信号与系统实验-周期信号的合成与分解
周期性方波信号分解与合成实验系统设计
接给出各次谐波提取电路的参数(见表1)，其中R 4和R f 由电位器调节得到。
表1 谐波提取电路元件参数表
R 1(kΩ) R 2(kΩ) R 3(kΩ) R 4(kΩ) R f(kΩ) C (nF)
1次谐波 10 200 10 26.6 7.92 10
3次谐波 20 51 1 2.64
15.50 33
可以看出上述方程十分复杂，很难直接计算出电
阻、电容等元件的大小。通常可以采用试凑法实现，
例如先凑出C ，R 2，R 3的值，然后根据式(4)计算出 R 4；再选择合适的通频带宽度B ，从而计算出R f与R 1 的比值；最后代入式(6)并结合R i的大小，判断运放的 输出是否饱和；重复上述过程直到满足要求。下面直
通过LabVIEW等仿真软件可以观察到由方波信号 分解得到的正弦信号，以及由正弦信号合成的方波信 号 。 [9-11] 但为了让学生动手搭接电路实现该功能，从 而进一步巩固理论课上所学知识，本文设计实现了方 波信号的分解与合成实验系统。该系统包含了模拟 电子技术课程中的二阶滤波、移相、放大、求和等 内容，具有很强的综合性。该实验已加入本校面向 电类专业学生开设的电气技术实践基础实验课中。 实践证明，学生通过该实验提升了电路的分析和设计 能力，对傅里叶分解以及谐波分析法有了更加深刻的 认识。
2020年5月 总第337期
ISSN1672-1438 CN11-4994/T
周期性方波信号分解与合成实验系统设计
岳昊嵩 张 静 张秀磊 范昌波
北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院 北京 100191 摘 要：设计了周期性方波信号的分解与合成实验系统。首先利用有源二阶带通滤波电路从原始方波信号中提取出1次、3 次、5次谐波；然后通过移相电路将各次谐波调整为同相位；最后搭建反向比例求和电路实现方波信号的合成。实践证明， 学生通过动手操作加深了对信号分解及谐波分析法等电路理论的理解，锻炼了动手能力。 关键词：信号分解；信号合成；有源滤波；实验系统
信号分解与合成实验
深圳大学实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：信号的分解与合成实验学院：信息工程工程学院专业：电子信息工程指导教师：报告人：学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务处制电位器W01、W02、W03可以将基波，三次谐波，五次谐波，七次谐波的幅度调节成1：1/3 : 1/5 : 1/7,通过导线将其连接至信号的合成的输入插座IN01、IN02、IN03、IN04J ，通过测试勾可以观察到合成后的波形。
2、验证三次谐波与基波之间的相位差是否为180，五次谐波与基波之间的相位差是否为0。
可用李沙育图形法进行测量，其测量方法如下：用导线将函数发生器的方便输出端与带通滤波器输入端连接起来，即把方波信号分先后送入各带通滤波器，如图〔1〕所示。
具体方法：基波与各高次谐波相位比较〔李沙育频率测试法〕把BFP-1ω处的基波送入示波器的X 轴，再分别把BFP-31ω、BFP-51ω处的高次谐波送入Y 轴，示波器采用X-Y 方式显示，观察李沙育图。
当基波与三次谐波相位差为0、90、180时，波形分别如下图。
以上是三次谐波与基波产生的典型的李沙育图，通过图形上下端及两旁的波峰个数，确定频率比。
五、实验步骤与相应实验结果：1、把电信号分解与合成模块插在主板上，用导线接通此模块“电源插入”和主板上的电源，并打开此模块的电源开关。
2、调节函数信号发生器，使其输出10KHz左右的方波，占空比为50%，峰峰值为6V 左右，如图〔2〕所示。
将其接至该实验模块的“输入端”，用示波器观察各次谐波的输出即各次谐波，分别如图〔3〕、图〔4〕、图〔5〕、图〔6〕所示。
图〔2〕输出方波信号图〔3〕基次谐波图〔4〕三次谐波图〔5〕五次谐波图〔6〕七次谐波3、信号的分解实验提供两种方式即分立元件模拟方式和数字方式。
该实验采用数字方式。
数字方式采用单片机输出各次谐波分量的采样值，然后经过DA转换出各次谐波，基波幅度已经固定，只需调节其他谐波的幅度，操作比较方便。
信号的分解与合成
实验十三 信号分解及合成一、 实验目的1、 了解和熟悉波形分解与合成原理。
2、 了解和掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。
