数值稳定性和病态问题探析_薛洪
数值分析实验中的病态问题
第一次作业——病态问题实验1.1病态问题实验目的：算法有“优”和“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别，对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感，反正属于好问题。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式∏=-=-⋅⋅⋅--=201) ()20()2)(1()(kk xxxxxp显然该多项式的全部根为1，2，……，20，共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)(19=+xxpε，其中，ε是一个非常小的数，这相当于是对方程中的x19的系数做一个小的扰动，比较两个方程根的差别，从而分析方程的解对扰动的敏感性。
function t_charp1_1%数值实验1.1变态问题%输入：[0 20]之间的扰动项及小的扰动常数%输出：加扰动都得到的全部根clcresult=inputdlg({'请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：'},'charpt 1-1',1,{'19'});Numb=str2num(char(result));if((Numb>20)|(Numb<0)) errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!');return;endresult=inputdlg({'请输入（0 1）间的扰动常数：'},'charpt 1_1',1,{'0.00001'});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为：']);disp(num2str(root));结果分析：请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：19 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项19加扰动1e-005得到的全部根为：22.5961+2.3083i22.5961-2.3083i18.8972+5.00563i18.8972-5.00563i14.9123+4.95848i14.9123-4.95848i12.0289+3.73551i12.0289-3.73551i10.059+2.33019i10.059-2.33019i8.63833+1.05643i8.63833-1.05643i7.70881+0i7.02809+0i5.99941+0i5.00001+0i4+0i3+0i 2+0i1+0i请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：14 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项14加扰动1e-005得到的全部根为：2019.000317.99817.006215.987915.014913.988513.004612.000910.997610.00178.999328.000176.99997654321请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：13 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项13加扰动1e-005得到的全部根为：20.000218.998718.003816.995215.999515.011713.979113.020711.986811.00589.998469.000188.000046.999986543 21请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：1 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项1加扰动1e-005得到的全部根为：20.000218.998718.003816.995215.999515.011713.979113.020711.986811.00589.998469.000188.000046.99998654321结果分析：如图1、2所示，由上述结果可以看出，对加相同的干扰值ε在X的不同项上与不加干扰得到的结果相比可以看出，对扰动项x19加扰动1e-005得到的全部根、对扰动项x14加扰动1e-005得到的全部根与没有加扰动时的结果相比，相差较大，而且对扰动项x19加1e-005的结果干扰较大。
具有饱和发生率的HIV模型的稳定性分析
Science &Technology Vision科技视界0引言艾滋病医学全名为“获得性免疫缺陷综合症”,又称艾滋病病毒所导致的传染病,是人体感染了人类免疫缺陷病毒(HIV)。
HIV 本身并不会引发任何疾病,而是当免疫系统被HIV 破坏后,人体由于失去抵抗能力而感染其他的疾病导致死亡。
艾滋病是人体的免疫系统被艾滋病病毒破坏,使人体对威胁生命的各种病原体丧失了抵抗能力,从而发生多种感染或肿瘤,最后导致死亡的一种严重传染病。
艾滋病病毒(HIV)是一种能攻击人体免疫系统的病毒,它把人体免疫系统中最重要的T 细胞作为攻击目标,大量吞噬、破坏T 细胞,从而破坏人的免疫系统,最终使免疫系统崩溃,使人体因丧失对各种疾病的抵抗能力而发病并死亡。
自从1981年发现首例艾滋病患者以来,艾滋病已经扩散到世界各地,已经引起人们的高度重视,通过构建数学模型对其进行分析研究是一种有效的方法,不仅能够更好地了解HIV 病毒的感染机理,更能够为有效控制HIV 病毒提供理论支持,经过几十年的发展,已取得一定成果。
一个基本的HIV-1模型如下:(1)其中,T (t )、T *(t )和V (t )分别表示健康T 细胞、被感染的T 细胞和病毒粒子在t 时刻的浓度。
参数s 是T 细胞的生成率,α、β和ε分别为健康T 细胞、被感染的T 细胞和病毒粒子的死亡率,k 是健康T 细胞与病毒粒子之间的接触率。
被感染的T 细胞产生病毒粒子且每个被感染的T 细胞在其生命周期内平均产生N 个病毒粒子并且所有参数是正常数。
