电子科技大学 工程数学 绪论1
电子科技大学离散数学第01章 集合论
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2、叙述法（隐式法）
通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集 合的方法称为叙述法（隐式法） X所具有的
性质P
一般表示方法：A＝{x|P(x)}
适用场景：
代表元
一个集合含有很多或无穷多个元素；
一个集合的元素之间有容易刻画的共同特征
其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元素， 而只要给出该集合中元素的特性。
number)，记为|A|。
如|A|是有限的，则称集合A为有限集， 如|A|是无限的，则称集合A为无限集。
例1.2.13 求下列集合的基数。 （2）B = {Φ}；
（1）A =Φ ； 解
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（3）C = {a, b, c}；（4）D = {a, {b, c}}。
|A| = 0， |B| = 1，|C| = 3，|D| = 2。
示一个集合。A来自A2018/7/3
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1.2.2 集合与元素的关系
元素与集合之间的“属于关系”是“明确”的。
对某个集合A和元素a来说，
a属于集合A，记为aA
或者
a不属于集合A，记为aA 两者必居其一且仅居其一。 例如，对元素2和N，就有2属于N，即 2N， 对元素-2和N，就有-2不属于N，即 -2N。
1.2.3 集合与集合的关系
一、集合的三大特征
1、互异性－集合中的元素都是不同的，凡是相同的 元素，均视为同一个元素； {1,1,2}={1,2} 2、确定性－能够明确加以“区分的”对象； 3、无序性－集合中的元素是没有顺序的。 {2,1}={1,2}
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例1.2.5
设E = {x|(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0}, x∈R}
《概率论与数理统计》序言第一章
乘法原则：如对象A有m种选法，B有n种
选法，则先选A再选B有m*n种选法 <并且>
例：从甲地到乙地有3种路线，从乙地到丙地有5 种路线，则从甲到丙共有3*5种路线
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
Pnr n(n 1)( n 2) (n r 1)
为什么要学习概率论与数理统计
它是专业课学习的基础 它是科学研究及科学研究可行性检验的工 具 它是我们分析问题和解决问题所思考的方 向
排列组合有关知识复习
加法原则：如对象A有m种选法，B有n种
选法，则对象“A或B”有m+n种选法。 <或者>
例： 从西昌到成都坐火车有3种路线。坐汽车有5 种路线。则某人从西昌到成都有3+5种走法。
事件分为：随机事件，必然事件，不可能事件
随机事件 —— 的子集,记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生 必然事件——全体样本点组成的事件,记为 , 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
（7）对立关系：如A+B=Ω，AB=ф，则称 A与B对立
AB , A B — A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中有且只 有一个发生
01《工程数学(本)》第一讲
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素a ij的余子式，记作 M ij .
(a11a22 a a12 21 ) x2 a11b2 b1a21
当a11a22 a a12 21 0 时，该方程组有唯一解
x1
b1a22 a a11 22
a12b2 a a12 21
x2
a11b2 a a11 22
b1a21 a a12 21
二元线性方程组
a11
x1
a21 x1
• 工程数学的基本概念、理论和方法具有很强的逻 辑性、抽象性和广泛的实用性。本课程以线性方 程组为主线，以矩阵和向量为工具阐述工程数学 的基本概念、基本原理和方法，尽量从简单实例 人手，力图做到突出重点、简明扼要、清晰易懂， 对重点内容提供较多的典型例题，以帮助大家更 好地理解、掌握和运用线性代数的知识。
3. 每一项可以写成 a a a 1 p1 2 p2 3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3
是1、2、3的某个排列.