二、 实验仪器1、 双踪示波器2、 数字万用表3、 信号源及频率计模块S24、 数字信号处理模块S4三、 实验原理（一）信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号()f t ,只要满足狄利克菜(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号()f t ,可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间11(,)t t T +内表示为()01()cos sin 41,3,5,7,n n n f t a a n t b n t Ak Tk ω∞==+Ω+Ω=⋅⋅⋅∑()01()cos sin n n n f t a a n t b n t ∞==+Ω+Ω∑即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
图1ωca信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图13-1来形象地表示。
其中图(a)是信号在幅度—时间—频率三维坐标系统中的图形;图(b)是信号在幅度一时间坐标系统中的图形即波形图：把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图(c)是信号在幅度—频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。
当被测信号同时加到所有滤波器上,中心频率与信号所包含的某次谐波分景频率-致的滤波器便有输出。
周期信号的分解与合成
T
f (t) 1
0
T
t
ak
2 T
T
2 T
f (t ) cos (k 0t)d t = 0
2
1
bk
2 T
T 2
T 2
f
(t ) sin(k0t ) dt
4 T
T
2 f (t ) sin(k0t ) dt 0
0
奇函数：直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（3）f(t)为半波镜像信号
f (t)
f (t ) f t T 2
波形移动T/2后与原波形镜像对称
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数中，仅含有奇次谐波，偶次谐波为零，即：
a0 a2 a4 0 b2 b4 0
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
k 1
将上式同频率的正弦和余弦项合并，可写为：
其中
f (t) A0 A1 cos(0t 1 ) A2 cos(20t 2 )
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
k 1
A0 a0
Ak
a
2 k
bk2
k
arctan
bk ak
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
例2求周期锯齿波的三角形式傅里叶级数展开式
f
(t)
A T
t
T 2
t
T 2
f(t)
A
2
T
0
解：
0，其他
T 2
TT
2
t
A
信号的分解与合成实验报告
信号的分解与合成实验报告一、实验目的本次实验的主要目的是深入理解信号的分解与合成原理，通过实际操作和观察，掌握信号在时域和频域的特性，以及如何将复杂信号分解为简单的基本信号，并重新合成原始信号。
二、实验原理1、信号的分解任何周期信号都可以用一组正弦函数和余弦函数的线性组合来表示，这就是傅里叶级数展开。
对于非周期信号，可以通过傅里叶变换将其表示为连续频谱。
2、信号的合成基于分解得到的各个频率成分的幅度和相位信息，通过逆过程将这些成分相加，可以合成原始信号。
三、实验设备与环境1、实验设备信号发生器示波器计算机及相关软件2、实验环境安静、无电磁干扰的实验室环境四、实验内容与步骤1、产生周期信号使用信号发生器产生一个周期方波信号，设置其频率和幅度。
2、观察时域波形将产生的方波信号输入示波器，观察其时域波形，记录波形的特点，如上升时间、下降时间、占空比等。
3、进行傅里叶级数分解通过计算机软件对观察到的方波信号进行傅里叶级数分解，得到各次谐波的频率、幅度和相位信息。
4、合成信号根据分解得到的谐波信息，在计算机软件中重新合成信号，并与原始方波信号进行比较。
5、改变信号参数改变方波信号的频率和幅度，重复上述步骤，观察分解与合成结果的变化。
6、非周期信号实验产生一个非周期的脉冲信号，进行傅里叶变换和合成实验。
