4、如图所示，设 分别是空间四边形 的边 上的点，且 ，求证：
（1）当 时，四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是梯形；
第二课时 异面直线及其夹角
推理模式： 与 是异面直线。
图形：
注：判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。
2、异面直线所成的角
已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角（或夹角）。
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作： ，以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的即有共面垂直，也有异面垂直这两种情形；
（5）求异面直线所成的角的基本步骤：一作、二证、三计算；
一“作”：作平行线，将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解决，这是我们解决立体几何问题的常用方法；
作平行线的方法一般有三种：
①直接平移法；②中位线平移法（含成比例线平移法）；③补形平移法。
作平行线往往是在某个平面中完成，因此需要寻找一个“方便面”，该面的特点是：该面包含其中一条异面直线；该面与另一条异面直线相交，即方便作“平行线”。
2013.2.1.2空间中直线与直线的位置关系
D1 A1 D A B C1
B1
C
北京市三里屯一中
1.异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线.
D1
A1 B1
C1
D
A
C
B
北京市三里屯一中 D1 C1
2.空间两直线的位置关系:
A1 D A
B1
C B
位置关系 相交 平行 异面
北京市三里屯一中
5.异面直线所成角
问题：异面直线有没有夹角？若有,在哪？
b a 图1 定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点作直 线a’ ∥a，b’ ∥b，把a’与b’所成的锐角（或）直角叫 做异面直线与所成的角（夹角）
P
α
空间问题转化为平面问题
北京市三里屯一中
异面直线a与b所成的角的范围
归纳：求两异面直线所成角的操作流程
作图（平移）
证明
求角（解三角形）
空间问题
平面问题
北京市三里屯一中
目标检测 1.指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)过直线外一点有无数条直线与已知直线成异面直线； (2)过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.
2.指出下列命题是否正确，并说明理由：
（1）若a∥b，c⊥a，则c⊥b.
C1 B
1
A1
D A B
C
北京市三里屯一中
（2）若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
北京市三里屯一中
课堂小结
1. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直 线 )； 2. 异面直线成角的定义，求两条异面直线所成 角的一般步骤
北京市三里屯一中
例3.空间四边形ABCD，AB=CD=8，M,N分别是 BD,AC的中点，若异面直线AB和CD成60°角，求MN 的长度．
《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》教学案1
《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》教学案1 一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系；(2)理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；(3)理解并掌握公理4；(4)理解并掌握等角公理；(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.(情境导入)在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.(事例导入)观察长方体(图1)，你能发现长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，线段A ′B 所在的直线与线段C ′C 所在直线的位置关系如何？图1(二)推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，如图1，BB ′∥AA ′，DD ′∥AA ′，BB ′与DD ′平行吗？。
2.1.2空间两条直线之间的位置关系
课后作业：
D
R C P D 1
课本第48页练习第2题。
补充： 1、空间四边形ABCD中，PR分别 A 是AB、CD的中点，且PR= 3 ， AC=BD=2，求AC与BD所成的角。 2、正方体ABCD—A1B1C1D1中， M为AB的中点，N为BB1的中点，
B
C 1 B1
A1
求A1M与C1N所成角的余弦值。
D1
方法归纳： 平移法
O1 C1 即根据定义，以“运动”的观
A1
B1
M
b
点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
c
D
a
C B
A
CA1
BD1
cc1
D1 A1
O
C1 B1
N
D A B
C
解法三： 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有 公共面BC1的长方体B1F.
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)， D1 C1 F1
练习（1）空间四边形的两条对角线相等，顺次连接四 边形中点所成的四边形一定为 （2）空间四边形ABCD中E,F,G分别为AB,AD,BC中点 M,N为对角线AC,BD中点，若∠EFM=,则∠DNG=
第二课时：异面直线所成角的定义及相关问题
1.异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.