4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
由 x2 5x 6 0 得
《工程数学(1)》教学大纲
《工程数学（1）》教学大纲课程编号：1000050 课程中文名称：工程数学（1）课程英文名称：Engineering Mathematics 学时：54 学分：3 基本面向：7专业本科 一、 本课程的教学目的的性质和任务本课程是高等院校电子专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。
二、 本课程的基本要求通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。
为后继课程的学习奠定良好的数学基础。
第一章 复数与复变函数1. 理解复数的概念及各种表示法2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算3. 理解区域的有关概念4. 掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法5. 理解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系6. 知道复变函数的极限与连续 第二章 解析函数1. 理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法2. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析3. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质第三章 复变函数的积分1. 了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系。
2. 理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念3. 理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些围道的积分4. 理解高阶导数公式，会应用高阶导数公式计算某些积分5. 了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部第四章 级数1. 知道复数列收敛的概念2. 了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性3. 理解阿贝尔定理，了解幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质。
电子科技大学数学
电子科技大学数学
电子科技大学数学专业学习涉及到多领域，包括抽象代数、线性
代数、向量分析、数值分析、几何学、概率论、数理统计等。
学习这
门课程的学生要掌握基本的数学方法，重点讲解数学基本概念、数学
定义、绪论，有助于掌握数学解题的方式以及应用数学的方法。
在数学的学习中，学生要掌握正确的求解步骤：先回顾数学知识，建立正确的数学模型，求得解决方案，并仔细分析解的有效性，最后
归纳出相应的结论。
在这方面，学生要弄清楚不同问题背后的基本原理，考虑更全面，全局视野加上对象内部细节联系，才能形成正确的
解决方案。
此外，在电子科技大学数学专业的学习中，数学证明也是非常重
要的内容，常见的数学证明方法有数学归纳法、反证法、泛函分析等。
学生要学会如何正确选择证明方法，并通过训练，掌握如何运用相应
的理论证明问题，解决复杂的问题。
电子科技大学数学专业的学习，要求学生有良好的数学基础和分
析思维能力，要学会把计算机加强数学的解决方案中，掌握计算机的
使用，有利于快速解决问题，有效提高学习效率。
总之，电子科技大学数学专业的学习，对学生来说是一个艰苦而
枯燥的过程，需要将精力集中在学习中，掌握数学的基本知识，学习
如何用数学去理解和解决实际问题，以及锻炼自己的算术水平。
只有
这样，才能以更高的学习成绩毕业，为今后的学习和职业发展做好准备。
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.3
y1=g1(x1,…,xn) ,…, yk=gk(x1,…,xn)
则 Yi=gi(X1,…,Xn), ( i=1,2,…,k)是随机变量. (Y1,Y2,…,Yk)的联合分布函数为：
F ( y1 , y2 , , yk ) P{Y1 y1 , Y2 y2 , , Yk yk }
P{ g1 ( X 1 , , X n ) y1 , , g k ( X 1 , , X n ) yk }
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随机变量的函数
2)关于一个(或几个)随机变量的函数
3）二维随机变量的变换
定理1.3.1 设(X1, X2)的联合密度为f(x1, x2),若 函数 y1 g1 ( x1 , x 2 ); y2 g 2 ( x1 , x 2 ). 满足下述条件:
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随机变量的函数
f [ x1 ( y1 , y 2 ), x 2 ( y1 , y 2 )] J
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随机变量的函数
证 Y1, Y2是随机变量，其联合分布函数为
F ( y1 , y2 ) f ( x1 , x2 )dx1dx 2
D
其中 D {( x1 , x2 ) : g1 ( x1 , x2 ) y1 , g2 ( x1 , , y2 ), x 2 x 2 ( y1 , y2 ).
x1 y1 J x 2 y1 x1 y 2 0 x 2 y 2
② 有连续的一阶偏导数； ③Jacobi行列式
则Y1=g1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度为
做积分变换
x1 x1 ( u1 , u2 ); x2 x2 ( u1 , u2 ).
