信号抽样与抽样定理
信号抽样与抽样定理
− nω
s
)
F (ω − n ω
)
矩形脉冲抽样——频谱结构 二. 矩形脉冲抽样 频谱结构
转 化
f (t )
FT
乘
0
1
0
.exe .exe
t
P (t )
τ
FT
− 2π
P (ω ) Eτω s
τ
2π
ω
卷
0
Ts
t
FT
−ωs
0
f s (t )
Fs (ω )
Eτ Ts
ωs
τ
ω
t
0
−
2π
2π
τ
−ωs
)
三.冲激抽样——频谱结构 冲激抽样 频谱结构
f (t )
0
FT
P (t )
∞
1
0
p (ω ) = ω s
∞
F (ω )
t
n=−∞
(1)
0
δT (t) = ∑δ (t − nTs )
FT
(ω s )
−ωs
0
n = −∞
∑ δ (ω − nω
ω
s
)
Ts
t
相 乘 相 卷
FT
ω ω
s
f s (t )
1 Ts
1 Ts
0
抽样频率
F1 (ω )
ωs<2 ωm
f (t)
0
− ωs
0
1 Ts
ω ωs F1 (ω )
ωs=2 ωm
Ts
t
ω s = 2ω m
− ωs
0
ωs ω
Nyquist，美国物理学家 ， 1889 ， 美国物理学家， 年出生在瑞典。 年在Texas 年出生在瑞典 。 1976年在 Texas 逝 年在 Texas逝 他对信息论做出了重大贡献。 世。他对信息论做出了重大贡献。 1907年移民到美国并于 年移民到美国并于1912年进入 年移民到美国并于 年进入 北达克塔大学学习。 北达克塔大学学习。1917年在耶鲁 年在耶鲁 要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽 ～ 大学获得物理学博士学位。 大学获得物理学博士学位。1917～ 1934年在 年在AT&T公司工作 公司工作， 年在 公司工作 样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。，后转入 Bell电话实验室工作 电话实验室工作。 Bell电话实验室工作。
通信原理实验报告
通信原理实验报告实验一抽样定理实验二 CVSD编译码系统实验实验一抽样定理一、实验目的所谓抽样。
就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），即x(t)*s(t)=x(t)s(t)。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
抽样定理告诉我们：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地还原信号。
这就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输按抽样定理得到的抽样值。
二、功能模块介绍1.DDS 信号源：位于实验箱的左侧（1）它可以提供正弦波、三角波等信号，通过连接P03 测试点至PAM 脉冲调幅模块的32P010 作为脉冲幅度调制器的调制信号x(t)。
抽样脉冲信号则是通过P09 测试点连至PAM 脉冲调幅模块。
（2）按下复合式按键旋钮SS01，可切换不同的信号输出状态，例如D04D03D02D01=0010对应的是输出正弦波，每种LED 状态对应一种信号输出，具体实验板上可见。
（3）旋转复合式按键旋钮SS01，可步进式调节输出信号的频率，顺时针旋转频率每步增加100Hz,逆时针减小100Hz。
（4）调节调幅旋钮W01，可改变P03 输出的各种信号幅度。
2.抽样脉冲形成电路模块它提供有限高度，不同宽度和频率的抽样脉冲序列，可通过P09 测试点连线送到PAM 脉冲调幅模块32P02，作为脉冲幅度调制器的抽样脉冲s(t)。
P09 测试点可用于抽样脉冲的连接和测量。
该模块提供的抽样脉冲频率可通过旋转SS01 进行调节，占空比为50%。
3.PAM 脉冲调幅模块它采用模拟开关CD4066 实现脉冲幅度调制。
抽样脉冲序列为高电平时，模拟开关导通，有调制信号输出；抽样脉冲序列为低电平，模拟开关断开，无信号输出。
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
《信号与系统实验》信号的采样与恢复(抽样定理)实验
《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。
s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。
图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是f s 2，其中f s为抽样频率，为原信号占有的频带宽度。
而f min=2 为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。
当f s<2 时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2 ，恢复后的信号失真还是难免的。
图5-2画出了当抽样频率f s>2 （不混叠时）f s<2 （混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2 、f s =2 、f s <2 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
§3.6--信号抽样与抽样定理(信号抽样-时域抽样定理-连续时间信号的重建--)
所以抽样信号的频谱为
其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率，
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。
(1) 冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
谢谢大家
二、时域抽样定理
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 的范围，若以间隔 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息，完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
一、信号抽样
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。
二、时域抽样定理
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
三、连续时间信号的重建
因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定 ，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选 ，则而冲激抽样信号为
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
信号与系统抽样与抽样定理
连续时间系统的频率响应
连续信号通过系统响应的频域分析
无失真系统与理想低通
抽样与抽样定理
调制与解调
连续时间信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理
抽样定理的工程应用
信号重建
实际应用举例
1、信号抽样的理论分析
f (t)
fs (t)
T (t)
冲激串 ->序列
f [k ]
2p F T t T
n
w nw
s
f s (t ) f (t ) T (t )
1 2p F FS jw [ F jw 2p T
n
w nw ]
s
1 Fs ( jw ) F [ j(w nws )] T n
wm 0 wm
w
ws 1.5wm
Fs ( jw )
1 T
混叠 (aliasing)
F[j(wws)] ...