五、实验结果与分析1、周期方波信号时域波形显示方波具有陡峭的上升和下降沿，占空比固定。
傅里叶级数分解结果表明，方波包含基波和一系列奇次谐波，谐波的幅度随着频率的增加而逐渐减小。
合成的信号与原始方波信号在形状上基本一致，但在细节上可能存在一定的误差，这主要是由于分解和合成过程中的计算精度限制。
2、改变参数的影响当方波信号的频率增加时，谐波的频率也相应增加，且高次谐波的相对幅度减小。
幅度的改变主要影响各次谐波的幅度，而对频率和相位没有影响。
3、非周期脉冲信号傅里叶变换结果显示其频谱是连续的，且在一定频率范围内有能量分布。
信号合成与分解的信号与系统实验报告
5、实验内容及实验数据记录
实验图形如下
方波图形如下
跳线连接1-2脚时输出方波如下：跳线连接2-3或3-4脚时输出方波如下：
电容值为C=0.1µf电容值为C=0.01µf
跳线连接4-5脚时输出方波如下：
福建农林大学计算机与信息学院信息工程类实验报告
系：电子信息工程专业：电子信息工程年级：2006
姓名：学号：061151091实验课程：信号与系统
实验室号：通信实验室实验设备号：信号与系统（28）实验时间：2009.12.6
指导教师签字：成绩：
实验二 用同时分析法观测方波信号的频谱
1、实验目的
1）观察方波信号的分解，并观测基波和其谐波的合成。
7．质疑、建议、问题讨论
函数信号发生器是一种常见的芯片，在很多场合都要应用到这种芯片。实验中用到的函数信号发生器能产生方波、三角波和正弦波，这三种波是现实应用用到最多的基本波形。通过本次实验我们熟悉了信号发生器的内部结构波形产生的过程，这对我们以后的学习和工作中遇到此类函数信号发生器和这几种波形的理解和应用有很大的帮助。
5)、调节电位器W302，分别观测三种输出波形（波形选择上面已介绍），有何结论？（如影响方波的占空比，那么对正弦波和三角波有何影响呢？）
6）、调节“频率调节”旋扭，记录下函数发生器输出的最高和最低频率（注意配合“频率选择”档）；再调节“幅度调节”旋扭，记录下函数发生器输出的最大和最小幅度（此时配合调节电位器W305）。
当频率大幅增大时波形如下：
电容值为C=0.001µf
6．实验数据处理与分析
1、列表整理C取不同值时三种波形的频率和幅度值。
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告实验报告：信号系统的非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的：1.理解周期信号的概念和特点；2.学习如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分；3.学习如何合成一个非正弦周期信号。
二、实验原理：1.傅里叶级数展开：任何周期信号都可以由一系列谐波分量叠加而成；2.傅里叶级数中的谐波分量：频率是整数倍的基频信号，基频信号频率为信号周期的倒数。
三、实验仪器：1.计算机；2. 数字信号处理软件（如MATLAB、Python等）；3.数字音频信号采集卡（可选）；4.电脑音箱或音频耳机。
四、实验步骤：1.将采集卡连接至计算机（若使用）；2.打开信号处理软件，并导入需要处理的非正弦周期信号的音频文件；3.将音频信号从时域转换到频域，得到信号的频谱；4.分析频谱，找出频率成分较高的谐波分量；5.根据谐波分量的频率、振幅和初相位，计算每个谐波分量的波形；6.对所有谐波分量进行叠加，得到合成后的信号。
五、实验结果与讨论：1.实验结果：可以得到信号的频谱，并分析出频率较高的谐波分量；2.讨论：根据实验结果可以探讨信号的频谱结构、谐波的产生原理等，以及分析不同谐波分量对信号特性的影响；3.实验中还可以根据实际情况进行合理的参数选择，例如选择合适的采样率、截断频率等。
六、实验总结：通过本次实验，我们学会了如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分，并根据谐波分量的频率、振幅和初相位计算每个谐波分量的波形。
同时，我们也学会了如何合成一个非正弦周期信号。
实验结果表明，通过傅里叶级数展开，我们可以准确地分解和合成周期信号，这对于理解信号的频谱结构、谐波的产生原理等有着重要的意义。
希望通过本次实验，同学们能对非正弦周期信号的分解与合成有更深刻的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。
信号与系统
对于上面的f(t)表达式中的每对相同的n值的正、 负频率项可以合成为一个余弦实函数