y1
最新电大《工程数学》(本)期末复习考试必备资料知识点复习考点归纳总结
电大工程数学期末复习考试必备资料考点归纳总结一、单项选择题1. 设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （A ）． A . 2- 2. 设是矩阵，是矩阵，则下列运算中有意义的是（ D ）．D .3. 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21101210,20101B a A ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1311AB ，则=a （ B ）． B . 1- 4.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( D ) ．D ．B A AB = 5. 若是对称矩阵，则等式（C ）成立． C .6. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=*A （D ）． D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325 7. 若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则秩=)(A （B ）． B . 1 8. 向量组的秩是（A ）． A . 49. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（B ）． B .21,αα10. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（B ）．[]2,3,1-- 11. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+013221x x x x 解的情况是（D ）D . 有无穷多解12. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（C ）．C . 可能无解13. 若元线性方程组有非零解，则（ A ）成立．A .14. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A . BA A B B += 15. 对于随机事件，下列运算公式（ A ）成立．A . )()()()(AB P B P A P B A P -+=+16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．25917. 若随机事件,满足，则结论（B ）成立．与互不相容18. 若满足（C ），则与是相互独立．C . )()()(B P A P AB P =19. 下列数组中，（C ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．163161412120. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （B ）． B ．0.4 21. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （D ）． D . 87 22. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（C ）．1,21-==b a23. 若)4,2(~N X ，（C ），则． C . 22-X24. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ A ）是统计量．A . 1x 25. 设是来自正态总体的样本，则（D ）是μ无偏估计．D .321535151x x x ++ ⒈设，则（D ）．D. －6⒉若，则（A ）．A.⒊乘积矩阵中元素（C ）．C. 10⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）．⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．⒍下列结论正确的是（ A ）．若是正交矩阵，则也是正交矩阵⒎矩阵的伴随矩阵为（ C ）．⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．[,,]--'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．有唯一解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）．A. 3⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解⒎以下结论正确的是（D ）．齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．至少有一个向量 10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．B PAP =-1 ⒈为两个事件，则（B ）成立．⒉如果（C ）成立，则事件与互为对立事件．且⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．4. 对于事件，命题（C ）是正确的．如果对立，则对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）．)1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量，且，则参数与分别是（A ）． A. 6, 0.87.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）．8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则=<<)(b X a P （ D ）．10.设为随机变量，，当（C ）时，有．⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A ）是统计量．⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D ）不是的无偏估计．x x x 123--1. 若0351021011=---x ，则=x （A ）．A . 32. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）． A1 B2 C3 D 43. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）．B A B A '+'='+)(4. 若满足（B ），则与是相互独立．)()()(B P A P AB P =5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立．22)]([)()(X E X E X D -=1. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．42⨯2. 向量组的极大线性无关组是（A ）．3. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解．124. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）.1215. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．未知方差，检验均值二、填空题1. 1111111---x x 是关于x 的一个多项式，该式中一次项x 系数是 2 ．2. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ．3. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．4. 若方阵满足A A '=，则是对称矩阵． 5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111A ，则1 ．6. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12514⎥⎦⎤⎢⎣⎡--451231． 7. 向量组)01(),110(),011(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-8．含有零向量的向量组一定是线性 相关 的． 9. 若元线性方程组0=AX 满足，则该线性方程组有非零解．10. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(b A r = 3 ．11. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→→000020103211 A则方程组的一般解为 4342431,(22x x x x x x x ⎩⎨⎧=--= ．是自由未知量） 12. 当λ= 1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．13. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则)(AB P 3.0 ． 14. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立 ．15. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25.03.0101~a X ，则45.0．16. 设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k =π4．17. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 18. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它103)(2x x x f ， 则=<)21(X P 81．19. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3 ．20. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．21. 设随机变量的期望存在，则0 ．22. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．23. 不含未知参数的样本函数称为统计量．24. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ．25. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 有效 ． ⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设均为3阶矩阵，且，则72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则－3 ．⒏若为正交矩阵，则 0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根．10．若矩阵Ａ满足A A'=-1，则称Ａ为正交矩阵．是两个可逆矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ． ⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52． 2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，0.3 ．3.为两个事件，且，则()A P ．4. 已知，则P -1．5. 若事件相互独立，且，则pq q p -+．6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 ．7.设随机变量，则的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若，则 6 ．9.若，则)3(2Φ．10.称为二维随机变量的 协方差 ．1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ． 4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量nx U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A BB A )(1'-2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0．4. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．5. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix )104,(μN ． 1. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB 8-．2.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 3. 设是三个事件，那么A 发生，但CB ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +.4. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15．5. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体的一个样本，∑==ni ix n x 11，则=)(x D n2σ．三、计算题1. 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，证明B A -可逆，并求1)(--B A ．解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A ， 因为023111301111010≠=---=--=-B A ，所以B A - 可逆 且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 2. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解： （1）1111021121110211423532211=---=---=---=A （2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211即3. 设矩阵，求及．解： 利用初等行变换得即由矩阵乘法得4. 已知B AX X +=，其中02323347,5858901A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，求X ． 解：由方程B AX X +=，得()I A X B -=，且1233575810I A ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 1()I A --=641552121--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 由矩阵乘法得164123813()55258152312101812X I A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. 设矩阵11512112353181913978A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的秩． 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----68144034720347202151187931918135321121511 11512027430000000000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由此可知矩阵的秩为2．6. 求向量组[]11,3,2,1,1α=---，[]23,8,4,1,0α=---，[]32,1,4,2,1α=--，[]41,2,6,1,2α=---的秩，并求该向量组的一个极大无关组．解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形1321101223002101200000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 由此可知该向量组的秩为3，且321,,ααα是一个极大无关组．7. 分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．在有无穷多解的情况下求出一般解． 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形…当时，方程组无解。
汤姆逊-电子科技大学
在汤姆逊(Thomson)发现电子之后,对于原子中正负 电荷的分布他提出了一个在当时看来较为合理的模型.即 原子中带正电部分均匀分布在原子体内,电子镶嵌在其中， 人们称之为"葡萄干面包模型".