ws ws wm
F(jw)
0
F[ j(w ws )] ...
ws
wm ws
w
2、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。
例5－9 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t) 抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
抽样信号与抽样定理
? b0 a0
离散系统的转移算子
r(k ) ? H ( S )e(k )
例2：画出下面差分方程的模拟图
y(k ? 2) ? a1 y(k ? 1) ? a2 y(k) ? b2e(k ? 2) ? b1e(k ? 1) ? b0e(k)
分析：
H (s) ?
y(k ) ? e(k )
b2 S 2 ? b1S ? b0 S 2 ? a1S ? a0
0
FT
Fs (? )
1
Ts
t
??
0
?
特点：理想抽样后的频谱，是将连续信号的频谱进行周 期延拓，延拓的周期是采样频率
三 香农抽样定理
设f(t)是一个带限信号，在|? |> ? m时，F（j? ）=0。如果抽 样频率? s>2 ? m ，其中? s ＝2? /Ts , 那f(t) 就唯一地由其样 本 fs(t)所确定。
差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移 序之差；
初始条件：解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个 数必须等于差分方程的阶数；
线性时不变系统：与连续时间系统中的结论相似，可以用一 个常系数差分方程描述。
数值解：因为差分方程可以很方便地用计算机求其数 值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程 求近似数值解。
分析：假设y(k)代表第k个月兔子的总对数，则：
? 老兔子
y(k
?
? 老兔子
2)? ?
新生儿
y(k
?
1)? ?
新生儿
y(k )
解：y(k+2)=y(k)+y(k+1)
y(k+2)－y(k+1)－ y(k)＝0 y(k)－y(k-1)－ y(k-2)＝0
§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t)
o
t
p(t)
o TS
t
fs (t)
o TS
t
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
则抽样信号的频谱为
Fs ()
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过
程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系
数 的加权。
一、信号抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
o Ts
t
fs (t)
相
乘
o Ts
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即 f (t) F ()
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t) Pne jns t P() 2 Pn ( ns )
n
n
其中，s
2
Ts
为抽样角频率，Ts
为抽样间隔 ，
f频 谱s 谱以T是抽1s 原样为连角抽续频样信率频为号率的间，频隔
会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。 如果 s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
信号抽样及抽样定理
（一）信号抽样信号抽样是利用抽样脉冲序列)(t p 从连续信号)(t f 中抽取一系列的离散值，通过抽样过程得到的离散值信号称为抽样信号，记为)(t f s 。
从数学上讲，抽样过程就是信号相乘的过程，即)()()(t p t f t f s ∙=因此，可以使用傅里叶变换的频域卷积性质来求抽样信号)(t f s 的频谱。
常用的抽样脉冲序列有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。
上式表明，信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号频谱以抽样角频率为间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。
在频谱的周期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶系数加权，即被n P 加权。
可以看出，)(ωs F 是以s ω为周期等幅地重复。
（二）抽样定理 如果)(t f 是带限信号，带宽为m ω，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值来唯一表示。
)(t f 经过抽样后的频谱()ωs F 就是将)(t f 的频谱()ωF 在频率轴上以抽样频率s ω为间隔进行周期延拓。
因此，当m s ωω2≥时，周期延拓后频谱()ωs F 不会产生频率混叠；当m s ωω2<时，周期延拓后频谱()ωs F 将产生频率混叠。
