激光基横模TEM00高斯光束的振幅分布模拟

激光基横模TEM00高斯光束的振幅分布模拟
1、激光基横模TEM00高斯光束原理
激光器作为光源与普通光源的主要区别之一是激光器有一个谐振腔。

谐振腔的主要主用有：倍增激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度；提高了光源发光的方向性；由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，改变了输出激光的光束结构及其传输特性。

光学谐振腔是由相隔一定距离的两块反射镜组成的（一块全反射镜，一块部分反射镜）。

谐振腔靠两端的反射竟来实现光束在腔内的往返传播，对于光波没有任何其他限制，由于反射镜大小有限，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应。

腔内的光束每经过一次反射镜的作用，就使光束的一部分不能再次被反射回腔内。

因而，反射回来的光束的强度要减弱，同时光强分布也将发生变化。

当反射次数足够多时（大约三百多次反射）,光束的横向场分布便趋于稳定，不在受衍射的影响。

场分布腔内往返传播一次后能够再现出来。

反射只改变强度的大小，而不改变光的强度分布。

这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后，当两镜面完全相同时（对称开腔），这种稳态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现再现，这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。

通常叫作横模。

（1）自再现模（横模）积分方程
由陈家壁、彭润玲主编《激光原理及应用》第二版一书得
自再现模所足的积分方程为
σmn μmn （x ，y ）=∫∫K （x,y,x ˊ,y ˊ）μmn (x ˊ,y ˊ)ds ˊ 式中K （x,y, x ˊ,y ˊ）=L ik π2e )y',x',,(y x ik ρ- =L
i λe )y',x',,(y x ik ρ- σmn 与μmn 的下标表示该方程存在一系的不连续的本征函数解与本征值解。

积分方程的本征函数解μmn 一般为复函数，它的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布。

本征函数解μmn 表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做横模。

m=0，n=0时所对应的横模称为基横模，即TEM 00高斯光束。

基横模TEM 00
高斯光束行波输出在与光束前进方向的垂直平面上的强度呈高斯型分布。

同时基横模的输出是相对均匀的，而且它的强度中心沿直线传播，其传播方向很好，发散角很小。

（2） 方形镜面共焦腔镜面上的场分布
设方镜每边长为2a ，共焦腔的腔长为L ，光波波长为λ ，并把x ，y 坐
标轴的原点选在镜面中心，以（x ，y ）来表示镜面上的任意一点，则
在L ，R ＞＞a ＞＞λ及L a λ　2＜＜（a
L ）2的近轴情况下，自再现模（横模）积分方程的本征函数近似解析解μmn ≈C mn H m (X)
H n (Y)e-2
22Y X +决定了镜面上的光分布，式中m=0，1，2，…；n=0，1，2，…; C mn 为一个和m ，n 有关的常数；X=x L λπ2，Y=y L
λπ2，H m (X)
和H n (Y)均为厄米多相式，其表示式为H 0(X)=1，H 1(X)=2X ，H 2(X)=4X 2-2,…,H m (X)=(-1)m e X m
m dX d e-2X 若令F m (X)= H m (X)e-22X ，F n (Y)= H n (Y)e-22Y ，
则镜面上的光场振幅分布为μmn ≈C mn F m (X) F n (Y)
（3） 共焦腔中的场分布
由陈家壁、彭润玲主编《激光原理及应用》第二版一书得共焦腔腔内场的空间分布为
μmn （x ，y ，z ）=C mn H m （x s 2212ωζ+）H n （y s
2212ωζ+）× exp （-2s
22212ωζy x ++）exp[﹣i φ(x,y,z)] 其中μmn （x ，y ，z ）是空间任意P （x,y,z ）点的场函数，φ(x,y,z)为相位因子，ζ为无纲量ζ=2z/L 。