汤姆逊(Thomson)模型认 为,原子中正电荷均匀分布在 原子球体内，电子镶嵌在其中。 原子如同西瓜，瓜瓤好比正电 荷，电子如同瓜籽分布在其中。 同时该模型还进一步假定，电 子分布在分离的同心环上，每 个环上的电子容量都不相同， 电子在各自的平衡位置附近做 微振动。因而可以发出不同频 率的光，而且各层电子绕球心 转动时也会发光。这对于解释 当时已有的实验结果、元素的 周期性以及原子的线光谱，似 乎是成功的。
1833年，法拉第（M.Faraday）提出电解定律，1mol任何原 子的单价离子永远带有相同的电量-即法拉第常数。 1874年，斯迪尼（G.T.Stoney）综合上述两个定律，指出 原子所带电荷为一个电荷的整数倍。斯迪尼提出，用“电子” 来命名这个电荷的最小单位。 但实际上确认电子的存在，却是20多年后汤姆逊的工作： 1897年，汤姆逊（J.J.Thomson）发现电子：通过阴极射线 管中电子荷质比的测量，汤姆逊（J.J.Thomson）预言了电子 的存在。
α粒子散射实验观察到：被散射的粒子大部分分布在小 角度区域，但是大约有1/8000的粒子散射角 θ>90度，甚至 达到180度,发生背反射。α粒子发生这么大角度的散射，说 明它受到的力很大。汤姆逊模型是否可以提供如此大的力？ 我们来看一看这两个模型对应的力场模型
由于核式模型正电荷集中在原子中心很小的区域，所以 无限接近核时，作用力会变得的很大，而汤姆逊模型在原子 中心附近则不能提供很强的作用力。下面我们通过计算来看 一看，按照汤姆逊模型，α粒子的最大偏转角可能是多少。
电子科大 数值分析课件第一章 引论
2 1 . 4142136
0 . 166666666
1 3!
0 . 16666667
例：近似计算 解： 将
1
1 0
1
e
0
x
2
dx （= 0.747…）
e
x
2
作Taylor展开后再积分
dx (1 x 1 3
2
e
0
x
2
x
4
1
x
6
1 7
x
8
... ) dx 1 4! 1 9 ...
教学要求
了解数值分析研究的主要内容； 掌握数值分析的基本概念和基本原理，进一 步提高抽象思维和逻辑推理的能力； 掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本 思想，进一步提高数值计算能力 ； 能够与实际问题相结合，利用所学算法解决 一些实际的数学模型问题 ； 能够利用数学软件编程实现所学算法（可用 MATLAB，MATHEMATICA等）。
如： x*=15±2, y*=1000±5,
x=15, y=1000,
ε (x) =2; ε (y)=5
因此考虑精度时除看误差大小外，还应考虑精确值本 身的大小，故引入相对误差概念。
定义1.2 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近似 值，称
er ( x ) e( x) x
xx x
高等代数的若干概念和结论： 多项式； 行列式； 初等矩阵； 特殊三角阵。
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
电子科技大学数值分析课件
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x (k ) x* M k x (1) x (0) 1 M
4
四、插值与逼近 1.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待 定系数法。 2.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。 3. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.