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率)2,2(2πωπωm m s s m s f f f f ===称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔ms s f f T 211==称为奈奎斯特间隔。
（三）信号重建 抽样定理表明，当抽样定理小于奈奎斯特间隔时，可以使用抽样信号唯一表示原信号，即信号的重建。
为了从频谱中无失真的恢复原信号，可以采用截止频率为m c ωω≥的理想低通滤波器。
上式表明连续信号可展开为抽样函数()t Sa 的无穷级数，该级数的系数为抽样值。
利用MATLAB 中的函数tt t c ππ)sin()(sin =来表示()t Sa ，所以可获得由()s nT f 重建()t f 的表达式，即()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞=-∞=s c n n s c s nT t c nT f T t f πωπωsin。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
实验一 信号的抽样与恢复（抽样定理）一、实验目的1．了解信号的抽样方法与过程以及信号恢复的方法。
2．验证抽样定理。
二、实验设备1．Dais －XTB 信号与系统实验箱 一台 2．双踪示波器 一台 3．任意函数发生器 一台三、实验原理1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号()s x t 可以看成连续信号()x t 和一组开关函数()s t 的乘积。
()s t 是一组周期性窄脉冲，如图1-1，s T 称为抽样周期，其倒数1/s s f T =称抽样频率。
图1-1 矩形抽样信号对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s 及其谐波频率2f s 、3f s ……。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sin x /x 规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2．在一定条件下，从抽样信号可以恢复原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。
3．原信号得以恢复的条件是f s ≥2f max ，f s 为抽样频率，f max 为原信号的最高频率。
当f s ＜2 f max 时，抽样信号的频谱会发生混叠，从发生混叠后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此恢复后的信号失真还是难免的。
实验中选用f s ＜2 f max 、f s ＝2 f max 、f s ＞2 f max 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理。
4．连续信号的抽样和抽样信号的复原原理框图如图1-2所示。
除选用足够高的抽样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成抽样后信号频谱的混迭，但这也会造成失真。
抽样信号与抽样定理.
2抽样频率必须进一步增加，一般取的3~5倍。
3)抽样也是一个线性处理过程.
Fs ( )
不满足抽样定理时 产生频率混叠现象
s 0 s
五、频域抽样后的时间函数
F ( )
IFT
0
1
f (t )
1
0
( )
(1)
IFT
1
0
1
相 乘 卷 积
T1
1
0
1
T (t ) 1
老兔子 老兔子 y(k 1)新生儿 y( k 2)
新生儿 y( k )
解：y(k+2)=y(k)+y(k+1) y(k+2)－y(k+1)－ y(k)＝0 y(k)－y(k-1)－ y(k-2)＝0 前向 差分 后向 差分
差分方程：y(k+2)－y(k+1)－ y(k)＝0 差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移 序之差； 初始条件：解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个 数必须等于差分方程的阶数； 线性时不变系统：与连续时间系统中的结论相似，可以用一 个常系数差分方程描述。 数值解：因为差分方程可以很方便地用计算机求其数 值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程 求近似数值解。
0
t
T--采样间隔，Ω=2/Ts为抽样频率。
0
t
二 理想抽样的傅立叶变换
f (t )
1
F ( )
0
T (t )
t t
0
m
( n)
0
0
f s (t )
f1 ( t ) f 2 ( t )
0
t
交流信号的取样和处理原理
交流信号的取样和处理原理交流信号的取样和处理原理是指对交流信号进行适当的取样和处理，以便进行数字化处理或其他相关应用。
交流信号是一种变化频率和振幅的信号，比如音频信号和电力系统中的电压信号。
为了进行数字化处理，需要将交流信号转换成离散的数字信号，并进行相应的处理。
下面就交流信号的取样和处理原理进行详细的解释。
1. 取样原理：取样原理是指将连续的交流信号转换为离散的数字信号。
取样是通过周期性地采集信号的数值来进行的。
根据奈奎斯特定理，采样频率必须是信号中最高频率的两倍以上，才能保证完整地还原出原始信号。
取样过程中，将连续的信号在一定的时间间隔内测量取样，形成离散的样本序列。
2. 取样定理：取样定理是取样原理的数学表述，也称为奈奎斯特定理。
