第八章 假设检验

思考1
假如这位女士只说对了 3 杯 ？
一个人纯粹靠随机的猜测，能够说对至少 3 杯的概率 ( 即 H0 成立的情况下，出现这种试 验结果的可能性 ) ： 3C 1 1+ C 17 4 4 ———— = — ≈0.243 4 C8 70
显然我们不会对一个概率接近 25% 的随机 事件在一次试验中发生而感到惊讶。 试验结果并没有提供不利于H0 的显著性证据， 因此不能否定零假设 ，而应该接受H0 ，即应该 认为这位女士没有鉴别能力 。
(II).左侧检验 H0 : 0 (或 0 ); H1 : 0 检验统计量： T X 0
S/ n
拒绝域：
W {T t (n 1) t (n 1)}

P187 例3
二. 单个正态总体方差的假设检验 设 X1 , X 2 ,, X n 为来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本， 2 和 且 均未知
注：
一般来说，零假设总是“受到保护的假设”
没有充分的证据是不能拒绝零假设的。 因此，在实际的检验问题中，检验者总是把自己 的倾向性观点作为零假设、再辅助以一个比较低的 检验水平，从而使得没有充分的证据就不能否定它。
2. 选取一个合适的检验统计量 它的分布当零假设成立时应该是已知的，而且一 般是从待检验的总体参数的良好点估计去寻找。 在这个例题中需要检验的是总体期望 ， 因此考虑样本均值，
而如果 | X 500|比较大时，自然我们会 认为零假设不成立，所以应该接受对立假设。 所以零假设 ( = 500 ) 的拒绝域的形式就是 ：
| X 500| 统计量| Z | = ＞ 某个常数 z0 2/ 3
根据检验统计量的分布， 有：
| X 10 | P{ z0 } 2/ 9
X 0 ~ t ( n 1) S/ n
( n 1)} 拒绝域： W {| T | t 2 (2) 单侧检验 (I).右侧检验 H0 : 0 (或 0 ); H1 : 0
检验统计量:
T
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X 0 S/ n
拒绝域 :
W {T t (n 1)}
2
1 n1 1 n2 X Xi , Y Yi , n1 i 1 n2 i 1 n1 n2 1 1 2 2 2 S12 ( X X ) , S ( Y Y ) , i 2 i n1 1 i 1 n2 1 i 1
三. 假设检验的基本过程
通过下面一个简单的例题来说明 例8.1.4. 某化学日用品公司用包装机包装洗衣粉。包装 机正常工作时,装包量 X ~ N (500,4 ) ,单位 克,每天开工 后,需先检验包装机工作是否正常.某天,在装好的洗衣粉 中随机抽取9袋,其重量如下: 505, 499, 502, 506, 498, 498, 497, 510, 503 假设总体标准差 不变,即 2 ,问这天包装机工作是否 正常？
22 X ~ N ( , ) n
零假设成立时 ( = 500 ) ，则有：
X 500 Z ~ N (0,1) 2/ 9
3. 利用零假设成立时检验统计量的分布构造出一个 小概率事件 这个小概率就是给定的显著性水平，而这个小 概率事件就是零假设的拒绝域，并且拒绝域必须和 对立假设有关：零假设的拒绝域相当于对立假设的 接受域 。 在这个例题里，由于样本均值是总体期望 的 一个良好的点估计，因此当零假设成立 ( = 500 ) 时，偏差| X 500| 应该比较小，不能太大。
X 0 检验统计量: U / n
拒绝域：
W {U u u1 }

P185 例1 P186 例2
2.方差 2 未知时,总体均值 的假设检验 (1)双侧检验(t检验法) H0 : 0 ; H1 : 0 检验统计量(在 H 0 下)：T
核心原则：小概率事件在一次试验中不应该发生
二. 假设检验的想法
1. Fisher 显著性检验的思想(女士品茶试验) 有一种饮料由 Tea 和 Milk 混合而成，按照 顺序的不同分为TM、MT 两种，有位女士声称， 她有能力品尝出是 TM 还是MT 。 为了检验她的说法是否可信，准备了8 杯饮料，
X 0 U ~ N (0,1) / n
W {| U | u / 2 }
(2) 单侧检验 (I).右侧检验 H0 : 0 (或 0 ); H1 : 0
X 0 检验统计量: U / n
W {U u } 拒绝域： (II).左侧检验 H0 : 0 (或 0 ); H1 : 0
现在她正确的说出了全部的 TM ，要解释 这种现象，只能有下面两种可能：
(1) H0 不成立，即：她的确有鉴别能力； (2) H0 成立，意味着一件概率为 0.014 的随机
事件在一次试验中发生了。
一个概率不到 2% 的随机事件在一次试验中 发生了，这是比较稀奇，或者说不太可能的。 Fisher 认为，随机试验的结果(或样本) 构成一个 不利于假设 H0 的显著性证据，因此应该否定H0 。 这种推理过程就称为：显著性检验 显著性是统计意义上的显著，意思是一个小概率 事件是否发生。 统计显著不一定意味着实际显著。
若 0.05,则u / 2 u0.025 1.96 ，因为3 ＞1.96，所以我 们拒绝原假设 = 500，即认为这天包装机工作不正常。
几个概念： 1.显著性水平 ：显著性水平规定了当原假设正 确时，样本结果不可能出现的概率值。 2.拒绝域W：拒绝原假设 H 0 成立的区域. 3.接受域： W R W 4.临界值(点):拒绝域的边界值.
(2) 单侧检验 右侧检验: H0 : 0 ; H1 : 0 ( n 1) S 2 检验统计量: 2
0
拒绝域：
( n 1) S 2 2 W ( n 1) 2 0
左侧检验 H0 : 0 (或 0 ); H1 : 0 检验统计量: (n 1) S 2

