定积分的换元积分

ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
定积分的换元积分法
案例一
例3 1
e
ln x
4
dx
1x
解 原式
e ln x 4d ln x
1
凑微分d ln x
1 ln x 5 e 1
5
15
不换元则不变限
另解 原式
u ln x 1u4du 1 u5 1 1
0
5 05
换元必须换限
定积分的换元积分法
例5 3
1 xdx 1 5 4x
换元必须换限
解 令 5 4x u，则x 1 (5 u2 ),dx 1 udu
4
2
当x 1时，u 3；当x 1时，u 1
原式
1 5 u2 u du
3 4u 2
1 1 5 u2 du 83
1 5u u3 1 1
8
36
3
例6 1)计算
换元要换限
解 令t x, 则 x t 2 , dx 2tdt,
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例7 计算
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t)] (t)dt .
牛定顿积-分莱的布换尼元茨积公分式法
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t)](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t
)dt
()
(),
定积分的换元积分法
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
定积分的换元积分法
应用换元公式时应注意:
0
2 cos5 xd(cos x)
0
1 6
cos6
x
|0 /2
1 (0 1) 1
6
6
换 元 要 换 限
凑 元 不 换 限x
例2 计算
凑元不换限
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
1、 2 sin cos3 d ； 2、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3、
1 3
4
dx ； 1 x 1
4、
2
cos x cos3 xdx ；
2
5、 1 cos 2xdx； 0
6、
2
4cos4
dx ；
2
7、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
例1 计算
解
2 cos5 x sin xdx
高等数学在线开放课程
项目六:定积分及 其应用
任务三
定积分的计算
主讲老师：陈禹默
任务三：定积分的计算
知识点一
定积分的换元法
定积分的换元积分法
定理 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
8、
2
max{ x
,
x 3 }dx；
0
9、
2
x
x
dx
（ 为参数 ）.
0
定积分的换元积分法
练习题答案
一、1、0； 2、 4 ； 3、 ； 4、3 ； 5、0.
3
2
32
二、1、1 ； 2、 2 2 3 ； 3、1 2 ln 2 ； 44、 ；
4
3
3
5、2 2 ； 6、3 ； 2
7、 ； 8、 ；
x2 1
x
2
dx
4 1 0
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
4 1 0
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
定积分的换元积分法
练习题
一、填空题：
1、
sin(
3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
原式
12
2dt t(1
t
)
212
(1 t
1
1
t
)dt
2[ln t ln(1 t )]12
2ln 4 3
例7 2)计算
换元要换限
解: 令 t 1 x , x 1 t 2 , dx 2tdt
原式
0 t(1 t 2 )( 2t )dt
1
01(2t
2
4t 4
)dt
4 15
性质
证
例4 2 解 令t
8 1 dx 01 3 x 3 x , 则 x t3, dx
换元必须换限
3t 2dt
换元
当 x 0 时，t 0 ；当 x 8 时,t 2
换限
原式
2 3t 2 dt 01 t
3 2(t 1 1 )dt
0
t1
3 t2 t ln t 1 2 2
0
3 2 2 ln3 3ln3
定积分的换元积分法
4
8
9、17 ； 10、当 0 时 ,8 2 ； 当0 2
4
3
时, 8 2 3 ； 当 2时, 8 2 .
三、
1
3 ln(1
e
1
3 ).
3
六、 2.
谢谢
主讲老师：陈禹默
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t ,
0
0
a
a f ( x)dx a f (t)dt 0 f (t)dt,
0
0
a
a f ( x)dx a f (t)dt 0 f (t)dt,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
dx
___________；
5、5 x 3 sin2 x
x 2 x 1 dx 5 4
2
________________________ ..
定积分的换元积分法
练习题
二、计算下列定积分：