求磁感应强度B.
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I 2 /
磁场中环 旋转形成 电流，
对环 的一 个微 元分 析力
磁力
安培力
合力维持匀速旋转
张力
微元在磁场B中受力
微元所受附加张力T 合力
Q I 2 /
Q dFm IdlB Rd B 2 d dFT 2T sin Td 2
(dm)v 2 m d 2 dFO R R 2
Ze
2 2
4 0 r
erB m r
2
0 , 0
2 2 0 20
m0 erB m0 r eB e
2
洛伦兹力远小 于库仑力，高 阶无穷小，略
Ze2 2 e rB e rB m 0 0 r 2m0 r 2 4 0 r
X
dBx dBsin , dBz dB cos sin
注意各个量的 表示
例二：证明当一对电流元对一平面成镜象对 称时，它们在对称面上产生的合磁感应强度 必沿平面的法线方向。
dl 2 dxi dyj
A2 P (a, b, c) r2
电荷是否是严格的线分布？
否！ 如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个 相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力(张 力)必然发散。 实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体 分布。所以张力为有限值 所谓线分布或点分布都是理想模型
例六
设电子质量为m，带负电荷e，以角速度 绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁 场B,其方向垂直于电子轨道平面，设电子 轨道半径不因加上磁场而改变，试证明电 子角速度的改变量近似等于
r
3 a 2
解题的要点是抓住B的矢量性，空间角度 先求一根导线在P点的B，分析三根导线产生的B 的关系，然后投影、叠加
0 I 0 I 1 [cos 1 cos( 1 )] cos 1 cos 1 cos 3 2 4r 2r
B AB
B AB
0 I BBC BCA B1 2 3a
eB 2m
即讨论：外磁场对电子轨道运动的影响
无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度0满足
Ze
2 2
4 0 r
2 m 0 r
1 Ze 2 2 0 ( ) 4 0 m r3
加外磁场B，设电子角速度平行于外磁场，电子受
库仑力、洛仑兹力（与库仑力同向），假设轨道的半 径不变（相当于定态假设），设洛仑兹力远小于库仑 力有
第二章 讨论课
求磁感应强度B 关于磁力的讨论 综合讨论
求磁感应强度B
例一：一无穷长载流直导线， 在某处弯成一个半径为R的半 形，通以电流，求垂直于O点 的直线上一点P(OP=x)的磁感 应强度 解：分三段取微元算
半圆 两半无限长
0 Idl r dB 4 r 3
2cdyi
dxi (r1 r2 ) dyj (r1 r2 ) 2 a i 2bj 2ck
2cdyi
例三：如图电流 I流过边长为a的等 边三角形导线，求电流在此三角形 为底的正四面体的顶点处 P 的磁感 应强度B的大小和方向
RQB m 2 R dFO dFT dFm (T )d d 2 2 m m R dm Rd d T (QB m ) 2R 2 2
讨论：
线圈受到安培力属于什么性质的力？ 这里的电荷是否是严格的线分布？
线圈受到的安培力为扩张力
问题：
可否先求出闭合圆环轴线上的场
dBx dBsin , dBz dB cos
?