我们知道,发生率往往扮演着一个重要的角色在传染病动力学研究中,例如:在文献[5]中,一个更一般的发生率βxv p /(1+αv q )被使用,其中,p、q 和α是正常数;在文献[6]中,研究了下面的HIV-1模型:(2)其中,变量T (t )、T *(t )、V (t )和参数s 、α、β、ε、N 、k 与模型(1)有相同的意义。
一类柯西问题解的唯一性与零解稳定性分析
下面证 明对初值 连续依 赖 。
收 稿 １期 ：２ １ － １ １ ３ ０ ０ Ｉ－ １
作 者简介 ：徐新 荣 （ ９９ ，女 ，黑龙 江青 冈人 ，讲师 ，硕士 ，主要 从事 泛函微 分方程 方面 的研究 ，ｏ ｇｘｘ＠ｓ ａ ｏ 。 １７ 一） ｍｎｅｕ Ｊ ｉ ． ｒ ａ ｎ ｃｎ
第 １ 期
的常数 ，则 Ｖ ｔｊ） （ ，ｎ ∈Ｒ× ” ａｃｙ问题 （ ）的解 的存 在 区间均为 （ｏ ＋ ） ｏｃ Ｒ ，Ｃ ｕｈ １ －ｏ ∞ 。 ， 引理 ２ 设 ｆ ｔ 对 ｒ ， 次 连续 可微 ， （ ， 是 ． 一１ 对 是 ， 连续可 微 ， Ｃ ｕｈ 问题 （ ） 次 则 ａｃｙ １ 的解 ＝ｘｆｔ ｘ） （ ｏｏ ；， 对 ｆ 而言是 ，次连续 可微 的 。 ， ， ．
综合 以上 ２种情 形可 见 ，对 Ｖ ｅ＞０，Ｖ０ ｔ∈Ｒ ，ｊ ０，Ｖ ｏ ， Ｖｔ Ｊ ，有 ＞ ｘ∈ ∈ ，
Ｉｔ ， Ｉ占 Ｉ ； ） ｘｔ ｌ （ｏ ＜
即对 Ｖｏ ｔ∈Ｒ ，微分 方程 （ ２）的零 解稳 定 。 ’
参 考文献
Ⅲ 马知恩 ，周义仓．常微 分方程定性 与稳定性方法『 】 北京 ：科学 出版社 ，２０ ． Ｍ． ０３ 【】杨水龙． ２ 柯西问题解的估计 、唯一性 、稳 定性 ｆ．山西师范大 学学报 ，２ ０ ，２ １ ：１— ６ Ｊ １ ０ ６ ０（ ） ４ １ ．
说 明 ｔ∈（ｏＴ】 ，微分方 程 （ ｏ —ｏ ｏ时 ， ２）的零 解稳定 。
（ ）当ｔ∈ ，ｏ 时 ，设 Ｖ （ ，ｏ ，将解 ｆ＝ （ ｔ ） ２ ｏ ＋ｏ ） ｔ∈ ＋ｏ ） （ ｘｔｏ 向右延拓至 ｆ，由解对初值的连续依赖 ） ；，
性知， 若取 （＝（ ｆＸ ， ｆ ｘ。 ，） 则对Ｖ ＞ ＝ （ｔ＞ ， ） ｔ。ｏ ； ０， ８ ，）０ 使得当Ｉ ，） （ ） 时， ｅ。 Ｉ Ｘ 一 Ｉ （ ｏ ，ｌ ｔ ｏ ＜ Ｉｔ ，） ｘ； ） Ｉ ； Ｘ －（ １＜ ｘｔｏ ｔ ｌ （ｏ ｔ ｌ
随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍
－ ｇ（ Ｘｎ－
!ｈ） ］ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …；
! ＝ １， ２， …
（ ６）
２ 均方稳定性
根据式（ ２） 的理论解 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ［ （ " － １ μ２） ｔ ＋ μ!Ｗ（ ｔ） ］ ， 得如下命题： ２
命题 １［３－４］ Ｘ（ ｔ） 均方稳定， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０ 的充要条件是 ｒ（ "） ＋ １ μ ２ ＜ ０， 式中， ｒ（ "） 为 " 的实部．
ｎ ＝ ０， １， …
（ ９）
式中， Ｙｎ 为不依赖于 Ｘｎ 的随机变量． 数值方法的绝对稳定域 Ｄ ＝ ｛!ｈ｜ｒ（ !） ＜０， 且｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＜ １｝．
定义 １［５］ 若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面， 即 ｒ（ !） ＜ ０ #｜Ｇ（ !ｈ） ｜＜１， 则称数值方法是 Ａ! 稳
定的．
３．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ５） 应用到式（ ３） 得： （ １ － !ｈ） Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ（ !ｈ） ＝ （ １ － !ｈ） －１， 其中 ! ＝ " ＋ ｉ #， 由定义 １ 可得
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ － !ｈ） －１｜ ＜ １#（ １ － "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＞ １
ｐ） －１
２
＝ （ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ２
故向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １， 即（ １ ＋ ｑ２ ） ２ － ２（ １ － ｐ） ２ ＋１＜ ０ ； 相应的 ２
克服岩土工程有限元病态问题方法的对比与研究
第25卷 第10期岩石力学与工程学报 V ol.25 No.102006年10月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct .，2006收稿日期：2005–08–03；修回日期：2005–11–11基金项目：国家自然科学基金资助项目(10372078)；国家自然科学基金重大研究计划重点项目(90510017)作者简介：党发宁(1962–)，男，博士，1988年于西南交通大学固体力学专业获博士学位，现任教授、博士生导师，主要从事岩土工程数值分析方面的教学与研究工作。
E-mail ：dangfn@克服岩土工程有限元病态问题方法的对比与研究党发宁，殷 静，李志宏(西安理工大学 水利水电学院，陕西 西安 710048)摘要：位移有限元方法应用于岩土工程数值计算时，常会遇到各种有限元病态问题，诸如材料极不均匀体、极端各向异性体、不可压缩或几乎不可压缩弹性体、板的“自锁”等有限元病态问题。
研究目前岩土工程界提出的多种克服有限元病态问题的方法及各自的特点(如正则化方法、归一化方法及变刚度方法等)。
通过平面杆件系统的有限元计算算例，分析和对比正则化方法、归一化方法和变刚度方法在解决有限元病态问题时的优劣性。