F ne jn1t Fne jn1t Fn e j ne jn1t Fn e j ne jn1t Fn e j ( n1t n ) e j ( n1t n ) 2 Fn cos(n1t n)
8-16
例4-2
图4.3信号中（奇函数），设T=2S,求复指数形式 的傅里叶级数。 解：ω1=2π/T=π rad/s 所以
1 F0 a0 f (t )dt 0 T0
T
1 Fn T
T 2
T 2
2 jn1t f (t )e dt T
T 2
8-17
1
Ae jn1t dt Ae jn1t dt
n是n的奇函数，即-n n
8-3
•A1cos(ωt+1)称为基波或一次谐波，其角 频率与原周期信号相同。 A2cos(2ωt+2)称为二次谐波，其频率是基 波的2倍。 一般而言，Ancos(nωt+n)称为n次谐波。
8-4
二、波形的对称性与谐波
2 a n 2T f (t ) cos( nt ) d t T 2
三角函数形式
f (t ) a0 an cos(n1t )
n 1
an
b
n 1
2 f (t ) cos(n1t )dt , T 0 2 f (t ) sin(n1t )dt , T 0
T
T
an An cos n Fn F n , 是n的偶函数 bn An sin n j ( Fn F n ), 是n的奇函数 An 2 Fn
《信号与系统》实验教案
实验一、非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的1、用同时分析法观测50Hz 非正弦周期信号的频谱，并与其傅里叶级数各项的频率与系数作比较。
2、观测基波和其谐波的合成。
二、实验设备1、信号与系统实验箱（参考型号：TKSS —B 型）2、双踪示波器三、实验原理1、一个非正弦周期函数可以用一系列频率成整数倍的正弦函数来表示，其中与非正弦函数具有相同频率的成分称为基波或一次谐波，其它成分则根据其频率为基波频率的2、3、4、┅、n 等倍数分别称二次、三次、四次、┅、n 次谐波，其幅度将随谐波次数的增加而减小，直至无穷小。
2、不同频率的谐波可以合成一个非正弦周期波，反过来，一个非正弦周期波也可以分解为无限个不同频率的谐波成分。
3、一个非正弦周期函数可用傅里叶级数来表示，级数各项系数之间的关系可用一个频谱来表示，不同的非正弦周期函数具有不同的频谱图。
例如，方波的频谱图如图1-2所示。
图1-1 方波图1-2 方波频谱图方波信号的傅里叶表达式：)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)( +++++=t t t t t U t u mωωωωωπ 周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性； 奇函数只含正弦项，偶函数只含直流量和余弦项；奇谐函数只含奇次谐波分量，偶谐函数只含偶次谐波分量、直流量；四、实验重难点1、本实验以方波和三角波为重点进行实验数据的观测。
2、进行本实验前应熟悉信号与系统实验箱（参考型号：TKSS －B 型）、双踪示波器等有关仪器设备的操作。
五、实验步骤实验装置的结构如图1-3所示。
图1-3 信号分解合成实验装置结构框图1、打开电源总开关，检查50Hz方波信号输出；观察方波的周期和幅值。
2、将50Hz方波信号接到信号分解实验模块BPF输入端15脚（注意输入、输出地接在一起）；将1、2短接，观察直流分量的幅值；将3，4短接，观察基波分量的频率和幅值，并记录之。
将5，6短接，观察二次谐波分量的频率和幅值，并记录之。
周期信号的分解与合成
周期信号的另 一种三角级数 表示
f(t)A0 Ancons1t(n)或f(：t)C0 Cn.sin1t(n)
n1
n1
几个系数的关系
n
arctanbn an
An
an2 bn2 Cn
n
arctanan bn
a0 A0 C 0
几种系数的特点 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
傅里叶生平
05
1822年首次发表在“热的分 析理论”一书中
04
拉格朗日反对发表
03
1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
02
1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示”
01
1768年生于法 国
傅立叶的两个最主要的贡献
01
“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权
fe(t)f1(t) c12
设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个