5
五、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯 形公式和Simpson公式及其误差。
6
六、常微分方程数值解法 1. 了解构造数值解法的基本思想及概念。 2. 会判断单步方法的收敛性和稳定性。 3. 显示、隐式、梯形和预估校正梯形法的计算过程，能使 用 (x)dx b a [ f (a) f (b)] (b a)3 f ()
a
2
12
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (b a)5 f (4) ()
a
6
2
2880
2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求 积公式。 3. 了解复化求积公式的思想。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。
2
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次 性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；
了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
国开电大《工程数学(本)》形考任务一答案国家开放大学形考任务试题
国家幵放大学《工程数学（本）〉〉形成性考核作业一测验答案一、单项选择题（答案在最后）试题1 ： n阶行列式中D n元素的代数余子式与余子式之间的关系是（）.a. Ab. 4 =（-i）项4C. 4 =3/-d.4三阶行列式的余子式M23=（）.a|i -Jb. 1 2~ 0 -1c'l:』d-q试题2:若A为3x4矩阵，B为2x5矩阵，且乘积AC'B'有意义，则。
为（）矩阵.a.4x2b.5x4c.2x4d.4x5设A为3 x 4矩阵，B为4 x 3矩阵，则下列运算可以进行的是（）.a.ABb・捉+8d.BA'd. |(・U)-：|=M设.4= 4 0 .5= it ，则(A + a )'=(). 试题 3 : L-3 4J试题I ：设A, B 均为n 阶可逆矩阵.则下列运算关系正确的是(). a. (一“尸=』・康-：b. (X4■君尸=■技+矿'却侦「=|《坤「设A, B均为n阶方阵，k>0且，则下列等式正确的是（）.a.四=中傾|5.卬| =（-如』|c・ |^ + A| = |X| + |B|d・I倒=炸4试题5:下列结论正确的是（）.a.若A, B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵b.若A, B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵c.若A, B均为n阶非零矩阵，贝Ud.对任意方阵A , A+A'是对称矩阵设A,B均为n阶方阵，满足AB=BA ,则下列等式不成立的是（a.冲国=3|b.U + 5X-4-5）=c.（J + 5）: = J2+2.-15+52d.（彳-时=以：一2.“+8，试题6 :方阵A可逆的充分必要条件是（）.a.』4工0b.W*°c.，4、0d.n>o设矩阵A可逆，则下列不成立的是（）.a.H工0b.",|書0 奶。
d.尸=团丄.d. 3试题7：二阶矩阵 L° 1」一（）.二阶矩阵"一a._-l 4-0 -1'b. r-i -4]l_0 U试题8 :向量组L 。
工程数学1
__
__
__
_______ __
__
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
__
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_______ __
__
__
§2 复数的几何表示
任意给定一个复数z=x+yi，它可由一个有序实 数对（x,y）唯一确定．因此可借用直角坐标系 来表示复数．这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面．X轴叫做实轴，y轴除去 原点部分叫做虚轴
z1 z2 Re( z1 ) Re( z2 ) Im( z1 ) Im( z2 )
z 0 Re(z) Im( z) 0
一般来说，任意两个复数不能比较大小。
2．复数的代数运算
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个复数
定义： 加、减法：
( x1 iy1 ) ( x2 iy 2 ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
__________
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2
2
z1 z2 z1 z2
2 2
2 2
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 z1 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
定义 : z n z z z z n r n (cos n i sin n )
方程 n z 当z 0时, 有n个不同的值与它对应, 每一个称为z为n次根.记为n z
z n (cos
工程数学(01) 数值计算与误差分析
c ( x, t ) c0 x Vt Vx x Vt [erfc( ) exp( )erfc( )] 2 D 2 Dt 2 Dt
erfc( x)
2
x
e
y2
dy 1 erf ( x)
y2
erf ( x)
2
x
0
e
dy
工程数学
工程数学
一、本课程的特点
工程数学
工程数学
要掌握高级编程语言:
FORTRAN,
C ， Matlab
Matlab几个显著特点 1 用Matlab处理矩阵——容易 2 用Matlab绘图——轻松 3 用Matlab编程——简洁 4 Matlab具有丰富的工具箱
内容多，任务重，难度大！
工程数学
工程数学
三、基本要求
作业要求：
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
1 e 1 (1) (1) 2 0.5 2
1
x n 1 x Rn ( x ) e , 0 1 ( n 1)! 1 1 1 R e 0.5 1.7*10 截断误差 2 3!