关键词：岩土工程；有限元；病态问题；归一化方法；正则化方法；变刚度有限元方法中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)10–1969–06COMPARISON AND STUDY ON METHODS FOR SOLVING FINITE ELEMENTS ILL-CONDITIONED PROBLEMS IN GEOTECHNICALENGINEERINGDANG Faning ，YIN Jing ，LI Zhihong(College of Water Resources and Hydroelectric Engineering ，Xi ′an University of Technology ，Xi ′an ，Shaanxi 710048，China )Abstract ：When the displacement finite element model is applied to numerical calculation in geotechnical engineering ，ill-condition problems often occur. This paper comments on these problems such as extreme anisotropy ，incompressible or nearly incompressible material as well as shear locking in plate ，etc. and researches the characteristics and applicable situation of many methods to conquer ill-condition problems such as regularization ，standardization and splitting elastic modules finite elements. By the example of calculating plane bar-system problems with finite element method ，the advantages and disadvantages of regularization ，standardization and splitting elastic modulus finite element method are analyzed and compared.Key words ：geotechnical engineering ；finite elements ；ill-conditioned problems ；standardization ；regularization ；splitting elastic modulus finite element method1 引 言有限元法是解固体力学边值问题较为有效、经常采用的数值方法。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析中的病态问题
实验1.1病态问题
实验目的：
算法有“优”和“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别，对数值方法的 研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感，反正属于好问题。
问题提出：
考虑一个高次的代数多项式
20
p(x) = (x −1)(x − 2) ⋅⋅⋅ (x − 20) = ∏ (x − k) k =1
显然该多项式的全部根为 1，2，……，20，共计 20 个，且每个根都是单重的。 现考虑该多项式的一个扰动 p(x) + εx19 = 0 ， 其中，ε是一个非常小的数，这相当于是对方程中的 x19 的系数做一个小的扰动， 比较两个方程根的差别，从而分析方程的解对扰动的敏感性。
在这图中可以看到，随着多项式项数的增加，这个病态根的分布在 10 以上 的根部分明显地向虚部扩张，生成共轭的复数对。
再次看下对加以不同的扰动系数对根的影响，以对������������19为例，加以不同的扰动 系数如下图示：
可以看出，对于不同的扰动系数，扰动系数越大，病态根偏离原值越明显。
附：主要程序代码
result=inputdlg({'请输入扰动项：在[0,20]之间的整数：','请输入扰动扰动常数（0， 1）之间：'},'charpt 1_1',2,{'',''}); Numb=str2num(char(result(1))); ess=str2num(char(result(2)));
ve=zeros(1,21); ve(21-Numb)=ess; root=roots(poly(1:20)+ve); disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为：']); disp(num2str(root)); root=flip(root); root=reshape(root,1,20); rootr=real(root); rooti=imag(root); scatter(rootr,rooti)
物理实验技术中的实验数据稳定性分析方法
物理实验技术中的实验数据稳定性分析方法在物理实验中，实验数据的稳定性对于实验结果的准确性和可靠性至关重要。
实验数据的稳定性分析方法可以帮助实验者判断实验结果的可信度，并提供参考依据。
本文将介绍一些常见的实验数据稳定性分析方法。
一、均值和标准差均值是一组数据的平均值，通常用于衡量数据集的中心趋势，可以表示实验数据的整体水平。
标准差是一组数据的离散程度的度量，可以反映实验数据的分散情况。
通过计算均值和标准差，可以初步判断实验数据的稳定性。
如果实验数据的均值相对较大，且标准差较小，那么说明实验数据的稳定性较高。
反之，如果实验数据的均值较小，且标准差较大，那么说明实验数据的稳定性较低。
二、变化系数变化系数是标准差与均值之比，用于衡量数据集相对于均值的离散程度。
变化系数越小，说明实验数据越稳定。
变化系数可以用于比较不同实验数据集之间的稳定性。
同样的标准差情况下，变化系数较小的数据集更加稳定。
三、趋势分析趋势分析是通过一系列数据的变化趋势来判断实验数据的稳定性。
可以通过绘制实验数据的折线图或散点图来进行趋势分析。
如果实验数据呈现出一定的规律性或趋势性，那么说明实验数据的稳定性较差。
反之，如果实验数据呈现出随机分散或无规律变化的趋势，那么说明实验数据的稳定性较好。
四、方差分析方差分析是一种用于比较不同实验组之间差异的统计方法。
通过对不同实验组的数据进行方差分析，可以判断实验组之间的差异是否具有统计学意义。
如果实验组之间的差异较小，那么说明实验数据的稳定性较高。
反之，如果实验组之间的差异较大，那么说明实验数据的稳定性较低。