B H F C D
（解法二）
A G H
E
B
D F C
R
练习：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为400 , E , F 分别是BC , A Ｄ的中点，则EF与AB 所成的角为（ ） Ｃ A.700 B.200 C.700或200 D.以上都不对
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2.1.2-空间两条直线之间的位置关系(123456)
b a′ ？ OP a
b′
平
θ
移
O
a′
异面直线所成的角的范围：0o 90o
ab
a
b
a'
•
O
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90
注3:求异面直线所所成角的步骤： b 一作、二证、三求解
于 M , N ,连结 MN ,
GH
∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 B
D
心,∴M,N分别是BC,CD的中点,
M
N
∴MN//BD,
C
又∵ AG AH 2
AM AN 3
∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×）
它
们
所成的角不变 （ ）√
（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方
形
（） ×
课堂小结： 这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、 相交、异面），平行公理和等角定理及其推 论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是： “作—证—算—答” 新疆
王新敞 奎屯
作业布置: P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
例3 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，
E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求： 平
①异面直线 AD与 EF所成角的大小；45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；60 法
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
教学设计9：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？通过观察得出结论：BB′与DD′平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a∥b,b∥c a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG ＝BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC ＝BD .求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG ＝BD 21,EF ＝AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC ＝BD ,所以EF ＝EH .所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC ＝BD ，AC ⊥BD .求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG ＝BD 21，EF ＝AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC ＝BD ，所以EF ＝EH .因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH .所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？(2)直线BA ′和CC ′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA ′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC ′、DD ′、D ′C ′、B ′C ′所在直线分别与BA ′是异面直线.(2)由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′是异面直线BA ′和CC ′的夹角，∠B ′BA ′＝45°，所以直线BA ′和CC ′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′分别与直线AA ′垂直.如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C＝60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面. （5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF ＝22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG ＝BC 21，FG ∥AD ，且FG ＝AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC ＝AD 知EG ＝GF ＝AD 21，又EF ＝22AD ,由勾股定理可得∠EGF ＝90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝212，CD ＝24，且HG ·HE ·sin ∠EHG ＝312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.由题意可知EFGH 是平行四边形，HG ＝2621=AB ，HE ＝3221=CD ， ∴HG ·HE ·sin ∠EHG ＝612sin ∠EHG .∴612sin ∠EHG ＝312.∴sin ∠EHG ＝22.故∠EHG ＝45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有____________对.图13【答案】三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A .①③B .①④C .②③D .③④【答案】D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。
教学：.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案 新人教A版必修2
课题：2.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课型：新授课一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？共面直线生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
3: 1) ( 定义中体现了什么样的数学思想? (将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹 角, 实现了空间问题向平面问题的转化, 使平面几何与立体 几何建立了联系, 体现了转化与化归的思想)
(2) ”的选取有什么技巧吗? “O (a与 b所成角的大小与点 O 的位置无关, 为了简便, O 点 常取在两条异面直线中的一条上. 例如取在直线 b上, 然 后过点 O 作直线 a' ∥a, 与 b所成的锐角( a' 或直角) 即为异 面直线 a与 b所成的角)
公理 4及等角定理的应用
【例 2】 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, 、Q 、M 、N 分别为 AD 、 P AB、 1D 1、 1C 1的中点, C B 求证: 1P ∥C N , 1Q ∥C M , A A 且∠P A 1Q =∠M C N .
证明: A 1B 1的中点 K , 取 连接 B K、K M . 易知四边形 M K BC 为平行 四边形. ∴C M ∥B K. 又∵A 1K∥B Q 且 A 1K =B Q , ∴四边形 A 1K B Q 为平行四边形, ∴A 1Q ∥B K , 由公理 4有 A 1Q ∥CM , 同理可证 A 1P ∥C N , 由于∠P A 1Q 与∠M CN 对应边分别平行, 且方向相反, ∴∠P A 1Q =∠M C N .
������ ������ 在 Rt △M H E 中, M =1, H = E F = , E E „„„„„„„„„„( 8分) ������ ������ ������ 则 si n∠E M H = , 于是∠E M H =60° , ������
则∠E M F =2∠E M H =120° . „„„„„„„„„„„„„„( 10分) 所以异面直线 AD 、 C 所成的角为∠E M F 的补角, B 即异面直线 AD 、 B C 所成的角为 60° . „„„„„„„„„„„„„„„„„( 12分)
【数学】2.1.2《空间的平行直线与异面直线》课件(新人教A版必修2)
4.如图, 1 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA1 .如图, 是长方体的一条棱, AA 异面的棱共有( 异面的棱共有( B ) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 . 条 . 条 . 条 . 条
5.两条异面直线是指( D ) .两条异面直线是指( A.空间两条没有公共点的直线 . B.平面内一直线与这个平面外的一直线 . C.分别在两个平面内的两条直线 . D.不同在任何一个平面内的两条直线 .
2.1.2
空间直线与直线之间的位置关系
2. 空间两条直线 不重合 的位置关系 空间两条直线(不重合 不重合)的位置关系 按有无公共点分: ⑴按有无公共点分: 有且只有一个公共点——相交直线 ①有且只有一个公共点 相交直线 平行直线 没有公共点—— 异面直线 ②没有公共点
{
⑵按是否共面分: 按是否共面分: ①在同一平面内—— 在同一平面内
60 °
F 1 1 PE= BC PF= AD 且PE//BC, PF//AD , . 2 2
3
∴
PE2 + PF2 EF2 23 1 cos EPF= ∠ = = 2PE PF 2 2
即异面直线AD和BC成600角
∠EPF=120 °
6.课堂小结 课堂小结
异面直线的定义: 异面直线的定义 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角 平移,
6.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC,BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
D1 A1 B1
C1
D O A B
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计算（化归为平面角，解三角形）
立几问题化为平几问题.
例3：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
cm,AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成
角的余弦值。
分析：
A1
D1
O1
C1 如图，连B1D1与A1C1 交于O1，
B1
取BB1的中点M，连O1M， 则O1MD1B，
D
M
于是A1O1M就是异面
C
A
B
直线A1C1与BD1所成的
角（或其补角）
解二： 补形法 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体,有公共
面的长方B1F，连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所
成的角(或补角)，
在A1C1E中， 由余弦定理得
D1 A1
C1 B1
F1 E1
A1C1与BD1所成角
A
H E
D
B
F
G C
再思考:
不同的异面直线有不同的相 对位置关系，用什么几何量反映 异面直线之间的相对位置关系， 是我们需要探讨的问题 .
