运筹学(第五版)习题(答案)

运筹学习题答案

第一章（39页）

1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 （1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤50

1x +2x ≥1 2x ≤4 1x ，2x ≥0

（2）min z=1x +1.52x

1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0

（3）max z=21x +22x

1x -2x ≥-1

-0.51x +2x ≤2

1x ，2x ≥0

（4）max z=1x +2x

1x -2x ≥0

31x -2x ≤-3

1x ，2x ≥0

解：

（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解

1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 （1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-2

1x +2x +33x -4x ≤14

-21x +32x -3x +24x ≥2

1x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束

（2）max k

k

z s p =

11

n

m

k ik ik i k z a x ===∑∑

1

1(1,...,)m

ik

k x

i n =-=-=∑

ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)

（1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型：

Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t .

-41x +2x -23x +5x -6x +10x =2

1x +2x +33x -5x +6x +7x =14

-21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =2

1x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0

初始单纯形表:

(2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1n

i =∑

1

m

k =∑

ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n x

s.t.

11m

i ik k x x =+=∑ (i=1,2,3…,n)

ik x ≥0, i x ≥0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)

M 是任意正整数 初始单纯形表：

1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。 （1）max z=21x +32x +43x +74x 21x +32x -3x -44x =8 1x -22x +63x -74x =-3

1x ,2x ,3x ,4x ≥0

(2)max z=51x -22x +33x -64x

1x +22x +33x +44x =7

21x +2x +3x +24x =3

1x 2x 3x 4x ≥0

（1）解： 系数矩阵A 是：

23141267--⎡⎤

⎢⎥--⎣⎦ 令A=(1P ，2P ，3P ，4P )

1P 与2P 线形无关，以（1P ，2P ）为基，1x ，2x 为基变量。

有 21x +32x =8+3x +44x 1x -22x =-3-63x +74x

令非基变量3x ，4x =0 解得：1x =1；2x =2

基解(1)X =（1，2，0，0)T 为可行解

1z =8

同理，以（1P ，3P ）为基，基解(2)X =（45/13，0，-14/13，0)T 是非可行解； 以（1P ，4P ）为基，基解(3)X =（34/5，0，0，7/5)T 是可行解，3z =117/5； 以（2P ，3P ）为基，基解(4)X =（0，45/16，7/16，0)T 是可行解，4z =163/16； 以（2P ，4P ）为基，基解(5)X =（0，68/29，0，-7/29)T 是非可行解； 以（4P ，3P ）为基，基解(6)X =（0，0，-68/31，-45/31)T 是非可行解； 最大值为3z =117/5；最优解(3)X =（34/5，0，0，7/5)T 。 （2）解： 系数矩阵A 是：

12342112⎡⎤⎢⎥⎣⎦

令A=(1P ，2P ，3P ，4P )

1P ，2P 线性无关，以（1P ，2P ）为基，有： 1x +22x =7-33x -44x

21x +2x =3-3x -24x 令 3x ，4x =0得

1x =-1/3，2x =11/3

基解(1)X =（-1/3，11/3，0，0)T 为非可行解；

同理，以（1P ，3P ）为基，基解(2)X =（2/5，0，11/5，0)T 是可行解2z =43/5； 以（1P ，4P ）为基，基解(3)X =（-1/3，0，0，11/6)T 是非可行解；

以（2P ，3P ）为基，基解(4)X =（0，2，1，0)T 是可行解，4z =-1； 以（4P ，3P ）为基，基解(6)X =（0，0，1，1)T 是6z =-3； 最大值为2z =43/5；最优解为(2)X =（2/5，0，11/5，0)T 。

1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。

（1）max z=21x +2x 31x +52x ≤15 61x +22x ≤24

1x ，2x ≥0

（2）max z=21x +52x

1x ≤4

22x ≤12 31x +22x ≤18

1x ，2x ≥0

解：（图略）

（1）max z=33/4 最优解是(15/4,3/4) 单纯形法：

标准型是max z=21x +2x +03x +04x s.t. 31x +52x +3x =15 61x +22x +4x =24 1x ,2x ,3x ,4x ≥0