五、相关性分析相关性分析是用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
在实验数据稳定性分析中，可以通过相关性分析来研究不同实验参数之间的关系。
如果实验参数之间相关性较强，那么说明实验数据的稳定性较低。
反之，如果实验参数之间相关性较弱，那么说明实验数据的稳定性较好。
通过相关性分析，实验者可以找到使实验数据更加稳定的实验参数组合。
实验结果稳定性分析
实验结果稳定性分析在科学研究和各种实践活动中，实验是获取知识、验证假设的重要手段。
而实验结果的稳定性则是评估实验可靠性和有效性的关键因素之一。
一个稳定的实验结果能够为我们提供准确、可信赖的信息，有助于做出合理的决策和进一步的探索；相反，不稳定的实验结果可能导致错误的结论，浪费时间和资源。
那么，什么是实验结果的稳定性呢？简单来说，就是在相同或相似的条件下，多次重复实验所得到的结果之间的一致性程度。
如果每次实验得到的结果都非常接近，那么我们就可以认为这个实验结果是稳定的；如果结果差异较大，那么稳定性就较差。
影响实验结果稳定性的因素众多，我们先来探讨一下实验设计方面的因素。
实验设计的合理性直接关系到实验结果的稳定性。
比如，样本的选取是否具有代表性，如果样本量过小或者选取方式不合理，就可能导致实验结果出现偏差，从而影响稳定性。
再比如，实验中的变量控制是否严格，如果存在未被控制的干扰因素，就可能使得实验结果产生波动。
实验操作过程也是影响稳定性的一个重要环节。
操作人员的技能水平和操作的规范性都会对实验结果产生影响。
即使是微小的操作差异，如试剂的添加顺序、反应时间的控制等，都可能导致结果的不同。
而且，如果在实验过程中没有严格按照操作规程进行，或者操作人员存在疏忽大意的情况，那么实验结果的稳定性就难以保证。
实验设备和环境条件同样不容忽视。
实验设备的精度和准确性直接影响到测量结果。
如果设备老化、精度下降或者未经过校准，就很容易导致实验数据的误差。
环境条件的变化，如温度、湿度、光照等，也可能对实验结果产生干扰。
例如，某些化学反应对温度非常敏感，温度的细微变化都可能导致反应速率和产物的不同。
接下来，我们看看如何评估实验结果的稳定性。
常用的方法包括计算标准差、变异系数等统计指标。
标准差反映了数据的离散程度，标准差越小，说明数据越集中，实验结果的稳定性越好。
变异系数则是标准差与均值的比值，它可以消除量纲的影响，更方便地比较不同数据组的稳定性。
数值分析之数值稳定性篇
数值分析之数值稳定性篇稳定性是数值分析的⼀个基本问题。
--L N. Trefethen⼀个问题定义为由数据的向量空间 X 到解空间 Y 的⼀个函数f:X->Y。
相应地，⼀个算法可以看成是两个相同空间之间的另外⼀个映射f{bar}:X->Y。
注意，前者⼤部分情况下是⼀个连续系统，⽽由于计算机浮点数表⽰的原因后者是离散系统（即⾥⾯表⽰的数字是可数的，⽽针对浮点数⽽⾔，它不仅可数，⽽且是有限个数的）。
离散系统要表达出连续系统必然要进⾏舍⼊。
因⽽，f^{bar}的结果势必要受到舍⼊误差的影响。
数值稳定性要解决的是⼀个算法，是否能够使⽤离散系统取得“正确答案”[1]。
显然，⼀个好的算法应该保证对于给定的 x，考虑计算的相对误差(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)||，⾃然地，我们期望相对误差很⼩，由于计算机浮点数精度的限制，它有个界限，不妨记作e_{mach}，如果对每个x，有(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，我们就可以说算法f{bar} 对问题f 是准确的。
进⼀步地，由于f{bar}的定义域是离散的，如果对于每个x，(||f(x)-f{bar}(x{bar})||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，对某些满⾜||x-x{bar}||/||x{bar}||的x成⽴，则说算法f{bar}是稳定的。
另外，如果f{bar}(x{bar})=f(x)对于满⾜||x-x{bar}||/||x{bar}||=O(eps_{mach})的x成⽴，则说算法是向后稳定的。
值得注意的是，有些算法是稳定的但不是向后稳定的，如计算sin(x)或cos(x)。
给出这么多铺垫，涉及到的符号和术语也很多，连我⾃⼰都觉得有些绕，如果只是了解⼤概内容，上⾯的内容可以忽略，⽽直观的解释参见下⾯叙述的数值例⼦。
假设⼀个算法向后稳定，且关于问题的条件数较⼩的话，那么可以得到准确的结果。
数值计算中的数值误差与稳定性分析
数值计算中的数值误差与稳定性分析在数值计算领域，数值误差和稳定性是两个重要的概念。
数值误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，而稳定性则关注计算方法对初始条件的敏感程度。
本文将就数值误差和稳定性进行分析，并探讨它们在数值计算中的应用。
一、数值误差1.1 精度误差精度误差是由计算机的有限位数表示数字所引起的误差。
在计算过程中，无法无限精确地表示实数，因此会出现舍入误差。
例如，计算π时，无论使用多少位的近似值，都无法精确表示π的真实值。
1.2 截断误差截断误差是指在数值计算过程中，为了减少计算量而对计算结果进行截断或舍入所引起的误差。
当我们对无限级数或函数进行近似计算时，往往只截取有限项或使用有限阶的多项式进行计算，从而引入截断误差。
1.3 累积误差累积误差是指在多次计算中，由于前一步计算的误差被传递到后一步而导致误差不断累积的情况。
当我们进行复杂的数值计算时，每一步的误差都会进一步影响后续的计算，从而导致累积误差的出现。
二、稳定性分析2.1 稳定性定义在数值计算中，稳定性是指计算方法对初始条件的敏感程度。
一个稳定的计算方法应该在输入条件有轻微变动时，计算结果不会发生剧烈的改变。
相反，如果计算方法对初始条件非常敏感，那么它就是不稳定的。
2.2 条件数条件数是衡量问题条件对计算结果影响程度的度量。
条件数越大，计算结果对输入条件的变动越敏感，稳定性越差。
条件数的计算方法因具体问题而异，但一般来说，条件数越大，计算问题就越病态，数值解的稳定性越差。
2.3 稳定性与算法选择在实际的数值计算中，选择合适的算法和计算方法对于保证计算结果的稳定性至关重要。
对于特定的数值计算问题，我们应该选择恰当的数值方法，避免不稳定的计算。
例如，在求解线性方程组时，若矩阵的条件数较大，我们应该选择稳定的求解方法，以避免结果的不确定性。