再取其二分之一？ 对半圆取微元求dB，如此投影？
结论：
用整个圆环后取1/2， 只求了 x轴分量，丢 掉了 z分量
如此投影没有考虑dB矢量性 dBx dBsin , dB dB cos z 正确的做法
都是扩 张力
无外场情况下载流线圈受力
扩张力——使线圈变形
如果扩张力大——线圈断裂 例：超导线圈，零电阻，允许大电
1 ~ 103 A 流通过，所以出现线圈损伤的原因
不是“烧坏”的，而是撑坏的—— 扩张力的后果 ~ 105 A 等离子体磁约束，外加磁场靠大电 流提供，需要考虑装置的承受力
结论：线圈自身安培力使圈内磁场区得以扩大
三者方向
OD 1 cos PD 3
B
3
||
0
BP B 3B 3B1 cos
1
0 I 1 0 I 3 0 I BP 3 6a 2 3a 3 2 3a
方向向上同 B
例四：如图取直角坐标系 xyz 在-d x d的一层无穷区域内有均匀 的传导电流，电流密度的方向为 z 轴 的正方向，大小恒定为 j。试求区域 内外各处的磁感应强度B 的分布。 板。磁感应强度只有y轴分量
L
2 结论： B’与距离无关
2lB 0 jl
B
0
j
叠加结果：中垂面上B=0
作高斯面如图
0 B j 2
xd
B dl
L
0
Leabharlann Baidujxl
B 0 jx
xd
B dl
L
0
jdl
B 0 jd
例五：如图 (a) 所示，半径为 R 、质量为 m 的匀 质细圆环均匀带电，总电量为 Q(Q ＞ o) ，放在 光滑的水平面上．环内外有垂直环面向上的均 匀磁场B．若将圆环以角速度绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形 成的附加张力。 Q
结果等同于
B dl 0 I
L
原来证明螺线管外部B=0?如何理解？
2 － 8 问证明无限长螺线管 外部磁场为零点成立条件 是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线 管轴线平面内磁场分量为零，没有涉及垂直 于该平面的分量，而要求此分量为零则要求 电流动轴向分量为零，比密绕要求高，即忽 略电流步进。 进一步讨论
先将平板分割成无限大载流平面 讨论一块无限大载流平面产生磁场B’的对称性 讨论该区域电流产生磁场的对称性 利用安培环路定理算出
可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平
切一薄片沿Z轴分割成成对 长直导线，叠加结果的dB 必平行或反平行于 y轴； 或者从轴矢量角度分析
对一块板作安培环路 B dl 0 jl
A1 P ( a, b, c) r1
dl1 dxi dyj
BP (dxi dyj ) r1 (dxi dyj ) r2
dBP dl1 r1 dl2 r2
i dx a j k i j k dy 0 dx dy 0 b c a b c
eB 2m
考虑电子角速度反平行于外磁场，有同
样结论，的方向总是与外磁场B相同
电子角速度改变将引起电子磁矩改变
总是与外 磁场方向 相反
er 2 e2r 2 m ω B 2 4m
综合讨论
如何理解密绕无限长螺 线管外部B=0？ 讨 论 书 上 p141 思 考 题 2 －7：利用圆形线圈轴线 上磁场公式算出 2 2R I 0 B dl Bdz 4 ( R 2 Z 2 )3 2 dz 0 I
磁场中环 旋转形成 电流，
对环 的一 个微 元分 析力
磁力
安培力
合力维持匀速旋转
张力
微元在磁场B中受力
微元所受附加张力T 合力
Q I 2 /
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洛伦兹力远小 于库仑力，高 阶无穷小，略
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X
dBx dBsin , dBz dB cos sin
注意各个量的 表示
例二：证明当一对电流元对一平面成镜象对 称时，它们在对称面上产生的合磁感应强度 必沿平面的法线方向。
dl 2 dxi dyj
A2 P (a, b, c) r2
电荷是否是严格的线分布？
否！ 如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个 相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力(张 力)必然发散。 实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体 分布。所以张力为有限值 所谓线分布或点分布都是理想模型
例六
设电子质量为m，带负电荷e，以角速度 绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁 场B,其方向垂直于电子轨道平面，设电子 轨道半径不因加上磁场而改变，试证明电 子角速度的改变量近似等于
r
3 a 2
解题的要点是抓住B的矢量性，空间角度 先求一根导线在P点的B，分析三根导线产生的B 的关系，然后投影、叠加
0 I 0 I 1 [cos 1 cos( 1 )] cos 1 cos 1 cos 3 2 4r 2r
B AB
B AB
0 I BBC BCA B1 2 3a
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即讨论：外磁场对电子轨道运动的影响
无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度0满足
Ze
2 2
4 0 r
2 m 0 r
1 Ze 2 2 0 ( ) 4 0 m r3
加外磁场B，设电子角速度平行于外磁场，电子受
库仑力、洛仑兹力（与库仑力同向），假设轨道的半 径不变（相当于定态假设），设洛仑兹力远小于库仑 力有
第二章 讨论课
求磁感应强度B 关于磁力的讨论 综合讨论
求磁感应强度B
例一：一无穷长载流直导线， 在某处弯成一个半径为R的半 形，通以电流，求垂直于O点 的直线上一点P(OP=x)的磁感 应强度 解：分三段取微元算
半圆 两半无限长
0 Idl r dB 4 r 3
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例三：如图电流 I流过边长为a的等 边三角形导线，求电流在此三角形 为底的正四面体的顶点处 P 的磁感 应强度B的大小和方向
RQB m 2 R dFO dFT dFm (T )d d 2 2 m m R dm Rd d T (QB m ) 2R 2 2
讨论：
线圈受到安培力属于什么性质的力？ 这里的电荷是否是严格的线分布？
线圈受到的安培力为扩张力
问题：
可否先求出闭合圆环轴线上的场
dBx dBsin , dBz dB cos
?
