信号抽样与抽样定理

2
m0 Sa 2 m

频域抽样 周期矩形信号的频谱 周期矩形信号 时域抽样
E F1 ( ) 2 T
抽样间隔为 TS
( m0 )
频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
1 s n

0 E
Ts


n0 Sa 2 m

( ns m0 )
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E

2
E
F0 ( )

0
a
E
2
t
2

0
2
f1 t
b


F1
E 0
T
0
Ts
t
s
0
m s

(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠
信号与系统
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为c m的理想低通滤
波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
f s t
Fs
0
Ts
t
s
m
0
f (t ) F ( )
fs 2 fm
0
t
f s (t )
(a) 连续信号的频谱
m
0
m
Fs ( )

0 Ts
t
m
0
m

信号与系统
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 ( , ) 的范围， m m
若以间隔 Ts 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为
信号与系统
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号与系统
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号
f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t )
o
p (t )
t
o
TS
f s (t )
t
o
TS
t
信号与系统
信号与系统
一、信号抽样
f (t )
1
F ( )
o
p (t )
t
mo m

E
Es
P ( )
2

o Ts f s (t )
t
幅度不再是等幅， s o s 受到周期矩形脉冲 卷 Fs ( ) 信号的傅立叶系数 E 积 的加权 T
s

o T s
t
o s m s
n


f (t ) G (t nTs )
n E Sa ( s ) Ts 2 ns E Fs ( ) Sa( 2 ) F ( ns ) Ts n
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系 数 的加权。
唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
s
2tm ，其中 Ts
s 2
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。
f1 (t )
E
T
0
2
T
2
t
f s (t )
E
T
0

2
T
2
t
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
周期重复，在此情况下，只有满足条件
s 2各频移的频谱才不 m
会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs
(t) 。
如果
s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频

信号与系统
二、时域抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
f s (t )
1
s
n


f (t nTs )
说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) (
信号与系统
三、连续时间信号的重建
注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。 原因 有限时间内存在的信号， 其频谱理论上是无限宽的 理想低通滤波器无法实现 实际中的抽样一般是 平顶的矩形脉冲抽样 解决方法 在信号被抽样之前，首先通过低通滤波 器（称为防混叠低通滤波器） 逼近理想低通滤波器的特性 在用低通滤波器之前，加一个频率响应 为 1/P(ω)的补偿低通滤波器
0
T
2
c
E
2
t
2

0
2
d

Baidu Nhomakorabea

f s t
E 0 Ts 2 Ts
2
Fs
T
0

2
T
2
e
t

0
2

f
2 Ts

2

n
F ( ) P ( n ) P F ( n )
n s n n s


在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
信号与系统
一、信号抽样
(1) 冲激抽样 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
p(t )
n
(t nT ) ( n )
s s s


f s (t ) f (t ) p(t )
Ts 2
n


f (nTs ) (t nTs )
抽样信号的频谱 1 1 - j ns t 是以 ωs 为周期等 冲激序列的傅立叶系数为 P ( t )e dt n Ts Ts Ts 幅地重复 所以冲激抽样信号的频谱为 2
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n


f (t ) (t nTs )
n


f (nTs ) (t nTs )
信号与系统
三、连续时间信号的重建
则连续低通滤波器的输出信号为
f (t ) f s (t ) h(t )
信号与系统
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原连
续信号 f (t) 。
信号与系统
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即
f (t ) F ( )
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t )
其中， s
2 为抽样角频率，T 为抽样间隔 ， s Ts 所以抽样信号的频谱为
F ( n )
s

C C
s m c m ，则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ，则 Ts s c 2

1 1 Fs ( ) F ( ) T ( ) 2π Ts
n
F ( n )
s

信号与系统
一、信号抽样
f (t )
o
p (t )
(1)
频谱图：
1
F ( )
t
mo m

P( )
E t

(s )
o
o TS
f s (t )
s
s

1 / Ts
说明：
n


f (nTs ) (t nTs ) Ts
C Sa(C t )
n


f (nTs ) Sa C (t nTs )
（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值； （2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 f (nTs ) 的Sa函数波 形，那么其合成信号就是原连续信号； 结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。
谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种 现象称为频率混叠现象。
信号与系统
二、时域抽样定理
f (t ) F ( )
0
t f s (t )
(a) 连续信号的频谱
m
0
m
Fs ( )

0Ts
t
s
m
0
m
s
f s (t )
(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱

Fs ( )
解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
周期 信号
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量 化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、 处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原 连续信号。
需要解决两个问题：
1.
抽样信号 fs (t)的频谱Fs(ω)与原连续信号 f (t)的频谱
F(ω)的关系；
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
假设连续频谱函数为F(ω) ，抽样频谱函数为FS(ω) ,即在频域抽样有
Fs ( )
n
F ( ) ( n ) F (n ) ( n )
s n s s


假设 FS(ω) 对应的时间信号为 fs (t) ，则有
n
Pe
n

j n s t
P( ) 2
n
P ( n )
n s

1 为抽样频率， 频谱是原连续信号的频 谱以抽样角频率为间隔 Ts 周期地延拓，频谱幅度 受抽样脉冲序列的傅立 1 f s (t ) f (t ) p(t ) Fs ( ) F ( ) P( ) 叶系数加权。 fs

t
Fs ( )

o
TS
s
o m s

信号与系统
一、信号抽样
(2) 周期矩形脉冲抽样 若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称 为自然抽样
p(t )
n

G (t nTs )
f s (t ) f (t ) p(t )
周期矩形脉冲的傅立叶系数为 Pn 则抽样信号的频谱为
m
s

C h (t ) Ts C Sa (C t ) Ts
c
H
Ts
0
t
0
F
f t
c

0
t
0
m

信号与系统
三、连续时间信号的重建
因为
Ts 所以，选理想低通滤波器的频率特性为 H ( ) 0
1 Fs ( ) Ts
n