2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系
第二课时 异面直线所成的角
问1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系， 分别是通过什么几何量来反映的？
问2:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度， 但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
2、两条异面直线的距离
(1)两条异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的 直线
(2)两条异面直线的距离:公垂线在这两条异面直线间的 线段(公垂线段)的长度
如图：找出下列棱长为2cm的正方体中两条异面直线之间的距离
1A1C1和BD 2AB和CC1 3A1C1和BB1
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
理论迁移
A
E
M
D
B
F
C
变式： 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中： ⑴哪些棱所在直线与直线AA1成异面直线且互相 垂直？
⑵已知AB=√3，AA1=1，求异面直线BA1与CC1
所成角的度数。
D1 A1
C1 B1
答:⑴BC、CD、B1C1、C1D1.
D A
C B
⑵ 600
解题反思: 求异面直线所成角的常见方法:
的余弦值为 方法归纳：补形法
D A
C B
F E
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长
方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
课堂练习：
1.图中：（1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
AD、B1C1、CD、C1D1、CC1、DD1与A1B为异面直线
（2）求直线BA1和CC1的夹角的度数 （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D' A'
D A
C' B'
C
一、异面直线的概念 1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做
异面直线。
注意：定义中“任何”不可少！
分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？ NO！
两直线异面是指：不存在（找不到）一个平面 包含这两条直线。
如图, A, B ,l , Al.
探讨: 直线AB与l是异面直线.
DDeeff:’过:分空别间和任两一条点异O面，直分线别平引行直的线两a1∥条a相，交b直1∥线b，所则成a的1和锐 b角1所（成或的直锐角角）（叫或做直这角两）条作异为面异直面线直所线成a、的b角所。成的角。
Def:如果两条异面直所成的角是直角,那么这两条直线 互相垂直。 辩析题：
(1)空间两直线垂直,一定相交吗? (2)空间中同垂直一条直线的两条直线,一定平行吗?
b a
bˊ
o aˊ
四、异面直线所成角和距离
1、异面直线a、b所成的角： Def:过空间任一点O，分别引直线a1∥a，b1∥b，则a1和b1 所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。
•
O
平移法即：根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化” 的方法，使之成为相交直线所成的角。 异面问题化为共面问题.
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
符号语言:
思考3:公理4叫做三线平行公理，它说明空间平行直 线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何理论作用？
——判定空间二直线平行的依据
问:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′DD′'
中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，
那么BB′与DD′平行吗 ?
A'
D A
问3:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将 两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是 否发生变化？
知识探究（一）：异面直线所成的角
设想：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两 条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角) 来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成 的角.你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？
β
β
b α
a
β
b
α
α
Hale Waihona Puke a理论迁移例1 如图是一个正方体的表面展开图,如果将 它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线 段所在直线是异面直线的有多少对?
CA
A G
DB H
HE
G
F
C
E
D
B F
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点.
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4 (1) 求直线BA1和C1D,BA1和AD1所成的角的大小 (2) 求异面直线BC和AA1， DC和AA1的距离 (3) 若M、N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与
CN所成的角的余弦值.
D1
C1
A1
M
B1
N
D
C
(1)900、600 (2)4、4 (3)COSQNC 2
例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且
已知AB=CD=3，
,求异面直线AB和
CD所成的角.
相交直线 ——同一平面内，有且
只有一个公共点；
平行直线 ——同一平面内，没
有公共点；
异面直线—— 不同在任何一个平面内，没有
公共点.
三、平行公理及等角定理
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
符号语言:
(等角)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
课堂练习:
画两个相交平面，在这两个平面内各画一 条直线，使它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你 能进一步指出两个角相等的条件吗？
角的方向相同或相反
空间四边形——顺次连接不共面的四点A、B、 C、D，所组成的四边形。
A
D
B
C
空间四边形的对角线：AC、BD.
练习： P51习题2.1A组：3，6.
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回顾与思考: 空间直线与直线的位置关系你学了什么?
A•
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一 点的直线，和这个平面内不经过此点的直线 是异面直线．
2.判定异面直线的方法：
（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。 （2）连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面不经过此点的直线是异面直线。
3.异面直线的画法 :首先选一个参照平面 -----衬托
A• l
l
β b
a
二、空间两直线的位置关系：
相交
平行或异面
相交直线 ——同一平面内，有且
只有一个公共点；
平行直线 ——同一平面内，没
有公共点；
异面直线—— 不同在任何一个平面内，没有
公共点.
练1：图中：哪些棱所在直线与直线BA1是异 面直线？
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
知识探究（二）：三线平行公理
C' B'
C B
知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行 四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两 边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
（2）BB1 // CC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2、在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
(D)900
S
B1
C1
E
A
A1
D1
D
F
C
（1）
B
D O
C
A （2） B
3、正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
C'
D' C
D
B' A'
B
C'