1.1集合区间邻域

集合称为集合 A与集合 B 的直积, 记为
A B {( x , y ) | x A 且 y B}.
如 R R {( x , y ) | x R, y R} 即为 xOy 面上全 体点的集合, R R 常记作 R2 .
区间 定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间,
( 3) 分配律 ( A U B) I C ( A I C ) U ( B I C ), ( A I B) U C ( A U C ) I ( B U C ); (4) 对偶律 ( A U B ) A I B . ( A I B ) A U B .
证 ( 4) x ( A U B )
可记为
M { x | x 所具有的特征 }
M { x | x 3 x 2 0}.
2
由方程 x 2 3 x 2 0 的根构成的集合,
( 2) 全体奇数的集合, 可记为 M { x | x 2n 1, n Z }.
集合之间的关系
若 x A
x B , 则称 A 是 B 的子集,
开区间 (a, a ) 称为 a 的右 邻域,
二、两个重要的不等式
三角不等式 对于任意的实数 a 和 b , 都有
| a | | b | a b | a | | b |
平均值不等式 对于任意 n 个正数 a1 , a2 ,, an ,恒有,
a1 a2 an a1a2 an n 当且仅当 a1 , a2 ,, an 全部相等时,上式等号才成立。
”, 表示“推出”(或“蕴含”).
两集合间的直积或笛卡尔 (Descartes ) 乘积 设 A, B 是任意两个集合, 任取 x A, y B, 组成 一个有序对 ( x , y ), 以这样的有序对的全体组成的
集合称为集合 A与集合 B 的直积, 记为
集合的基本运算规律
设 A, B 是任意两个集合, 任取 x A, y B, 组成 一个有序对 ( x , y ), 以这样的有序对的全体组成的
这两个实数叫做区间的端点. 设 a , b R, 且 a b, 定义 (a , b) { x | a x b}; 开区间
闭区间 半开区间 无限区间
[a , b] { x | a x b}; [a , b) { x | a x b}, (a , b] { x | a x b}; [a , ) { x | a x }, ( , b) { x | x b}; ( , ) R.
a M,
a M
由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集.
集合举例
(1) 2010 年在福建地区出生的人.
集合的概念 集合举例
(1) 2010 年在福建地区出生的人. 2 ( 2) 方程 x 3 x 2 0 的根. ( 3) 全体奇数.
(4) 抛物线 y x 2上的所有点.
第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节
函 数
一、邻域 二、两个常用的不等式 三、函数 四、初等函数
首先回顾一下中学所学过的有关 集合、数集、函数的概念。
集合的概念
集合
元素
具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 集合与元素的关系:
x
O a [ a , ) = { x a x } ;
x
O b ( , b ) = { x x b } .
x
区间 无限区间 特别地 区间的长度 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、 是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并 常用I表示。
特别地
区间演示图
O ( , ) = R ;
x
x
b O (a , b ) = { x a x b } ;
a
O
a
b
x
[a , b ] = { x a x b } ;
b [ a , b) = { x a x b } ; O
a
x
a O b ( a , b] = { x a x b };
集就是
A { x | x 0 或 x 1}.
集合的基本运算规律
设 A, B , C 为任意三个集合, 则有下列法则成立:
(1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; ( 2) 结合律 ( A U B) U C A U ( B U C ),
( A I B) I C A I ( B I C );
记为 A B. 若 A B , 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
集合的概念 若 A B , 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. A {1,2}, M { x | x 2 3 x 2 0} 例如,
A M. 若 A B 且 A B, 则称集合 A 是 B 的真子集,
记为 A B. 空集 不包含任何元素的集合, 记为 .
{ x | x R, x 2 1 0} . 例如,
规定: 空集为任何集合的子集.
集合的概念 规定: 数集 空集为任何集合的子集. 元素都是数的集合称为数集. 数集分类:
N 自然数集
Q 有理数集
Z 整数集
[a , ) { x | a x }, ( , b) { x | x b}; ( , ) R.
一、邻域的概念
定义 设 a 与 是两个实数, 且 0, 数集
{ x | x a | }
称为点 a 的 邻域. 记为
U (a , ) { x | a x a }. 其中, 点 a 叫做该邻域的中心, 叫做该邻域的半
n
二、两个重要的不等式 伯努利不等式
对于正整数 n 和实数 h 1,恒有
(1 h) 1 nh
n
当 h 0 且 n 2时, 不等式严格成立.
这几个不等式在极限存在的证明中经常用到，
因此要牢牢记住。
x AU B x A且 x B
x AI B
x A 且xB源自文库
集合的基本运算规律 证 ( 4) x ( A U B )
x AU B x A且 x B
x AI B
x A 且xB
( A U B ) A I B,
注 以上证明中, 符号“ 常用符号是“
”表示“等价”, 另一个
径. 点 a 的去心的 邻域, 记为 U (a , ),
U (a , ) { x | 0 | x a | }. 以 a 为中心的任何开区间均是点 a 的邻域, 记为U (a ).
即

一、邻 域的概念 另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念. 开区间 (a , a) 称为 a 的左 邻域,
A
B
A
B
A
B
A B
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合 S 中进行,
所研究的其他集合 A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
集合的运算
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合 S 中进行,
所研究的其他集合 A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集 或补集
A S A.
S A A
例如, 在实数集 R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
R 实数集
数集间的关系: N Z Q R.
注: 如无特别说明, 本课程中提到的数都是实数.
集合的运算 设 A, B 是两个集合, 定义
(1) A 与 B 的并集(简称并) A U B { x | x A 与 x B};
( 2) A 与 B 的交集(简称交) A I B { x | x A 且 x B}; ( 3) A 与 B 的差集(简称差) A B { x | x A 且 x B};
集合表示方法
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A 仅由有限个元素 a1 , a2 ,, an 组成,
集合的概念
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A 仅由有限个元素 a1 , a2 ,, an 组成,
可记为
A {a1 , a2 ,, an }.
( 2) 由方程 x 2 3 x 2 0 的根构成的集合, A {1,2}. 可记为
2. 描述法:
M { x | x 所具有的特征 }
(1) 由方程 x 2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法:
(1)