三、数值误差与稳定性的应用数值误差和稳定性的分析对于各个领域的数值计算都具有重要的应用价值。
以下是一些具体应用的例子：3.1 科学计算在科学计算中，例如天气预报、结构力学分析等，准确的数值计算结果对于判断问题的性质和做出决策至关重要。
应变软化材料变形、破坏、稳定性的理论及数值分析
应变软化材料变形、破坏、稳定性的理论及数值分析一、本文概述Overview of this article本文旨在深入探讨应变软化材料的变形、破坏以及稳定性的理论及数值分析。
应变软化材料，如混凝土、岩石等，在受到外力作用时，其应力-应变关系会表现出非线性、非弹性的特性，尤其在达到峰值应力后，材料会出现明显的软化现象。
这种现象对结构的安全性和稳定性产生重要影响，因此，对其进行深入的理论研究和数值分析具有重大的工程实践意义。
This article aims to delve into the theoretical and numerical analysis of deformation, failure, and stability of strain softening materials. Strain softening materials, such as concrete and rock, exhibit nonlinear and inelasticstress-strain relationships when subjected to external forces, especially after reaching peak stress, where significant softening occurs. This phenomenon has a significant impact on the safety and stability of structures, therefore, conductingin-depth theoretical research and numerical analysis on it has significant engineering practical significance.本文将首先对应变软化材料的力学特性进行概述，包括其应力-应变关系的非线性特征、软化现象的产生机理以及影响因素等。
数值稳定性和病态问题探析_薛洪
上接第 ３３５页
完善金融立法，尽快修改与世贸组织 基本法律规则不符的法律规范，抓紧 制定目前尚处于空白的金融法律制度。
数值稳定性和 病态问题探析
薛 洪 袁芳文 周口广播电视大学 ４６６０００
摘 要 本文给出了数值稳定性和病态问题的定义， 提出不同的算法对计算的结果差异很大。稳 定性问题在计算建模时应注意。 关键词 稳定性；病态；条件数 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｇｉｖｅｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ’ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ａｎｄ ｐｕｔｔｉｎｇ ｆｏｒｗａｒｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｈ ａｓｂ ｉｇｄ ｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆ ｏｒｃ ｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒ ｅｓｕｌｔ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｓｓｕｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒｄ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ；Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｎ ｕｍｂｅｒ
对于算法计算的结果是假如计算机十进制尾数为4位算法1计算值为从而显然算法2是稳算法2计算值为计算结果如表由于i5i数值稳定性和病态问题探析周口广播电视大学466000本文给出了数值稳定性和病态问题的定义引子对一个问题的求解可以有多种不同的方法难易迥异
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００６ 年第 １１ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｊｕｎ．２００６
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析在高中数学备课中，解偏微分方程组的稳定性与相分析是一个重要的主题，它关系到数学学科的发展和实际应用问题的解决。
本文将从偏微分方程组和它的稳定性开始论述，并介绍相分析的概念和定理，并结合具体的例子进行分析，最后总结该主题的教学方法。
一、偏微分方程组偏微分方程组是用来描述物理过程的方程组。
它由一个或多个未知函数及其偏导数、独立变量和参数组成。
解偏微分方程组是数学中一个重要的分支，涉及到分析、计算和数值模拟等方面。
1.稳定性偏微分方程组的稳定性是指当初始状态稍有扰动时，系统能否在某种意义下趋向于一种稳定的状态。
通常来说，我们需要探究的是解的长时间行为，即当时间趋于正无穷时该解是否能趋于稳定。
2.相分析相图是利用解的定性行为、在平面上绘制出相轨迹的方法。
在相图中，轨迹表示不同状态下的解，如何求解方程组的稳定性就可以借助相图进行。
相图的绘制时，通过微分方程组局部解的性质，可大致了解方程组的行为规律。
二、相分析的基本概念和定理1.相平面相平面是用来描述方程组状态的图形，其中横轴代表x，纵轴代表y，相轨表示物理状态的不同变化。
2.相量相轨即描述物理状态随时间变化的路径，而相量就是相轨上的切向量，这种相量也叫做特征向量，它们可以表明方程组状态的变化方向。
3.稳定性对于一个线性时不变系统，在某个方向上的解在经过扰动之后，如果初始状态与其扰动状态始终是可以趋于零步长的，则该解在该方向上是稳定的。
同理，如果沿着某方向的解在经过扰动之后随着时间趋近于无穷，那么这个解在该方向上就是不稳定的。
三、具体案例分析假设我们有一个二阶线性微分方程，其方程如下所示：$$y''+p(t)y'+q(t)y=0$$其中$p(t)$和$q(t)$是已知函数。