函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数
c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为
E t2 e t1
fe(t) 2
t2
t1
gi
(t)
g*j(t)dt
0 Ki
t2 t1
gi
(t)
g*j(t)dn
an bn
f (t) 为偶函数时的 傅立叶级数
取 t0=－T/2
f ( t ) = f ( －t )，
偶函数的傅立叶级数 只有直流分量和余弦 分量，无正弦分量。
a
0
1 T
T
2
T 2
f ( t ) dt
周期信号分解与合成
信号与线性系统课程设计报告课题1 周期信号分解与合成班级:姓名：学号：组号及同组人：成绩：指导教师：日期：题目：周期信号分解与合成摘要：本文主要利用多反馈带通滤波器的设计方法，设计五中不同中心频率的带通滤波器，分别对应于输入信号利用傅里叶级数展开后的基波分量频率、二次谐波分量频率、三次谐波分量频率、四次谐波分量频率、五次谐波分量频率，通过带通滤波器对原输入信号进行滤波将各个分量分开，实现信号的分解，利用加法器实现信号的合成，在设计时先采用Multisim 软件进行模拟电路设计及仿真，然后根据仿真结果进行元件参数的修改，当仿真结果比较理想后，进行硬件电路的调试。
关键词：周期信号，分解，合成，带通滤波器，加法器1课程设计的目的、意义本课题主要研究周期信号分解与合成的软硬件实现方法以及相关滤波器的设计及应用。
通过本课题的设计，主要达到以下几个目的：1．了解周期信号分解与合成电路的原理及实现方法。
2．深入理解信号频谱和信号滤波的概念，理解滤波器幅频响应和相频响应对信号的影响以及无失真传输的概念。
3．掌握模拟带通滤波器的原理与设计方法。
4．掌握利用Multisim软件进行模拟电路设计及仿真的方法。
5．了解周期信号分解与合成硬件电路的设计、制作、调试过程及步骤。
6．掌握新一代信号与系统实验系统及虚拟示波器、虚拟信号发生器的操作使用方法。
7．培养运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
2 设计任务及技术指标本课题的任务包括周期信号分解与合成电路设计、电路（系统）仿真分析、电路板焊接、电路调试与测试、仿真和测试结果分析等内容，主要工作有：1. 采用有源带通滤波器，选择适当的滤波器参数，设计一个能分解出周期信号（周期信号基波频率在100Hz~2kHz之间自行选择）前5次谐波的电路，并用Multisim软件进行仿真验证和参数调整。
2. 列出所设计带通滤波器的系统函数，用Matlab软件分析其频率响应、时域响应，并与Multisim电路仿真的结果进行比较分析。
信号与系统实验(MATLAB 西电版)实验10 周期信号的合成与分解
逼近
t=-2：0.001：2;
%
N=20; c0=0.5;
f1=c0*ones(1，length(t)); %
for n=1：N %
f1=f1+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);
end plot(t，f1); axis(［-2 2 -0.2 0.8］);
方波的傅里叶级数逼近如图10.3
实验10 周期信号的合成与分解 图 10.3 方波的傅里叶级数逼近
实验10 周期信号的合成与分解
3) 用正弦信号的叠加近似合成一频率为50 Hz，幅值为3
MATLAB clear all;
fs=10000; t=［0：1/fs：0.1］; f0=50; sum=0; subplot(211) for n=1：2：9;
实验10 周期信号的合成与分解
plot(t，4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t)，′k′); title(′信号叠加前′); hold on;
写出相应MATLAB
实验10 周期信号的合成与分解
五、
简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号波形
六、
(1) (2) 傅里叶级数分解有三种形式，请以另外两种形式重
(3) 若周期函数为奇谐波函数，重复上述实验，比较实 验结果。
end subplot(221); plot(t，xN) xlabel(′time′); ylabel(′approximation N′); axis(［-2 2 -0.7 0.7］);
实验10 周期信号的合成与分解 2.