工程数学
工程数学
二、截断误差分析
例2： 当h 0时，有如下Taylor展开式 1 2 1 3 h 3 e 1 h h O ( h ), sin( h) h h O ( h5 ) 2! 3! 1 2 1 3 h 试确定近似计算公式e + sin( h) 1 2h h h 2! 3! 的截断误差。 1 2 1 3 h 解：e sin( h) 1 2h h h O ( h 3 ) O ( h5 ) 2! 3! 1 2 1 2h h O ( h3 ) 2! e h + sin( h)的截断误差为O( h3 )。
工程数学1
工程数学1
工程数学1通常是指大学本科阶段工科专业学生学习的一门数学课程。
这门课程旨在为工科学生提供数学基础知识，使他们能够在工程和科学领域中应用数学工具解决实际问题。
具体内容可能包括但不限于以下主题：
微积分：包括极限、导数、积分等基本概念，以及应用到工程问题的技能，如曲线的切线和曲率等。
线性代数：矩阵、行列式、线性方程组等内容，为工程问题的建模和求解提供数学工具。
常微分方程：解微分方程的基本方法，以及工程和科学领域中常见的微分方程建模问题。
多元统计：多变量函数、偏导数、多元积分等内容，为处理多变量工程问题提供数学支持。
复变函数：复数、复变函数的基本概念，以及在工程和科学中的应用。
离散数学：集合论、图论、逻辑等内容，为计算机科学等领域的学生提供数学基础。
这门课程的目标是培养学生具备将数学知识应用到实际工程问题中的能力，同时提供一个坚实的数学基础，以便他们在后续的工程专业课程中更好地理解和应用相关数学知识。
高等工程数学-01
高等工程数学Advanced Engineering Mathematics学习目标1掌握一定的数学理论基础2具有比较宽广的数学知识面为进一步学习和解决工作中遇3到的实际问题打下坚实的基础数值分析数理统计矩阵理论⏹线性空间与线性变换⏹内积空间⏹矩阵的标准形⏹矩阵函数及其应用主要内容⏹数值分析绪论.⏹线性代数方程组的解法⏹插值方法⏹数值积分和数值微分公式⏹方程求根⏹常微分方程的数值解法⏹矩阵特征值和特征向量计算⏹数理统计的基本概念与抽样分布⏹参数估计⏹假设检验⏹回归分析⏹方差分析线性代数高等数学概率统计高等工程数学，华南理工大学出版社，2007/435644高等工程数学，电子科技大学出版社，2008/975022高等工程数学(第三版)，华中科技大学出版社，2001 /25667像读侦探小说一样学习数学Advanced Engineering Mathematics, 2nd EditionMichael D. Greenberg，Addison Wesley/Pearson ，2004Advanced Engineering Mathematics, 5th EditionPeter V.O'Neil，Thomson ，2004书不过语。
语之所贵者意也，意有所随。
意之所随者，不可以言传也。
《庄子·天道》形而上谓之道，形而下谓之器。
《周易·系辞》囧的事情共勉什么是真正的教育？德国二百年前的教育宣言曾经如此说道：教育的目的，不是培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未来局势中，自我做出有意义的选择。
教育是以人为最高的目的，接受教育是人的最高价值的体现。
------《一名大学毕业生的反思》矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。
《工程数学》教学课件01线性代数
13
23 称为三阶行列式，它表示一
33
13
23 = 11 22 33 + 12 23 31 +
33
13 21 32 − 13 22 31 − 11 23 32 − 12 21 33
展开式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠以正负号，
其运算规律性可用1 + 2 2 + ⋯ + = 0
在D≠0时，仅有一组零解；当有非零解时，系数行列式D=0.