2、激光基横模TEM 00高斯光束的振幅分布模拟过程及结果
通过上面的理论阐述及由陈家壁、彭润玲主编《激光原理及应用》第二版一书中提供的计算方法得基横模TEM 00高斯光束的场振幅U 00分布为
U 00
= exp （-2s 22212ωζy x ++） 其中ζ=2z/L ，ωs =π
λL ，式中忽略了常量因子C mn 。

（1） 当z=0时即在谐振腔中心平面时
U
00= exp（-
L
λ
π
2（x2　+y2））
（2）当z=±L/2时即在共焦谐振腔镜面上时
U
00= exp（-
L
λ
π（x2　+y2））
（3）当z为谐振腔内任意一点时
U
00= exp（-
2
2
2
2
4
L
2
z
y
x
L
+
+
λ
π）
方形镜面的对称共焦腔镜面上基横模TEM
00
镜面场分布满足以下函数关系式
若令F
0(X)= H
(X)e-22X，F
(Y)= H
(Y)e-22Y，
则镜面上的光场振幅分布为μ
00≈C
00
F
(X) F
(Y)= C
00
e-
22
2Y X+
若令常数C
00为1则μ
00
=e-
2
2
2Y
X+
下面用Matlab计算软件模拟基横模TEM
00
高斯光束的振幅分布。

Matlab模拟程序：x=linspace(-10,10,1000);
y=linspace(-10,10,1000);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
u00=exp(-(X.^2+Y.^2)./2);
mesh(X,Y,u00);
Matlab模拟图形：
现以一方形镜对称共焦腔腔长L=0.4m；λ=632.8nm光波的He-Ne激
高斯光光器为例用Matlab计算软件模拟激光谐振腔内基横模TEM
00
束的振幅分布。

（1）在谐振腔中心平面上任意一点即z=0时的光振幅分布函数为（x,y）
U
00
U
= exp（-2.4823*107*(x2+y2)）
00
Matlab模拟程序：x=linspace(-0.01,0.01,1000);
y=linspace(-0.01,0.01,1000);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
u00=exp(-2.4823*10^7*(X.^2+Y.^2));
mesh(X,Y,u00);
Matlab 模拟图形结果：
（2）在谐振腔镜面任意一点即z=±2
L 时的光振幅分布函数为 U 00（x,y ）
U 00= exp （-1.2411*107*(x 2+y 2)） Matlab 模拟程序：
x=linspace(-0.01,0.01,1000);
y=linspace(-0.01,0.01,1000);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
u00=exp(-1.2411*10^7*(X.^2+Y.^2));
mesh(X,Y,u00);
Matlab模拟图形结果：
3、激光基横模TEM00高斯光束的振幅分布模拟结果分析
通过以上的理论分析及模拟计算结果可以看出：由于激光器有一个谐振腔，光束在谐振腔两端的反射镜往返传播，谐振腔对于光波没有任何其他限制，由于反射镜大小有限，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应。

腔内的光束每经过一次反射镜的作用，就使光束的一部分不能再次被反射回腔内。

因而，反射回来的光束的强度要减弱，同时光强分布也将发生变化。

当反射次数足够多时（大约三百多次反射）,光束的横向场分布便趋于稳定，不在受衍射的影响。

场分布腔内往返传播一次后能够再现出来。

反射只改变强度的大小，而不改变光的强度分布。

激光基横模TEM
行波输出在
00
与光束前进方向的垂直平面上的振幅分布呈高斯型分布，光场振幅在光束中心处值最大，光能十分集中，沿直线传播，发散角很小。

在沿光束前进方向的垂直平面上的x 轴和y 轴方向上振幅下降的很快，从所举的例子的模拟图上可以看出在这两个方向几乎在0.005个单位内下降为0.而在谐振腔外的光场振幅分布就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面部分，实际就是行波函数乘以镜面的透射率t ，即 U 00= t*exp （-2s
22212ωζy x ++） 其中ζ=2z/L ，ωs =
πλL ，式中忽略了常量因子C mn 。