立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法
二面角的类型和求法可用框图展现如下：
一、定义法：
直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

j
A B
C
D
P
H
P
O
B
A
二、三垂线定理法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
O
例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC
—B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小
例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈
α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已
知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.
B 1
A
α
A 1 L
E F
三、垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3
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2，求二面角βα--l 的大小.
四、射影法：（面积法）
利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面
P
β
α
l
C
B
A
例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。