奈奎斯特定理规定，对于一个具有有限带宽的连续信号，如果采样频率高于信号带宽的两倍以上，那么从离散样本中可以恢复出完整的原始信号。
具体而言，取样定理表述为，信号的最高频率为fm，采样频率为fs，则fs >= 2 * fm。
3. 取样率的选择：取样率的选择是根据信号的频率内容来确定的。
如果信号的频率范围较广，包含较高的频率分量，就需要选择较高的取样率，以充分采样信号的高频成分。
否则，高频部分将发生失真，无法准确还原原始信号。
因此，取样率的选择需要根据实际情况进行权衡。
4. 取样频率与抽样定理：取样频率是指每秒钟进行的采样次数，与抽样定理有密切关系。
抽样定理是对取样定理的进一步解释，它表明采样频率应满足"取样频率= 信号频率×采样时间"。
如果取样频率低于抽样频率，将导致采样信号中缺失频率成分，从而无法准确恢复原始信号。
5. 信号处理原理：在取样完成后，需要对采样信号进行处理。
信号处理的目的是为了提取出信号中所需要的信息，或者对信号进行进一步的处理和分析。
信号处理包括滤波、采样值的编码、压缩、频谱分析等步骤。
其中，滤波是为了去除掉信号中不需要的频率成分，使得待处理的信号更加纯净。
抽样定理
E Fs ( ) Ts 上式表明:
n s Sa( ) F ( n s ) 2 抽样性 周期性 n
信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs () 是连续信 号的频谱 F () 以取样角频率 s 为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列 的形状。 (p152 图3－50)
F ()
1
Fs ()
Es
－m
m
w
抽样后频谱
抽样前频谱
m
s
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从 Fs ()的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以 其频谱所占的频带几乎是无限宽。
§3.10~3.11 抽样与抽样定理
本次课讨论的内容为 :
一、信号的时域抽样 二、抽样定理 三、连续信号的恢复(内插公式) 四、时域抽样和频域抽样的类比
一. 取样的目的及所遇到的问题
模 拟 信 号 输 入
模 拟
抽 样
量 化
数字信号 处理器
信 号 输 出
A/ D 转换器
D/ A 转换器
数字信号处理系统简单框图
E n s dt Sa Ts 2
1 p( ) 2 Pn ( n s ) Fs ( ) F ( ) * p ( ) 2 n
E Fs ( ) Ts
理想取样
n s Sa F ( n s ) 2 n
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以 F () 是以 s 为周期等幅地重复，如下图所示：
通信原理实验-抽样定理
学生实验报告）实际上，考虑到低通滤波器特性不可能理想，对最高频率为3400Hz的语言信号，通常采用8KHz 抽样频率，这样可以留出1200Hz的防卫带。
见图4。
如果fs＜fH，就会出现频谱混迭的现象，如图5所示。
在验证抽样定理的实验中，我们用单一频率fH的正弦波来代替实际的语音信号。
采用标准抽样频率fs＝8KHZ。
改变音频信号的频率fH，分别观察不同频率时，抽样序列和低通滤波器的输出信号，体会抽样定理的正确性。
验证抽样定理的实验方框图如图6所示。
在图8中，连接（8）和（14），就构成了抽样定理实验电路。
由图6可知。
用一低通滤波器即可实现对模拟信号的恢复。
为了便于观察，解调电路由射随、低通滤波器和放大器组成，低通滤波器的截止频率为3400HZ2、多路脉冲调幅系统中的路际串话~多路脉冲调幅的实验方框图如图7所示。
在图8中，连接（8）和（11）、（13）和（14）就构成了多路脉冲调幅实验电路。
分路抽样电路的作用是：将在时间上连续的语音信号经脉冲抽样形成时间上离散的脉冲调幅信号。
N路抽样脉冲在时间上是互不交叉、顺序排列的。
各路的抽样信号在多路汇接的公共负载上相加便形成合路的脉冲调幅信号。
本实验设置了两路分路抽样电路。
多路脉冲调幅信号进入接收端后，由分路选通脉冲分离成n路，亦即还原出单路PAM信号。
图7 多路脉冲调幅实验框图冲通过话路低通滤波器后，低通滤波器输出信号的幅度很小。
这样大的衰减带来的后果是严重的。
但是，在分路选通后加入保持电容，可使分路后的PAM信号展宽到100％的占空比，从而解决信号幅度衰减大的问题。
但我们知道平顶抽样将引起固有的频率失真。
PAM信号在时间上是离散的，但是幅度上趋势连续的。
而在PAM系统里，PAM信只有在被量化和编码后才有传输的可能。
本实验仅提供一个PAM系统的简单模式。
3、多路脉冲调幅系统中的路标串话路际串话是衡量多路系统的重要指标之一。
路际串话是指在同一时分多路系统中，某一路或某几路的通话信号串扰到其它话路上去，这样就产生了同一端机中各路通话之间的串话。
基于Matlab的信号与系统实验指导
基于Matlab 的信号与系统实验指导实验一 连续时间信号在Matlab 中的表示一、实验目的1、学会运用Matlab 表示常用连续时间信号的方法2、观察并熟悉这些信号的波形和特性二、实验原理及实例分析1、信号的定义与分类2、如何表示连续信号？连续信号的表示方法有两种；符号推理法和数值法。
从严格意义上讲，Matlab 数值计算的方法不能处理连续时间信号。
然而，可利用连续信号在等时间间隔点的取样值来近似表示连续信号，即当取样时间间隔足够小时，这些离散样值能被Matlab 处理，并且能较好地近似表示连续信号。
3、Matlab 提供了大量生成基本信号的函数。
