2018年武汉大学自主招生数学试题

2018年武汉大学自主招生数学试题
1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N +，恒有
|u n +1−u n |+|u n −u n −1|+···+|u 2−u 1|≤M,
则称数列{u n }为B 数列.
（I ）首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B 数列？请说明理由；
（II ）设S n 为数列{x n }的前n 项和，给出下列两组论断：
A 组：1⃝
数列{x n }是B 数列，2⃝数列{x n }不是B 数列B 组：1⃝
数列{S n }是B 数列，2⃝数列{S n }不是B 数列请以其中一组的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论，组成一个命题，并判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（III ）若数列{a n },{b n }都是B 数列，证明：{a n b n }也是B 数列.
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，A,B 是椭圆E 的左，右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且−−→AF 2+5−−→BF 2=−→0.
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）若M 为椭圆E 上的动点（异与点A,B ），连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD.ND 并分别延长交椭圆E 于点P,Q ，连接P Q .设直线MN 、P Q 的斜率存在且分别为k 1,k 2,试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.
3.已知函数
f (x )=ln x −ax +a x
,其中a 为常数.
（I ）若f (x )的图像在x =1处的切线经过点(3,4)，求a 的值；（II ）若0<a <1,求证：f Äa 22
ä>0；（III ）当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.
4.设x,y,z 为非负实数，满足xy +yz +zx =1,证明：1x +y +1y +z +1z +x ≥52
.5.设f (x )是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f ′(x ),如果存在实数a 和函数h (x ),其中h (x )对任意的x ∈(1,+∞)都有h (x )>0,使得f ′(x )=h (x )(x 2−ax +1),则称函数f (x )具有性质P (a ).
（I ）设函数
f (x )=ln x +
b +2x +1(x >1),其中b 为常数，
1⃝
求证：函数f (x )具有性质P (a )；
2⃝求函数f(x)的单调区间；
（II）已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数，α=mx1+ (1−m)x2,β=(1−m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)−g(β)|≤|g(x1)−g(x2)|,求m的取值范围.。