将该方程转化为一个二阶微分方程组，其形式为：$$\begin{cases}y'=z\\z'=-p(t)z-q(t)y\end{cases}$$经过对该方程的变形，可以得到一个矩阵形式的方程，如下所示：$$\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(t) & -p(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}$$然后，我们可以通过求解特征值与特征向量，在平面上绘制出相轨迹和相量。
误差分析与数值稳定性
误差分析与数值稳定性误差分析和数值稳定性是数值计算中非常重要的概念，它们在科学计算、工程计算以及计算机模拟等领域起着关键作用。
本文将对误差分析和数值稳定性进行介绍和分析，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、误差分析在数值计算中，误差是不可避免的，它们可以分为两种类型：绝对误差和相对误差。
绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差别，相对误差则是绝对误差和真实值的比值。
误差的来源主要包括截断误差和舍入误差。
截断误差是由于对无穷级数进行有限项截断而引入的误差，它会导致计算结果的不准确。
而舍入误差是由于计算机对浮点数进行舍入运算时引入的误差，它与计算机的数值精度有关。
误差分析的目的是评估和控制误差对计算结果的影响。
我们可以通过数值方法的收敛性分析、截断误差和舍入误差的估计以及误差传播的研究来进行误差分析。
通过有效的误差分析，我们可以判断数值计算方法的可靠性，并采取相应的措施来提高计算结果的准确性。
二、数值稳定性数值稳定性是指在计算中，输入数据的微小变化是否会引起输出结果的显著变化。
一个数值计算方法如果具有很好的稳定性，那么它对输入数据的误差不敏感，即使输入数据有所变动，计算结果仍能保持相对准确。
数值计算方法的稳定性可以通过条件数来评估。
条件数是指在计算过程中，问题条件的微小变化与结果的变化之间的关系。
如果条件数较大，则说明问题的稳定性较差，计算结果可能会受到输入数据的微小变化而产生较大的影响。
相反，如果条件数较小，则说明问题的稳定性较好，计算结果相对准确。
数值稳定性的研究可以帮助我们选择合适的计算方法，以及在计算过程中采取措施来减小误差的传播。
例如，可以通过矩阵分解、迭代求解等方式来提高数值计算的稳定性。
三、误差分析与数值稳定性的重要性误差分析和数值稳定性对于科学计算、工程计算以及计算机模拟等领域非常重要。
它们直接影响计算结果的准确性和可靠性。
在科学研究中，误差分析和数值稳定性可以帮助我们评估数值模型的预测能力，并为实验结果提供可靠的参考。
分数阶复杂系统的稳定性分析与控制
分数阶复杂系统具有一些特殊性质，例如，它的状态变量通常具有历史依赖性、 非局部性和交叉相关性。此外，分数阶复杂系统还具有多尺度性、非线性性和时 变性等特性。
03
分数阶复杂系统的稳定性分 析
稳定性定义与判定方法
稳定性定义
对于一个动态系统，如果其在任何时间点上，其状态或输出 都会保持有限且不会发散，则称该系统是稳定的。
和建议。
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
分数阶复杂系统稳定性的研究取得了 重要的进展，为实际应用提供了理论 支撑。
针对不同的分数阶复杂系统，开发了 多种稳定性分析和控制方法。
分数阶复杂系统的稳定性研究在理论 上证明了其在实际应用中的可行性。
研究不足与展望
01
02
03
尽管已经取得了一定的研究成果，但 整体上仍然存在许多不足之处。
在实际应用方面，还需要进一步探索 和研究不同领域中的分数阶复杂系统 稳定性的应用。
对于某些特定类型的分数阶复杂系统 ，还需要开发更为高效和精确的稳定 性分析和控制方法。
研究价值与应用前景
01
分数阶复杂系统的稳定性分析 与控制在理论和应用上都具有 重要的价值。
02
随着科学技术的不断发展，分 数阶复杂系统的稳定性研究将 有望为各个领域带来更为广泛 和深入的应用。
RiemannLiouville…
对于Riemann-Liouville型分数阶微 分方程，通常采用级数解法或变换方 法求解。其中，级数解法是将方程的 解表示为一个无穷级数，然后通过逐 项代入来求解。变换方法则是将分数 阶导数转换为整数阶导数，再利用现 有的求解方法求解。
Caputo型分数阶微分 方程的解法
stable diffusion 模型 存在的不足和问题
stable diffusion 模型存在的不足和问题1. 引言1.1 概述稳定扩散模型是一种用于描述物质在介质中传输和扩散过程的数学模型。
它在环境科学、地球科学、生态学等领域中具有广泛的应用。
通过对物质的运移、浓度分布以及相变等过程进行建模，稳定扩散模型能够帮助我们理解和预测自然界中许多重要现象。
1.2 文章结构本文将对稳定扩散模型存在的不足和问题进行详细讨论。
首先，我们将介绍稳定扩散模型的定义、原理以及应用领域，并探讨其优点和局限性。
接着，我们将针对稳定扩散模型面临的三个主要问题展开讨论：数据需求高、参数选择挑战以及模型适应性有限。
最后，我们将总结不足与问题，并展望未来可行的解决方案和拓展应用领域。
1.3 目的本文的目的在于全面了解和分析稳定扩散模型存在的不足和问题，揭示其局限性，并探索可能的改进方向以及新的应用领域。
这对于深入理解稳定扩散模型的局限性，为今后的研究提供指导和启示非常重要。
2. stable diffusion模型介绍2.1 定义和原理stable diffusion模型是一种用于分析和预测信息扩散过程的数学模型。
它基于稳定分布理论，通过将稳定分布应用到信息扩散中，来描述信息在网络或社交媒体中的传播和演化过程。
该模型假设信息扩散是一个连续时间的过程，在此过程中，每个节点（人、群体或其他）都可以接收、处理和转发信息。
稳定分布被用来建立节点之间的相互作用规律，并结合概率图模型等方法来考虑节点特征、关系以及传播环境等因素。
2.2 应用领域stable diffusion模型在许多领域具有广泛应用，如社会网络分析、市场营销、疾病传播预测等。
在社会网络分析方面，stable diffusion模型可用于研究信息在在线社交网络中的传播路径和影响力。
它能够帮助我们理解谣言、舆情等信息如何在社交媒体中快速传播，并提供决策支持和风险评估。
在市场营销领域，该模型可以应用于产品推广策略制定、用户行为分析以及目标人群预测。
