第八章 数列和无穷级数

定义 设有数列 u1 , u2 , , un ,
将其各项依次累加所得的式子
Hale Waihona Puke Baidu
u1 u2 un un n1
问题:如何理解无穷个数相加?
称为数项无穷级数
n
1. 部分和: Sn uk u1 u2 un k 1
2. 部分和数列: S1 , S2 , , Sn ,
11 un n n 1
Sn
1 1 2
1 23
1 n(n
1)
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(
1 n
1 n
) 1
1
1 n
1
1(n ) 级数收敛
(3). ln(1 1 )
n1
n
n1 un ln n ln(n 1) ln n
Sn ln(n 1) (n ) 级数发散
(4). aqn a aq aq2 aqn n0
n
Sn
S
注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.
(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.
例如: (1－1)+ (1－1)+ (1－1)+......收敛
而1－1+1－1+1－1+......发散.
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数 un n1
收敛,则
lim
n
un
0
证:
第八章 无穷级数
1 数项级数 2 幂级数 3 函数的幂级数展开及其应用
第一节 数项级数
1 无穷级数的定义 2 收敛级数的性质 3 正项级数的性质及敛散性判别法 4 任意项级数的绝对收敛和条件收敛 5 交错级数
一. 数项级数的概念
中学: 无穷等比级数 a aq aq2 ...... aqn1 ......
3. 收敛:
lim
n
Sn
S
称级数收敛 un S
n1
rn S Sn 称为级数余项
极限不存在,称级数发散
例. 判断级数敛散性: (1). 1+2+3+…+n+…
级数发散
n(n 1) Sn 1 2 3 n 2 (n )
(2). 1 1 1
12 23
n(n 1)
n1
n1
n1
例:
p-级数的敛散性
1 1 2p
1 3p
1 np
p 1 发散 p 1 收敛
解 p 0 时,级数显然发散.
0 p 1 时,
11
1
因为 n p
n
,
而
n1
n
发散,则 p-级数发散
p 1 时,
11111111
1
1 2 p 3p 4 p 5p 6 p 7 p 8p 9 p 15p
n1
n1
且 un vn(n 1,2, ). 若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
若 un 发散则 vn 发散.
n1
n1
证: 设 vn 收敛于σ, 则 un 部分和
n1
n1
Sn u1 u2 un v1 v2 vn
由定理1,
un 收敛. 反之,若 un 发散则 vn 必发散.
n 时, n , Skn 同时敛散
因此,不影响 级数的敛散性.
性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变
证: 设收敛级数 u1 u2 un
新级数 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1
S2 , 2
S5 , , m
Sn ,
lim
m
m
lim
定理14(基本定理)正项级数 un 收敛的充要条件是
n1
其部分和数列有界
证 (充分性) un 是正项级数,因此 n1 n Sn uk u1 u2 un 单调增加 k 1
单调有界数列必有极限,则级数收敛.
(必要性) 由收敛数列必有界的性质可知
定理15(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数,
lim
n
un
lim(
n
Sn
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS0
注意:(1).
若
lim
n
un
0
,则级数
n1
un
发散
判断级数发散
(2).
lim
n
un
0
时,级数
un不一定收敛
n1
例如:调和级数
1
1 2
1 3
1 n
1
lim
n
un
lim
n
n
0
但可以证明级数发散
假若级数收敛,则
lim(
n
S2n
Sn
)
S
S
0
但是,
S2n
Sn
1 n1
n
1
2
1 2n
1 2n
1 2n
1 2
矛盾
例. 判断级数敛散性:
n
(1) n1 100n 1
n
1
lim
n
un
lim
n
100n
1
100
0
级数发散
(2)
(1)n
n
n1
n1
lim
n
un
lim(1)n
n
n n1
不存在
级数发散
三.正项级数及其审敛法
un
(un 0)
n1
n1
n1
n1
例:
1 1 n1 ( 22 32 )
级数收敛
因为
n1
1 22
和
n1
1 32
都收敛
性质3. 改变前有限项不影响级数的敛散性
证 不妨设去掉前k 项,得级数 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn Skn Sk 常数 原级数部分和
性质1
若级数 un 收敛于和 S, k 为常数,则 n1
kun k un kS
n1
n1
证 n ku1 ku2 kun kSn
lim
n
n
lim
n
kSn
k
lim
n
Sn
kS
推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变
性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减
(un vn ) un vn S
它的各项不大于下面的等比级数各项
收敛
11 1111 11
1
1(2p 2p )(4p 4p 4p 4p )(8p 8p 8p )
1
1 2 p1
1 ( 2 p1
)2
1 ( 2 p1
)3
因此 p-级数的部分和有界,故收敛.
收敛
例. 判断级数敛散性:
1
(1).
n1 (n 1)(n 2)
收敛
1
(n 1)(n 2)
1 n2
而
1 n1 n2
收敛
(2).
1
n1 n(n 1)
发散
1 1
n(n 1) n 1
1 发散
n1 (n 1)
1 1
(3).
sin
n1 n n
收敛
1 1 11 1
sin nn
n n n3 2
1
而
n1
n3
2
收敛
定理15’(比较审敛法极限形式)
q =1时 Sn na 级数发散
q =-1时 Sn a a a a 极限不存在,级数发散
q1
Sn
a
aq
aq2
aq
n1
a
aqn
a
1q
| q | 1, Sn 1 q S
| q | 1, Sn 级数发散
总之: | q | 1, 级数收敛 | q | 1 级数发散
二. 数项级数的性质