x(t)=
4
π n1
sin(2πnf0t)
1 n
n=1，3，5，…
Hale Waihona Puke 用前5项谐波近似合成一频率为50 Hz，幅值为3的方波，
实验四--信号的产生、分解与合成
实验四信号的产生、分解与合成【实验内容】设计并安装一个电路使之能够产生方波，并从方波中分离出主要谐波，再将这些谐波合成为原始信号或其他周期信号。
1.基本要求（1）设计一个方波发生器，要求其频率为1kHz，幅度为5V；（2）设计合适的滤波器，从方波中提取出基波和3次谐波；（3）设计一个加法器电路，将基波和3次谐波信号按一定规律相加，将合成后的信号与原始信号比较，分析它们的区别及原因。
2.提高要求设计5次谐波滤波器或设计移相电路，调整各次谐波的幅度和相位，将合成后的信号与原始信号比较，并与基本要求部分作对比，分析它们的区别及原因。
3. 其他部分用类似方式合成其他周期信号，如三角波、锯齿波等。
【实验目的】1.掌握方波信号产生的基本原理和基本分析方法，电路参数的计算方法，各参数对电路性能的影响；2. 掌握滤波器的基本原理、设计方法及参数选择；3. 了解实验过程：学习、设计、实现、分析、总结。
4. 系统、综合地应用已学到的电路、电子电路基础等知识，在单元电路设计的基础上，利用multisim 和FilterPro 等软件工具设计出具有一定工程意义和实用价值的电子电路。
5. 掌握多级电路的安装调试技巧，掌握常用的频率测量方法。
6. 本实验三人一组，每人完成一个功能电路，发挥团队合作优势，完成实验要求。
【报告要求】1. 根据实验内容、技术指标及实验室现有条件，自选方案设计出原理图，分析工作原理，计算元件参数。
（写出理论推导，不能只有图） 非正弦周期信号可以通过Fourier 分解成直流、基波以及与基波成自然倍数的高次谐波的叠加。
本实验需要设计一个高精度的带通滤波器和移相器，组成选频网络，实现方波Fourier 分解的原理性实验，实现方波合成的原理性实验。
简易波形分解与合成由下述四个部分功能电路—周期信号产生电路、波形分解电路（滤波器）、相位调节、幅值调节与合成电路组成。
1. 非正弦周期信号的分解与合成对某非正弦周期信号()f t ，其周期为T ，频率为f ，则可以分解为无穷项谐波之和，即：000112()sin()sin(2)n n n n n n nf t c c t c c f t T πϕπϕ∞∞===++=++∑∑上式表明，各次谐波的频率分别是基波频率0f 的整数倍。
信号与系统实验-周期信号的合成与分解
武汉大学教学实验报告电子信息学院专业年月日实验名称周期信号的合成与分解指导教师姓名年级学号成绩一、预习部分1.实验目的2.实验基本原理3.主要仪器设备（含必要的元器件、工具）一、实验目的1．在理论学习的基础上，通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理意义。
2．理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数，此时方均误差随项数的增加而减小。
3．观察并初步了解 Gibbs 现象。
4．深入理解周期信号的频谱特点，比较不同周期信号频谱的差异。
二、实验原理满足 Dirichlet 条件的周期信号f(t)可以分解成三角函数形式的傅里叶级数，表达式为：式中n为正整数；角频率ω1由周期T1决定：112=Tπω。
该式表明：任何四、实验内容1．周期对称方波信号的合成图示方波既是一个奇对称信号，又是一个奇谐信号。
根据函数的对称性与傅里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示:选取奇对称周期方波的周期T=0.02s，幅度E =6，请采用有限项级数替代无限项级数来逼近该函数。
分别取前 1、2、5 和 100 项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。
MATLAB 程序如下：%奇对称方波合成f(t)=2*E/pi*( sum(sin(2*pi*f*t*(2*i+1)/(2*i+1));i=0,1,2¡-¡-)t=0:0.001:0.1;E=6;A=2*E/pi;T=0.02;f=1/T;y=A*sin(2*pi*f*t);subplot(221)plot(t,y);显示结果如图 4-2 所示。
图 4-2 奇对称方波信号的合成2．观察 Gibbs 现象分别取前 5,6,7和8项有限级数来逼近奇对称方波，观察 Gibbs 现象。
MATLAB 程序如下：%观察 Gibbs 现象%奇对称方波合成，观察 Gibbs 现象t=0:0.001:0.04;sishu=12/pi;y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));endsubplot(221)plot(t,y);axis([0,0.04,-4,4]);xlabel('time');ylabel('前 5 项有限级数);y=0;图 4-3 Gibbs 现象3．周期对称三角信号的合成设计采用有限项级数逼近偶对称周期三角信号的实验，编制程序并显示结果。
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武汉大学教学实验报告
