初中几何应用题解析

初中几何应用题解析

例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90º，AC=80米，BC=60米.

（1）若入口E 在边AB 上，且A ，B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长； （2）若线段CD 是一条水渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点在距A 点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？

【分析】本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念.

（1）E 点在AB 上且与AB 等距离，说明E 点是AB 的中点， E 点到C 点的最短路线即为线段CE.

（2）水渠DC 越短造价越低，当DC 垂直于AB 时最短，此时造价最低.

本题考点：线段的中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识. 解：（1）由题意知，从入口E 到出口C 的最短路线就是Rt △ABC 斜边上的中线CE. 在Rt △ABC 中，AB=10060802222=+=+BC AC （米）.

∴CE=

21AB=2

1

×100=50（米）. 即从入口E 到出口C 的最短路线的长为50米.

（2）当CD 是Rt △ABC 斜边上的高时，CD 最短，从而水渠的造价最低. ∵CD •AB=AC •BC （等积公式）， ∴CD=

(48100

80

60=⨯=•AB BC AC 米）. ∴AD=22224880-=-CD AC =64（米）.

所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48⨯10=480（元）.

B

A

D

例2.如图,在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/m 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么(1)当t 为何值时，ΔQAP 为等腰三角形？（2)求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论.

解：（1）对于任时刻的t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t.

当QA=AP 时， ΔQAP 为等腰三角形， 即6-t=2t ，解得t=2（s ），

∴当t=2s 时，ΔQAP 为等腰三角形； （2） 在ΔQAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12， ()11

612366.22

QAC S QA CD t t ∆∴=

⋅=-⋅=- 在ΔAPC 中,AP=2t,BC=6,

11

266.22

APC S AP BC t t ∆∴=

⋅=⋅⋅= ∴S 四边形QAPC= S ΔQAC + S ΔAPC =(36-6t)+6t=36(cm 2

).

A

Q

C

例3.将宽度为a 的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分'A EF ∆. （1） 判断'A EF ∆是什么三角形？

结论：'A EF ∆

证明：方法一：

∵图形在折叠前和折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,

又∵矩形的对边是平行的∴∠1= ∠3,∴ ∠2= ∠3,

''A E A F =

.即'A EF ∆是等腰三角形.

方法二：

∵图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同. ∴表示矩形宽度的线段EP 和 FQ 相等，即'

A EF ∆的边'

A E 和

'A F 上的高相等，

∴'

'

A E A F =

即'A EF ∆是等腰三角形.

a

a

探究：在上面的图中，标出点'A 在折叠前对应的位置A ,四边形'A EAF 是什么四边形？

【分析】

（1）由前面的分析可知'A 与'A 在折叠前的位置A 关于折痕EF 成轴对称,所以作'A 关 于EF 的对称点即可找到点A （过点'A 作'A A ⊥EF 交矩形的边于点A ）. 还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A . （2）四边形'A EAF 是是菱形

证法一：∵A 是'A 在折叠前对应的位置

∴A 和'A 关于直线EF 轴对称 ,

∴'A A ⊥EF ,且'

AO AO =,

又∵AE ∥'

A F ,

∴EO ∶OF =AO ∶'AO , ∴EO OF =∴四边形'A EAF 是是菱形

证法二：∵A 是'

A 在折叠前对应的位置, ∴AEF ∆≌'

A EF ∆,'

AE A E =,'

AF A F =， 又∵AEF ∆是等腰三角形（已证）, '

'

A E A F =, ∴'

'

AE AF A E A F ===, ∴四边形'

A EAF 是是菱形.

例4.在上题的图中,若翻折的角度α=30º, 2a =, 求图中被覆盖的部分'A EF ∆的面积.

【分析】图中被覆盖的部分'A EF ∆是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰'A E 或'A F 的长. 课堂小结：

图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中 的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；

3.将长方形纸片折叠成如例3图示的形状，图中重叠的部分'

A EF ∆是等腰三角形； 4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；