2.1.2空间两直线的位置关系

例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且
已知AB=CD=3，
,求异面直线AB和
CD所成的角.
A•
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一 点的直线，和这个平面内不经过此点的直线 是异面直线．
2.判定异面直线的方法：
（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。 （2）连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面不经过此点的直线是异面直线。
3.异面直线的画法 :首先选一个参照平面 -----衬托
相交直线 ——同一平面内，有且
只有一个公共点；
平行直线 ——同一平面内，没
有公共点；
异面直线—— 不同在任何一个平面内，没有
公共点.
三、平行公理及等角定理
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
符号语言:
(等角)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
课堂练习:
画两个相交平面，在这两个平面内各画一 条直线，使它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
b a
bˊ
o aˊ
四、异面直线所成角和距离
1、异面直线a、b所成的角： Def:过空间任一点O，分别引直线a1∥a，b1∥b，则a1和b1 所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。
•
O
平移法即：根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化” 的方法，使之成为相交直线所成的角。 异面问题化为共面问题.
A
E
M
D
B
F
C
变式： 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中： ⑴哪些棱所在直线与直线AA1成异面直线且互相 垂直？
⑵已知AB=√3，AA1=1，求异面直线BA1与CC1
所成角的度数。
D1 A1
C1 B1
答:⑴BC、CD、B1C1、C1D1.
D A
C B
⑵ 600
解题反思: 求异面直线所成角的常见方法:
C' B'
C B
知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行 四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两 边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动， 在平移过程中a与b仍保持平行吗 ?
实验与发现:
思考2:取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB， CD的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与 BC的位置关系如何 ?
C
B
E
D
F
D
AC
F
A
B
E
通过上述实验可以得到什么结论？
三、平行公理及等角定理
β
β
b α
a
β
b
α
α
a
理论迁移
例1 如图是一个正方体的表面展开图,如果将 它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线 段所在直线是异面直线的有多少对?
CA
A G
DB H
HE
G
F
C
E
D
B F
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点.
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
C'
D' C
D
B' A'
B
C'
A
D'
C
D
B' A'
B
A
思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′， 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？
C´ E´
A´
B´ D´
C E
A
D
B
思考4:综上分析我们可以得到什么定理?
定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
求作(平移、找） 证（由定义指明角）
计算（化归为平面角，解三角形）
立几问题化为平几问题.
例3：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
cm,AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成
角的余弦值。
分析：
A1
D1
O1
C1 如图，连B1D1与A1C1 交于O1，
B1
取BB1的中点M，连O1M， 则O1MD1B，
的余弦值为 方法归纳：补形法
D A
C B
F E
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长
方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
课堂练习：
1.图中：（1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
AD、B1C1、CD、C1D1、CC1、DD1与A1B为异面直线
（2）求直线BA1和CC1的夹角的度数 （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
一、异面直线的概念 1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做
异面直线。
2.判定异面直线的Baidu Nhomakorabea法：
（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。 （2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个 平面不经过此点的直线是异面直线。
3.异面直线的画法 : 首先选平面 -----衬托
二、空间两直线的位置关系：
5
A
QB
课堂练习:
P48练习：2.
P52习题2.1B组：1.
思考题： 已知异面直线a，b所成的角为60°，直
线l与a，b所成的角都为θ，那么θ的取值范围 是什么？
拓展： 再看三线共点
m
n
A
l
拓展： 确定两平面的交线
2.在正方体
中，
D1 A1
D A
C1 B1
C B
A
H E
D
B
F
G C
再思考:
不同的异面直线有不同的相 对位置关系，用什么几何量反映 异面直线之间的相对位置关系， 是我们需要探讨的问题 .
2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系
第二课时 异面直线所成的角
问1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系， 分别是通过什么几何量来反映的？
问2:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度， 但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
符号语言:
思考3:公理4叫做三线平行公理，它说明空间平行直 线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何理论作用？
——判定空间二直线平行的依据
问:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′DD′'
中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，
那么BB′与DD′平行吗 ?
A'
D A
D
M
于是A1O1M就是异面
C
A
B
直线A1C1与BD1所成的
角（或其补角）
解二： 补形法 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体,有公共
面的长方B1F，连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所
成的角(或补角)，
在A1C1E中， 由余弦定理得
D1 A1
C1 B1
F1 E1
A1C1与BD1所成角
思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你 能进一步指出两个角相等的条件吗？
角的方向相同或相反
空间四边形——顺次连接不共面的四点A、B、 C、D，所组成的四边形。
A
D
B
C
空间四边形的对角线：AC、BD.
练习： P51习题2.1A组：3，6.
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回顾与思考: 空间直线与直线的位置关系你学了什么?
2.1.2 空间中直线与直线 的位置关系
第一课时
知识探究（一）：异面直线的概念
思考1：教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线，既不相交，也不平行；你还能举出这样的例 子吗?
思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B 所在直线分别与线段CD′所在直线、线段BC所在直线、 线段CD所在直线的位置关系如何?
D' A'
D A
C' B'
C
一、异面直线的概念 1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做
异面直线。
注意：定义中“任何”不可少！
分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？ NO！
两直线异面是指：不存在（找不到）一个平面 包含这两条直线。
如图, A, B ,l , Al.
探讨: 直线AB与l是异面直线.
A• l
l
β b
a
二、空间两直线的位置关系：
相交
平行或异面
相交直线 ——同一平面内，有且
只有一个公共点；
平行直线 ——同一平面内，没
有公共点；
异面直线—— 不同在任何一个平面内，没有
公共点.
练1：图中：哪些棱所在直线与直线BA1是异 面直线？
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
知识探究（二）：三线平行公理
2、两条异面直线的距离
(1)两条异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的 直线
(2)两条异面直线的距离:公垂线在这两条异面直线间的 线段(公垂线段)的长度
如图：找出下列棱长为2cm的正方体中两条异面直线之间的距离
1A1C1和BD 2AB和CC1 3A1C1和BB1
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
理论迁移
问3:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将 两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是 否发生变化？
知识探究（一）：异面直线所成的角
设想：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两 条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角) 来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成 的角.你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4 (1) 求直线BA1和C1D,BA1和AD1所成的角的大小 (2) 求异面直线BC和AA1， DC和AA1的距离 (3) 若M、N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与
CN所成的角的余弦值.
D1
C1
A1
M
B1
N
D
C
(1)900、600 (2)4、4 (3)COSQNC 2
DDeeff:’过:分空别间和任两一条点异O面，直分线别平引行直的线两a1∥条a相，交b直1∥线b，所则成a的1和锐 b角1所（成或的直锐角角）（叫或做直这角两）条作异为面异直面线直所线成a、的b角所。成的角。
Def:如果两条异面直所成的角是直角,那么这两条直线 互相垂直。 辩析题：
(1)空间两直线垂直,一定相交吗? (2)空间中同垂直一条直线的两条直线,一定平行吗?
（2）BB1 // CC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2、在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
(D)900
S
B1
C1
E
A
A1
D1
D
F
C
（1）
B
D O
C
A （2） B
3、正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900