几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方

法及应用

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几种构造辅助函数的方法及应用

许生虎

（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）

摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例

说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。

关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法

1. 引言

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。

构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。

2. 构造辅助函数的七中方法

“逆向思维法”

例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=210

21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()

θ

θθf f -

='.

证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()

()

θ

θθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到

()[]()()θθθθ

f f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F

因为()()ξξf f =1 ,

而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =

所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得

()0='θF

即:()()

θ

θθf f -

='.

证毕

2.2 原函数法

在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ

(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积

分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.

例2: ()[]()

(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξ

ξξf a

b f b a '⋅-=∍∈∃,,证明： 分析: ()()ξξ

ξf a

b f '⋅-=

()()x f a

x b x f x

'⋅-=−−→−=ξ令

()()x

b a

x f x f -='⇒

()()c x b x f a ln ln ln +-=−−→−-积分 ()()c x f x b a

=-⇒

可令 ()()()x f x b x F a

-=

证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a

-=

()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,, ()()()())0(0==-=a f a f a b a F a

()()()0=-=b f b b b F a

故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF

()

()

()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即：

亦即： ()()ξξ

ξf a

b f '⋅-=

证毕 设置变量法

当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。即：将结论中的ξ或η看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。 例3：设函数()()x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()()x g x f ,可导,

且()()()0,0≠'≠'+x f x g x g .试证明: ()∍∈∃,,,b a ηξ ()()()()[]ηξξξηξe g g e f f '+=''

分析:欲证等式 ()()()[]()η

ξηξξξe f g g e f '='+'⇔

将ηξ和均看作变量,则上式写成

()

()[]()()

''=

'

'ηξ

ηξξe f g e f

辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()

()(ψϕ 证明：),()(x g e x x ⋅=ϕ令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃ξ

)]

()([)

()()()()(ξξξξg g e f a g e b g e a f b f a b '+'=--