电子信息学院专业年月日
实验名称周期信号的合成与分解指导教师
姓名年级学号成绩
一、预习部分
1.实验目的
2.实验基本原理
3.主要仪器设备（含必要的元器件、工具）
一、实验目的
1．在理论学习的基础上，通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理意
义。
2．理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数，此时方均误差随项
数的增加而减小。
3．观察并初步了解 Gibbs 现象。
4．深入理解周期信号的频谱特点，比较不同周期信号频谱的差异。
二、实验原理
满足 Dirichlet 条件的周期信号f(t)可以分解成三角函数形式的傅里叶级数，表达式为：
式中n为正整数；角频率ω1由周期T1决定：
1
1
2
=
T
π
ω。
该式表明：任何
四、实验内容
1．周期对称方波信号的合成
图示方波既是一个奇对称信号，又是一个奇谐信号。
根据函数的对称性与傅
里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示:
选取奇对称周期方波的周期T=0.02s，幅度E =6，请采用有限项级数替代无限项级数来逼近该函数。
分别取前 1、2、5 和 100 项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。
MATLAB 程序如下：
%奇对称方波合成
f(t)=2*E/pi*( sum(sin(2*pi*f*t*(2*i+1)/(2*i+1));i=0,1,2¡-¡-)
t=0:0.001:0.1;
E=6;
A=2*E/pi;
T=0.02;
f=1/T;
y=A*sin(2*pi*f*t);
subplot(221)
plot(t,y);
显示结果如图 4-2 所示。
图 4-2 奇对称方波信号的合成
2．观察 Gibbs 现象
分别取前 5,6,7和8项有限级数来逼近奇对称方波，观察 Gibbs 现象。
MATLAB 程序如下：
%观察 Gibbs 现象
%奇对称方波合成，观察 Gibbs 现象
t=0:0.001:0.04;
sishu=12/pi;
y=0;
for i=1:5
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(221)
plot(t,y);
axis([0,0.04,-4,4]);
xlabel('time');
ylabel('前 5 项有限级数);
y=0;
图 4-3 Gibbs 现象
3．周期对称三角信号的合成
设计采用有限项级数逼近偶对称周期三角信号的实验，编制程序并显示结果。
4．周期信号的频谱
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，编制程序并显示结果，深入
讨论周期信号的频谱特点和两信号频谱的差异。
五、实验要求
1. 输入实验内容 1 中提供的奇对称方波信号合成的 MATLAB 程序，生成 M 文件，编译并运行，观察合成结果。
2. 输入实验内容 2 中提供的有限项级数逼近方波信号的 MATLAB 程序，生成M
文件，编译并运行，观察 Gibbs 现象。
3. 自行编制完整的 MATLAB 程序，完成实验内容 3 中偶对称三角信号的合成。
在实验报告中给出程序和显示结果。
xlabel('time');
ylabel('前 5 项有限级数');
y=E/2;
for i=1:100
y=y+4*E/((2*i-1)*pi)^2*(cos((2*i-1)*2*pi*f*t)); end
subplot(224)
plot(t,y);
axis([-0.1 0.1 0 6.5]);
grid on;
xlabel('time');
ylabel('前 100 项有限级数');
显示结果如图 4-4 所示。
周期信号的频谱具有如下特点：
(1)离散性。
周期信号的频谱是由不连续的谱线组成，每条谱线代表一个谐波分量。
(2)谐波性。
频谱中每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，由于这里的方波和三角波都是对称的，频谱中只包含基频的奇数倍频率。
(3)收敛性。
各频率分量的谱线高度表示各次谐波分量的幅值。
两信号频谱的差异:
由以上周期性方波和三角波信号的频谱分析可知，周期性三角波信号的各次谐波幅值衰减比周期性方波的频谱衰减快得多，这说明三角波的频率结构中低频成分较多，而方波的高频成分比较多，同时偶对称的三角波中含有直流分量而奇对称的方波中没有直流分量。
六、思考题
1. 利用有限项的指数形式的傅里叶级数重复奇对称方波信号的合成。
答：其指数形式的傅里叶级数的表示为：
程序如下：
t=0:0.001:1;
T=0.2;
f=1/T;
w=2*pi*f;
E=6/pi;
y=0;
for n=1:100
y=y+E*(exp(1i*(2*n-1)*w*t-1i*0.5*pi))/(2*n-1);
end
plot(t,y);
grid on;
axis([0,1,-4,4]);
xlabel('time');
2. 分析时域信号的间断性与其频谱谐波收敛速率的对应关系。