数学建模_血液中葡萄糖浓度的稳定性问题1
血液中葡萄糖浓度的稳定性问题摘要本文讨论人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度的稳定情况与人体血液容积的关系。
首先，分析在人体注射葡萄糖溶液时血液中葡萄糖浓度的变与注射速率r、人体血液的容积v和血液中葡萄糖浓度g 化率dgdt的关系，在人体血液容积不变的前提下建立关于葡萄糖浓度的微分方程模型。
其次，考虑到人体的血液容积会因溶液的注射而增加，但又不能无限增加，利用常数变易法可解微分方程模型（2）的通解，但通解很难实现积分，故考虑实际情况，采用数值逼近法做进一步修改与完善，使其更符合实际。
最后，通过对Logistic模型的分析与Mathematica软件的运用，得出人体血液中葡萄糖浓度在不同人体血液容积机理下的稳定情况。
关键词微分方程模型常数变易法数值逼近法Logistic 模型一、问题重述输液就是让某种液体以稳定的速率进入静脉的过程。
当输入葡萄糖溶液时，血液中的葡萄糖浓度的增长率与注射速率成正比，与人体血液溶积成反比，而由于人体组织的吸收作用，血液中葡萄糖浓度的减少率与其本身成正比。
根据是否考虑人体血液容积V的变化情况，可分以下3中情况，并在3种假设下建立模型，进而讨论稳定情况。
问题1 人体血液容积V不变；问题2 V随着注入葡萄糖溶液而增加；问题3 由于排泄等因素V的增加有极限值。
二、问题分析讨论人体血液葡萄糖浓度的稳定情况时，由于血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度增长率与减少率之差，而葡萄糖浓度的增长率又与注射速率r成正比，与人体血液体积成反比；同时，考虑到人体组织的吸收作用，葡萄糖浓度的减少率与本身成正比。
针对问题1 利用血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度的增长率与减少率之差建立一阶线性微分方程，得到血液中葡萄糖浓度与时间的函数关系，根据自治微分方程的求法得到平衡点；针对问题2 由注射速率的微分表达式，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式得到葡萄糖浓度与实践的函数关系，利用数学软件画出图像得到平衡点；针对问题3 人体血液容积增加有极限值，符合阻滞增长模型，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式最终得到平衡点。
结构与物质的稳定性刍议
结构与物质的稳定性刍议摘要探讨了原子同一组态不同微观状态的稳定性、同电子数的不同组态的稳定性以及带有不同电荷数的离子的稳定性，指出用3d5组态的半满稳定去解释Fe3+稳定是错误的。
同时澄清了对洪特规则、半满稳定等问题的认识误区，进一步明确根据电子构型判断稳定性的适用范围。
关键词电子构型洪特规则半满稳定电子组态原子光谱在常温下的水溶液中，Fe2+可表现出较强的还原性，可以被空气中的氧气或其他的氧化剂氧化变成Fe3+，而Fe3+溶液却长期放置也不会变质。
这就给人留下了一个强烈的印象——Fe3+比Fe2+稳定。
―结构决定性质‖是化学的基本规律，于是大家便尝试用电子构型去解释，出现如下流行的说法：电子填充处于―半满‖时较稳定，3价铁因3d5电子构型而比2价铁（3d6）稳定。
此命题涉及2个方面的问题：3价铁果真比2价铁稳定吗？具有半满3d5电子构型的正离子都比较稳定吗？进而言之：是什么决定了物质的稳定性？1 洪特规则的适用范围所谓原子的电子组态，是指用各电子依据量子数n、l排布在各能级的方式，这是一种无磁场作用下的原子状态。
若把量子数m和 m s也考虑进去就可表示原子在磁场作用下的运动状态——微观状态[1]。
不同的微观状态会存在能量的差异，而其中能量最低的状态即原子的基态就应该是通常意义上的稳定状态。
根据洪特规则，基态原子中的电子尽可能分占简并轨道；由此也有―作为洪特规则的补充，简并轨道全充满和半充满的状态比较稳定‖[2]之说。
根据上述规则，3d5的3价铁处于半满更稳定似乎合情合理了。
1.1 适用于判断同一组态不同微观状态的稳定性须知洪特规则的讨论是针对同一电子组态中的 n p、 n d或者 n f某一个能级而言的，并不涉及非简并轨道的电子分布问题[3]。
具体而言，例如5个d电子，有多种可能的分布：①↑ ↑ ↑ ↑ ↑② ↑↓↑ ↑ ↑③ ↑↓ ↑↓↑……它们都属于同一电子组态nd5。
洪特从原子光谱得到的经验规则判断出第①种情况能量较低。
百分表示值稳定度的判断
百分表示值稳定度的判断
薛建红
【期刊名称】《计量技术》
【年(卷),期】2004(000)004
【摘要】影响百分表示值稳定度的原因是多方面的，往往不易准确判断。
总的来说，由于各零部件相互配合松动或磨损引起的示值变化，例如，最常见的是大指外孔与中心齿轮轴配合松动引起的示值变化是比较明显的，判断的方法也比较简单，反复多次推动测杆，就可发现指针产生了明显的位移。
【总页数】2页(P58-59)
【作者】薛建红
【作者单位】烟台市质量技术监督局牟平区分局,烟台,264100
【正文语种】中文
【中图分类】TH7
【相关文献】
1.百分表示值误差的测量不确定度评定
2.百分表、内径表示值变动性超差故障的判断与排除
3.大量程百分表全程示值误差测量结果的不确定度评定
4.百分表示值变动性和示值误差的调整
5.深度百分表示值误差测量结果不确定度分析与评定
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说明如下：
设输入数据ｘ的近似值为ａ，它的相对
误差
函数值ｆ（ｘ）的近似值为ｆ
（ａ）， 那么ｆ（ａ）的相对误差为：
从上述计算可明显看出这种算法是不 稳定的。
若该算法的计算值为 ，Ｉｎ的精确 解由 Ｍａｔｌａｂ 库函数求出，记为： ， 由 Ｉｎ＝１－ｎ Ｉｎ－１得到
这说明，函数的相对误差与输入数 据（这里为自变量）的相对误差成正 比，比例系数为函数在该点处的条件 数。因此条件数越大，函数求值的相对 误差就越大。
－３２３－
试看下面的例子： Байду номын сангаас１ 求积分值
＜２＞的初值用ＭａｔＬａｂ的库函数ｑｕａｄ８ 计算的结果是
因此算法＜１＞是不稳定的。对于算法 ＜２＞：
假如计算机十进制尾数为４位，算法
＜１＞计算值为 ，
算法＜２＞计算值为 １：
，计算结果如表
从而 定的。
表１
，显然算法＜２＞是稳
解 由于Ｉｎ＋５Ｉｎ－１ ＝
－３２２－
例２积分
＝
可得到两个递推公式：
＜１＞
ｎ＝１，２，３…８