= 2，3 =
= 1.
1.1.1 二阶、三阶行列式
1.n阶行列式的定义
定义3
由2 个元素排成的n行n列的记号
11 12 ⋯ 1
21 22 ⋯ 2
⋮
⋮
⋮
1 2 ⋯
称 为 n 阶 行 列 式 ， 这 里 (i,j=1,2,…,n) 称 为 行 的 元
素.n≥4的行列式称为高阶行列式.
应地换成常数项1 , 2 , ⋯ , 而其余各列保持不变所得到的
行列式（证明略）.
1.1.2 n阶行列式
1 − 2 + 3 + 24 = 1
+ 2 − 23 + 4 = 1
例7 解线性方程组 1 +
2 + 4 = 2
1
1 + 3 − 4 = 1
例题
1.1.2 n阶行列式
定理1
1.n阶行列式的定义
行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代
数余子式乘积之和，即
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1,2, ⋯ ,
或
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1,2, ⋯ ,
大学课件 工程数学 第1讲
1i
2
2i i, 2
故
1 1
i i
4
i4 =1
例3.证明(1)z1 z2 +z1z2 =2Re(z1 z2)
证 z1 z2 +z1z2 = z1 z2 +z1 z2 =2Re(z1 z2)
(2) z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
证 等式左边= z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：
z z 2 r2 e i ( 2 1 ) z1 r1
2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。
例3. 将z = sinπ+icosπ化为三角形式与指数形式.
5
5
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。
例4 用复数方程表示: y
(z)
（1）过两点 zj=xj+iyj L z1 z
z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。
3
3
即0
1, 1
1 2
3 2
i, 2
1 2
3 i. 2
实数范围下的3 1 ?
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
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解: 做变换
x e xp( t)
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
t ln x
t (0,1)
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dx dt
代入微分方程,得
d2y 2 ( n ) y0 2 dt
(切线斜率)
(速度)
二阶导数:
u xx
或
2u x 2
(曲率 )
( 加速度 )
6/16
utt 或
u 2 t
2
台劳级数: 设 f(x) 在点 x = 0 处任意阶可微
f ( x) Cn x
n 0
n
1 (n) Cn f ( 0) n!
( n 0,1,)
2 m 1 x sin x ( 1)m ( 2m 1)! m 0
10/16
常数变易法求解
y py f ( x ) y py 0
第一步, 求解对应齐次方程
y C e xp( px)
第二步, 常数变易
令
y u( x ) e xp( px)
u( x ) exp( px) f ( x )
代入原方程
u( x ) e xp(px) f ( x )
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
取 F ( x ) u( x )v( x )
b a
b
a
d b F ( x )dx F ( x ) a dx
b a
[uv uv]dx [uv]
b b b b a b a a b a
uvdx [uv] a uvdx uvdx [uv] a uvdx
u( x ) exp( px ) f ( x )dx C
y( x ) exp( px )[ exp( ) f ( x )dx C ]
11/16
二阶常系数齐次线性常微分方程
y py qy 0
辅助方程
两相异实根 两相等实根 两共轭复根
m pm q 0
——以后所有的桥梁,无论是 整体还是局部,都必须通过严 格的数学分析和风洞测试.