基本思想是“概率反证法”思想，即：
定它是成立的，然后看接受这个假设之后，是否会 导致不合理结果。如果结果是合理的，就接受它； 如不合理，则否定原假设。
(1)为了检验一个零假设(即虚拟假设)是否成立， 先假
(2)所谓导致不合理结果，就是看是否在一次观察中，
出现小概率事件。通常把出现小概率事件的概率记 为 ，即显著性水平。 它是密度曲线两端或一端所 围的面积。
四. 检验类型
单侧(边)检验与双侧(边)检验；一个总体与两 总体检验；均值与方差检验。 形如 H0 : 0 ; H1 : 0 的假设检验称为 双侧检验. 形如 H0 : 0 ; H1 : 0 或 H0 : 0 ; H1 : 0 的假设检验称为右侧检验. 形如 H0 : 0 ; H1 : 0 或 H0 : 0 ; H1 : 0 的假设检验称为左侧检验.左侧检验与右侧检 验统称为单侧检验。


例8.1.2 A,B两厂生产同一种铸件，假设两厂 铸件的重量都服从正态分布,测得重量(单 位:kg)如下： A厂 55.7 56.3 55.1 54.8 55.9 B厂 50.6 53.4 54.7 51.3 55.8 54.8 问A,B两厂铸件重量的方差是否相等 例8.1.3 随机抽查了100个铸件,其表面的砂眼 数如下：
TM 和MT 各一半(并且把这点告诉她)，随机地让这位
女士品尝，指出哪些是 TM ， 最终的结果是她全部说对了。
Fisher 的推理过程如下： 引进一个假设， H0 ：这位女士没有鉴别能力 如果 H0 是正确的，她只能随机的从 8 杯饮料中
猜测 4 杯说是 TM 。全部猜对的概率为： 1 = — 1 ≈0.014 — C84 70
2 0
拒绝域:
( n 1) S 2 2 W 1 ( n 1) 2 0

P189 例6
第三节 两个正态总体的假设检验
X1 , X 2 , , X n1 和 Y1 , Y2 , , Yn 设X，Y是两个总体， 是分别来自X及Y的两个互相独立的样本，以下，记

5. 假设检验的基本步骤 1) 根据实际问题提出原假设 H 0 与备择假设 2) 选取适当的检验统计量,并在 H 0 成立的条件 下确定统计量的分布 3) 选取显著性水平 ,并根据统计量的分布查 表确定临界值 4) 根据样本观察值计算统计量的值,并将其与临 界值作比较 5) 下结论:若检验统计量的值落入拒绝域,就拒 绝 H 0 ,否则,不拒绝 H 0 .
这个常数 z0 就可以取为 u / 2
4. 代入样本观察值，如果使得这个小概率事件发生，
则否定零假设而接受对立假设。 否则，说明样本没有提供否定零假设的显著证据， 因此应该接受零假设。
| 502 500| 在这个例题里，检验统计量 | z | = =3， 2/ 9 统计假设
H0 ： = 0 ( = 500 ) H1 ： ≠ 0 (≠ 500 ) 的显著水平 的拒绝域就是 {| Z | u / 2 } 。
砂眼数
频数
0
14
1
2
3
4
5
3
6
3
27 26 20 7
试问:铸件的砂眼数是否服从泊松分布？
假设检验(Test of Hypothesis)是指： 对于一个统计模型，我们提出一个假设，根据 抽取到的样本来作出是接受还是拒绝这个假设。
假设检验主要包括：对于总体未知参数的
检验、对总体分布的检验、独立性的检验等。
(1) 双侧检验 H0 : 0 ; H1 : 0
(n 1) S 2
2 0
检验统计量(在 H 0 下)：
~ 2 (n 1)
拒绝域：
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 2 W ( n 1),或 ( n 1) 2 2 1 0 2 2 0
五. 两类错误 1. 当原假设 H 0 实际上为真时,检验结果 有可能拒绝 H 0 ,称这种“弃真”的错误为第 一类错误. 显著水平 规定了第I类错误的概 率 即, 当H0事实上正确时，拒绝H0的概率。 P{拒绝 H 0 | H 0 为真} 2.当 H 0实际上不真时,检验结果有可能接受 H 0 , 称这种“纳伪”的错误为第II类错误.犯第二 错误的概率记为 ,即 P{接受 H 0 | H 0 不真}=
1. 提出一个统计假设
根据题意每袋洗衣粉重量 X ~ N (,22 ) ，
如果机器正常工作均值为500克，应该是 = 500 ，反之，应该是 ≠ 500 。 因此首先提出统计假设： H0 ： = 0 ( = 500 ) H1 ： ≠ 0 (≠ 500 ) 假设检验的任务就是要根据抽取出的样本，来决定 是接受零假设，还是拒绝零假设 ( 接受对立假设 ) 。
第八章 假设检验


重点：正态总体的参数假设检验与拒绝 域 难点：对假设检验基本思想的理解
第一节 基本概念
一. 问题的提出 例8.1.1 某车间用一台包装机包装食盐,设包 得的袋装盐重服从正态分布.长期实践表明， 其标准差为10g,当机器正常工作时,其均值为 500g.为检验某天包装机是否正常,从该天所包 装的盐中任取16袋,称得其样本平均值为510g, 试问:该天及其工作是否正常？
决策 拒绝 H 0 接受 H 0
总体的实际状态
H 0 为真 H 0 不真
第I类错误 正确决策
正确决策 第II类错误
第二节 单个正态总体的假设检验
一. 总体均值的假设检验 1. 方差 2 已知时,总体均值 的假设检验 (1) 双侧检验
H0 : 0 ; H1 : 0
检验统计量(在原假设成立下)： 拒绝域：