＜２＞．
２，１ ＜１＞的初值为：
ｎ＝８，７，６…
其中 是由库函数ｑｕａｄ８求出的Ｉ
的近似值，取５位有效数字．由数值稳定的定 义可以看出，算法＜１＞是不稳定的，而算法 ＜２＞则是稳定的。
分析：＜１＞算法由
知误差
满足
引子 对一个问题的求解可以有多种不同的
例：函数 ｙ ＝ ｘ ｎ 求值的条件数为
（常数），固是非病态
的。 请读者求 ｙ ＝ Ｉ ｎ ｘ 和 Ａ ｘ ＝ ｂ 其中
的条件数。
因此，该算法不稳定。 上面讨论的数值稳定性是对算法而言 的，算法的不同直接影响到结果的不 同，这样就引入另一个数学概念：病态 数学问题。 定义２ 所为病态数学问题是指这样 的数学问题：当它的输入数据（如参 数、初始值等）有微小摄动时，会引起 解的大扰动。相反的情形是良态数学问 题。 由于计算工具的原因总会存在有舍入 误差，所以对于病态数学问题，用任何 算法求数值解都是不稳定的。由此可 见，病态数学问题是数学模型自身的问 题，与算法无关。但是，有一点必须指 明：良态的数学问题的算法也未必是数 值稳定的。 病态和良态是相对的，界限比较模
参考文献 １复旦大学数学系编．数学分析．高等教育 出版社． １９９０ ２李庆杨等编．现代数值分析．高等教育出 版社． １９９５ ３ｃｉａｒｌｅｔ ｐ．Ｇ著．矩阵数值分析与最优化．高 等教育出版社 作者简介 薛洪，周口广播电视大学讲师。 袁芳文，男，３７ 岁，在读硕士。
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完善金融立法，尽快修改与世贸组织 基本法律规则不符的法律规范，抓紧 制定目前尚处于空白的金融法律制度。
５．坚持以推动金融制度创新为根本 保证。要通过金融交易制度创新创造 出新的金融交易载体、改变金融交易 流程、建立新型的金融交易空间；要 通过金融组织制度创新完善金融机构 的产权制度、健全其法人治理结构和 内部组织结构，从而降低金融机构的 经营成本、提高其经营效率和经济效 益；要通过金融保障制度创新，有效 保障金融交易活动公平、顺利进行， 提高金融运行效率，防范金融风险， 保护金融当事人权益。
当然，推动金融创新，还要注意 防范金融创新的风险。比如，金融创 新可能会加剧金融市场的脆弱性，并 影响货币政策的有效性；可能会给金 融机构带来信用风险、市场风险、流 动性风险和运作风险等等。
事实上，我国的金融改革正是一 个金融不断创新的过程。目前，我国 的金融创新已进入深化金融改革和适 应加入世贸组织后金融对外开放的新 阶段，我们只有结合中国国情，积极 推动金融创新，才能提高我国金融业 的运行效率，才能应对金融全球化的 挑战。这是保持我国经济增长的原动 力之一，也是建设创新型国家的一个 必要条件。
，验证
Ｉ０＝１－ｅ－１，Ｉｎ＝１－ｎ Ｉ ｎ－１。取ｅ－１≈０．３６７９ 按递推公式Ｉｎ＝１－ｎ Ｉ ｎ－１，用４位有效数字 计算 Ｉ０，Ｉ１，…，Ｉ９。并证明这种算法 是不确定的。
解：由递推公式 Ｉｎ＝１－ｎ Ｉｎ－１
糊，病态越严重，对算法的稳定性的影 响就越大。通常我们引入条件数来衡量 问题的病态程度。条件数越大，病态可 能越严重。对不同的数学问题，条件数 的定义是不同的（此问题已超出本论文 的讨论范围）例如函数求值问题ｙ＝ｆ（ｘ）条 件数定义为：
６． 坚持以推动金融产品创新为基 本内容。在过去的一年中，央行积极 推动商业银行发行金融债和次级债； 开展商业银行设立基金管理公司试 点；推动信贷资产证券化、住房抵押 贷款证券化业务试点；推出企业短期 融资券；成功推出债券远期交易。这 些创新在金融市场发展中发挥了重要 作用。今后应继续大力推动金融产品 创新，在规范发展已推出金融产品的 同时，进一步加大新产品研发力度， 进一步发挥黄金市场的规避风险和投 融资功能。
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００６ 年第 １１ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｊｕｎ．２００６
数值稳定性和 病态问题探析
薛 洪 袁芳文 周口广播电视大学 ４６６０００
摘 要 本文给出了数值稳定性和病态问题的定义， 提出不同的算法对计算的结果差异很大。稳 定性问题在计算建模时应注意。 关键词 稳定性；病态；条件数 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｇｉｖｅｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ’ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ａｎｄ ｐｕｔｔｉｎｇ ｆｏｒｗａｒｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｈ ａｓｂ ｉｇｄ ｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆ ｏｒｃ ｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒ ｅｓｕｌｔ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｓｓｕｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒｄ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ；Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｎ ｕｍｂｅｒ
稳定性问题在计算机建模时应注意。 例如，当把一个实际问题转化为数学公 式而进一步用递推法在计算机上实现的时 候，一定要考虑其稳定性。而良态的数 学问题的寻求可望使稳定性问题得以解 决，但也未必。因此，在验证时一定要 选取一些有代表性的初值加以验算。此 外，条件数初始验证也能对任何算法求 数值解的稳定性界定有所帮助。
方法，难易迥异。在计算机科学中往往 把要解决的问题转化为数学模型来加以解 决。由于机器字长的限制和存贮空间的 有限性，不同的模型由于误差的存在， 往往使计算的结果存在很大的差异。若 执行的结果与精确解之间的误差很大的 话，势必会影响与之相关的数据的精确 度。这就引出了我们的问题：数值稳定 性。
定义１ 对于一个已经存在的算法， 若输入数据的误差在计算过程中迅速增长 而得不到控制，则称该算法是不稳定 的，否则是数值稳定的。