再取其二分之一？ 对半圆取微元求dB，如此投影？
结论：
用整个圆环后取1/2， 只求了 x轴分量，丢 掉了 z分量
如此投影没有考虑dB矢量性 dBx dBsin , dB dB cos z 正确的做法
都是扩 张力
无外场情况下载流线圈受力
扩张力——使线圈变形
如果扩张力大——线圈断裂 例：超导线圈，零电阻，允许大电
1 ~ 103 A 流通过，所以出现线圈损伤的原因
不是“烧坏”的，而是撑坏的—— 扩张力的后果 ~ 105 A 等离子体磁约束，外加磁场靠大电 流提供，需要考虑装置的承受力
结论：线圈自身安培力使圈内磁场区得以扩大
三者方向
OD 1 cos PD 3
B
3
||
0
BP B 3B 3B1 cos
1
0 I 1 0 I 3 0 I BP 3 6a 2 3a 3 2 3a
方向向上同 B
例四：如图取直角坐标系 xyz 在-d x d的一层无穷区域内有均匀 的传导电流，电流密度的方向为 z 轴 的正方向，大小恒定为 j。试求区域 内外各处的磁感应强度B 的分布。 板。磁感应强度只有y轴分量
L
2 结论： B’与距离无关
2lB 0 jl
B
0
j
叠加结果：中垂面上B=0
作高斯面如图
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L
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例五：如图 (a) 所示，半径为 R 、质量为 m 的匀 质细圆环均匀带电，总电量为 Q(Q ＞ o) ，放在 光滑的水平面上．环内外有垂直环面向上的均 匀磁场B．若将圆环以角速度绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形 成的附加张力。 Q
结果等同于
B dl 0 I
L
原来证明螺线管外部B=0?如何理解？
2 － 8 问证明无限长螺线管 外部磁场为零点成立条件 是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线 管轴线平面内磁场分量为零，没有涉及垂直 于该平面的分量，而要求此分量为零则要求 电流动轴向分量为零，比密绕要求高，即忽 略电流步进。 进一步讨论
先将平板分割成无限大载流平面 讨论一块无限大载流平面产生磁场B’的对称性 讨论该区域电流产生磁场的对称性 利用安培环路定理算出
可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平
切一薄片沿Z轴分割成成对 长直导线，叠加结果的dB 必平行或反平行于 y轴； 或者从轴矢量角度分析
对一块板作安培环路 B dl 0 jl
A1 P ( a, b, c) r1
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BP (dxi dyj ) r1 (dxi dyj ) r2
dBP dl1 r1 dl2 r2
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eB 2m
考虑电子角速度反平行于外磁场，有同
样结论，的方向总是与外磁场B相同
电子角速度改变将引起电子磁矩改变
总是与外 磁场方向 相反
er 2 e2r 2 m ω B 2 4m
综合讨论
如何理解密绕无限长螺 线管外部B=0？ 讨 论 书 上 p141 思 考 题 2 －7：利用圆形线圈轴线 上磁场公式算出 2 2R I 0 B dl Bdz 4 ( R 2 Z 2 )3 2 dz 0 I