2/16
微分方程——包含自变量、未知函数以及未知函数 的导数组成的等式
x v0 cos t 参数方程 1 2 y v0 sin t gt 2
d 2x 初始条件 : 0 dt 2 2 x0 d y g 2 dt y 0
5/16
二元函数: u = u(x, t )
一阶导数:
ux
或
u x
ut
或
u t
u( x x , t ) u( x , t ) ux ( x , t ) lim x 0 x u( x , t t ) u( x , t ) ut ( x , t ) lim t 0 t
16/16
角位移 t 0 0 角速度
d dt 0
t 0
L
d 2 a sin 2 dt
( a = g /L )
d 2 L 2 g sin dt
d 2 d P (t ) Q( t ) F ( t ) 一般形式 2 dt dt 参考一篇关于塔科马海峡大桥数学模型的论文: P.J.McKenna,&C.Tuama,“Large Torsional Oscillations in Suspension Bridges Visited Again”Amer.Math. Monthly 108,738-754(2001)
无阻尼强迫振动
d 2u 2 u( t ) p sin 0 t 2 dt
( 1, 0 0.85, p 1 )
u2 exp( 0.05t ) sint
( 0.05 )
p u3 (sint sin0 t ) 2 1 0
15/16
参考资料
[1]傅英定、谢云荪《微积分》( 上、下册 ) [2]曾谨言《量子力学导论》,北京大学出版社 [3]郭硕鸿《电动力学》第三版 [4]梁昆淼,数学物理方法(第三版),高教出版社 [5]郭敦仁,数学物理方法(第二版),高教出版社 [6]数学手册,(高教出版社电子版) [7] CaPo, 上帝掷骰子吗——量子物理史话(网络版) [8]Robert,历史上最伟大的10个方程,邮电出版社
v0
伽里略模型
微分方程
dx v 0 cos dt t 0 dy v si n 0 dt t 0
3/16
简谐振动的数学模型
牛顿第二定律: F = m a a—加速度;F—合外力;m—物体质量
虎克定律: F= –k u(t) F—弹力;k—弹性系数; u(t)—弹簧伸长
2
m1 m2
y C1e
m1 x
C2e
m2 x
m1 m2 m
y (C1 C2 x)e mx
m1, 2 i
y e x (C1 cosx C2 sinx)
12/16
例1 一维谐振子 求解辅助方程
d u 2 u( t ) 0 2 dt
8/16
Fourier级数: 设 f(x) 在区间 [ , ] 连续
a0 f ( x ) [an cosnx bn sinnx] 2 n 1
1 a n f ( x ) cos nxdx b 1 f ( x ) si nnxdx n
x x 3 / 6 x 5 / 120
x / 7!
7
2m x cos x (1)m ( 2m )! m0
1 m e xp(x ) x m 0 m!
7/16
定积分几何意义
——曲边梯形面积
1.5
S f ( x )dx
a
5
b
0
牛顿-莱布尼兹公式
y C1 cosnt C2 sinnt
y C1 cos(n ln x ) C2 sin( n ln x )
14/16
谐振动 d 2 u
dt 2
2 u( t ) 0
u1 sint
( 1)
周期
T 2 /
小阻尼振动
d 2u du 2 2 u( t ) 0 2 dt dt
m2 2 0
O
2
m1,2 i
方程基本解
u1 (t ) cost u2 (t ) sint
u
2 A C12 C 2
通解:
u(t ) C1 cost C2 sint
u(t ) A sin( t )
C2
C1
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2 2 x y x y ( n ) y 0 x (1, e ) 例2 求解欧拉方程 y x 1 0, y x e 0
设 f(t) 在区间[ 0 , 1 ]上连续 1 ， x [0 , 1] f (t ) 0 , x [0 , 1]
f ( t)
t
0 1
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奇延拓
t0 f (t ), F (t ) f ( t ), t 0
t
x
f ( t ) bn sinnt
d u m a = – k u ( t) m 2 ku( t ) dt 2 d u 2 2 k/m ) ( u ( t ) 0 2 dt d 2u du 一般形式 p( t ) q( t )u( t ) f ( t ) 2 dt dt
4/16
2
单摆的数学模型
《工程数学》绪论
微分方程模型
微积分概念与级数
常微分方程求解回顾
几类振荡曲线分析
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塔科马海峡大桥(位于美国华盛顿 州)曾经是世界上第三长的悬索桥. 第一座大桥全长1524米,绰号舞动 的格蒂,1940年7月1日通车,四个 月后戏剧性地被微风摧毁. ——使得空气动力学和共振实验 成为了建筑工程学的必修课。 重建的大桥于1950年通 车,2007年,新的平行桥通车.
n 1
x t
1
bn
2
0
F ( ) sinnxdx 2 f ( t ) sinntdt
x
0
2 2 4 1 n cos nt 0 [(1) 1] n n ( 2k 1)
方波可分解为奇谐波的叠加 4 1 f (t ) sin( 2k 1)t k 1 2k 1