如：（1）指数信号：K*exp(a*t)（2）正弦信号：K*sin(w*t+phi)和K*cos(w*t+phi)（3）复指数信号：K*exp((a+i*b)*t)（4）抽样信号：sin(t*pi)注意：在Matlab 中用与Sa(t)类似的sinc(t)函数表示，定义为：)t /()t (sin )t (sinc ππ=（5）矩形脉冲信号：rectpuls(t,width)（6）周期矩形脉冲信号：square(t,DUTY)，其中DUTY 参数表示信号的占空比DUTY%，即在一个周期脉冲宽度（正值部分）与脉冲周期的比值。
占空比默认为0.5。
（7）三角波脉冲信号：tripuls(t, width, skew)，其中skew 取值范围在-1~+1之间。
（8）周期三角波信号：sawtooth(t, width)（9）单位阶跃信号：y=(t>=0)三、实验内容1、验证实验内容直流及上述9个信号2、程序设计实验内容（1）利用Matlab 命令画出下列连续信号的波形图。
（a ）)4/3t (2cos π+（b ）)t (u )e 2(t -- （c ）)]2()(u )][t (cos 1[--+t u t π（2）利用Matlab 命令画出复信号)4/t (j 2e)t (f π+=的实部、虚部、模和辐角。
信号与系统§3.06 信号抽样与抽样定理
信号与系统
二、时域抽样定理
f (t) F(ω)
0
t fs (t)
(a) 连 信 的 谱 续 号 频
−ωm
0
ωm
F (ω) s
ω
0Ts
t
−ωs
−ω m
0
ωm
ωs
fs (t) (b)
ω
高 样 率 抽 信 的 谱 抽 速 时 样 号 频
F (ω) s
0 Ts
t
−ωs
0
ωm ωs
ω
(c) 低 样 率 抽 信 的 谱 频 混 抽 速 时 样 号 频 及 谱 叠
n=−∞ −∞
∞
∞
fs (t )
fs (t) = f (t) ⋅ p(t) = ∑ f (nTs )δ (t − nTs )
抽样脉冲
Ts 2
n=−∞
∞
抽样信号的频谱 1 1 - jnωs t 是以 ωs 为周期等 冲激序列的傅立叶系数为 P = δ (t)e dt = n Ts Ts Ts 幅地重复 − 2 所以冲激抽样信号的频谱为
n=−∞ n=−∞
∞
∞
在时域抽样（离散化） 在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
信号与系统
一、信号抽样
(1) 冲激抽样 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样 理想抽样。 冲激抽样或 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
连续信号
f (t )
⊗
δ T (t )
抽样信号
p(t) = ∑δ (t − nTs ) ↔ωs ∑δ (ω − nωs )
ωs ≥ 2ω各频移的频谱才不 m
会相互重叠。这样， 的全部信息， 会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 或者说， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs
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解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
1 s n
0 E
Ts
n0 Sa 2 m
( ns m0 )
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
2
E
F0 ( )
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T
唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
s
2tm ，其中 Ts
s 2
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。
f1 (t )
E
T
0
2
T
2
t
f s (t )
E
T
0
2
T
2
t
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原连
续信号 f (t) 。
信号与系统
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即
f (t ) F ( )
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t )
其中， s
2 为抽样角频率，T 为抽样间隔 ， s Ts 所以抽样信号的频谱为
周期重复，在此情况下，只有满足条件
s 2各频移的频谱才不 m
会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs
(t) 。
如果
s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
信号与系统
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号与系统
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号
f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t )
o
p (t )
t
o
TS
f s (t )
t
o
TS
t
信号与系统
0
Ts
t
s
0
m s
(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠
信号与系统
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为c m的理想低通滤
波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
f s t
Fs
0
Ts
t
s
m
0
谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种 现象称为频率混叠现象。
信号与系统
二、时域抽样定理
f (t ) F ( )
0
t f s (t )
(a) 连续信号的频谱
m
0
m
Fs ( )
0Ts
t
s
m
0
m
s
f s (t )
(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱
Fs ( )
2
m0 Sa 2 m
频域抽样 周期矩形信号的频谱 周期矩形信号 时域抽样
E F1 ( ) 2 T
抽样间隔为 TS
( m0 )
频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
F ( n )
s
C C
s m c m ，则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ，则 Ts s c 2
信号与系统
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
f s (t )
1
s
n
f (t nTs )
说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) (
0
T
2
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts 2 Ts
2
Fs
T
0
2
T
2
e
t
0
2
f
2 Ts
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
假设连续频谱函数为F(ω) ，抽样频谱函数为FS(ω) ,即在频域抽样有
Fs ( )
n
F ( ) ( n ) F (n ) ( n )
s n s s
假设 FS(ω) 对应的时间信号为 fs (t) ，则有
信号与系统
三、连续时间信号的重建
注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。 原因 有限时间内存在的信号， 其频谱理论上是无限宽的 理想低通滤波器无法实现 实际中的抽样一般是 平顶的矩形脉冲抽样 解决方法 在信号被抽样之前，首先通过低通滤波 器（称为防混叠低通滤波器） 逼近理想低通滤波器的特性 在用低通滤波器之前，加一个频率响应 为 1/P(ω)的补偿低通滤波器
s s s
f s (t ) f (t ) p(t )
Ts 2
n
f (nTs ) (t nTs )
抽样信号的频谱 1 1 - j ns t 是以 ωs 为周期等 冲激序列的傅立叶系数为 P ( t )e dt n Ts Ts Ts 幅地重复 所以冲激抽样信号的频谱为 2
f (t ) F ( )
fs 2 fm
0
t
f s (t )
(a) 连续信号的频谱
m
0
m
Fs ( )
0 Ts
t
m
0
m
信号与系统
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 ( , ) 的范围， m m
若以间隔 Ts 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为
2
n
F ( ) P ( n ) P F ( n )
n s n n s
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
信号与系统
一、信号抽样
(1) 冲激抽样 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
p(t )
n
(t nT ) ( n )
信号与系统
一、信号抽样
f (t )
1
F ( )
o
p (t )
t
mo m
E
Es
P ( )
2
o Ts f s (t )
t
幅度不再是等幅， s o s 受到周期矩形脉冲 卷 Fs ( ) 信号的傅立叶系数 E 积 的加权 T
s
o T s
t
o s m s
说明：
n
f (nTs ) (t nTs ) Ts
C Sa(C t )
n
f (nTs ) Sa C (t nTs )
（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值； （2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 f (nTs ) 的Sa函数波 形，那么其合成信号就是原连续信号； 结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。
n
f (t ) G (t nTs )
n E Sa ( s ) Ts 2 ns E Fs ( ) Sa( 2 ) F ( ns ) Ts n
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系 数 的加权。
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nTs ) (t nTs )
信号与系统
三、连续时间信号的重建