流体力学第二章

第二章习题简答
2-1 题2-1图示中的A 、B 点的相对压强各为多少？(单位分别用N/m 2和mH 2O 表示)
题2-1图
解：
()O
mH Pa gh P O mH Pa gh P B B A A 2232940038.910005.0490035.38.91000==⨯⨯==-=-=-⨯⨯==ρρ
2-2 已知题2-2图中z = 1m ， h = 2m ，试求A 点的相对压强。

解：取等压面1-1，则
Pa
gh gz P gh
gz P A A 3108.9)21(8.91000⨯-=-⨯⨯=-=-=-ρρρρ
2-3 已知水箱真空表M 的读数为0.98kPa ，水箱与油箱的液面差H =1.5m ，水银柱差
m 2.02=h ，3
m /kg 800=油ρ，求1h 为多少米？
解：取等压面1-1，则
()()()()()m
g
h H g P gh h gh gh P h h H g P P Hg Hg a a 6.58.980010002.05.198009802.01332802212
121=⨯-+⨯-+⨯=
-+-+=
++=+++-油油ρρρρρρρ
2-4 为了精确测定密度为ρ的液体中A 、B 两点的微小压差，特设计图示微压计。

测定时的各液面差如图示。

试求ρ与ρ'的关系及同一高程上A 、B 两点的压差。

解：如图取等压面1-1，则
()a b g gb -=ρρ' （对于a 段空气产生的压力忽略不计）得
()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-=b a b
a b 1'ρρρ
取等压面2-2，则
gH
b
a
gH gH p p p gH
p gH p B A B A ρρρρρ=-=-=∆-=-''
2-5 图示密闭容器，压力表的示值为4900N/m 2，压力表中心比A 点高0.4m ，A 点在水面下1.5m,求水面压强。

解：
Pa
gH gh P P gh
P gH P 5880)5.14.0(9800490000-=-⨯+=-+=+=+ρρρρ
2-6 图为倾斜水管上测定压差的装置，已知cm 20=z ，压差计液面之差cm 12=h ，
求当（1）3
1kg/m 920=ρ的油时;（2）1ρ为空气时;A 、B 两点的压差分别为多少？
解：（1）取等压面1-1
O
mH Pa gh
gZ gh P P gh gZ P gh P A B B A 21119.092.1865)12.02.0(980012.08.9920==-⨯+⨯⨯=-+=---=-ρρρρρρ
（2）同题（1）可得
O
mH Pa gh
gZ P P gZ P gh P A B B A 208.0784)12.02.0(9800==-⨯=-=--=-ρρρρ
2-7 已知倾斜微压计的倾角︒=30α，测得0.5m =l ，容器中液面至测压管口高度m 1.0=h ,求压力p 。

解： ︒=+30sin gl gh P ρρ
Pa gh gl P 1470)1.030sin 5.0(980030sin =-︒⨯=-︒=ρρ
2-8 如图所示，U 型管压差计水银面高度差为cm h 15=。

求充满水的A 、B 两容器内
的压强差。

解：取等压面1-1
Pa
gh
gh P P gh P gh P Hg B A Hg B A 1582215.0)9800133280(=⨯-=-=-+=+ρρρρ
2-9 一洒水车以等加速度2
/98.0s m a =在平地上行驶，水车静止时，B 点位置m x 5.11=，m h 1=，求运动后该点的静水压强。

解：由自由液面方程可得
()m z h h m
x g a z 15.115.01'15.05.18
.998.0=+=+==-⨯-=-
= 故B 点的静水压强为1.15mH 2O
2-10 正方形底2
2.02.0m b b ⨯=⨯、自重N G 40=的容器装水高度m h 15.0=，容器在重物N Q 250=的牵引力下沿水平方向匀加速运动，设容器底与桌面间的固体摩擦系数
3.0=f ，滑轮摩擦忽略不计，为使水不外溢试求容器应有的高度
H 。

解:对系统进行受力分析，可得
()2
2/19.68.98
.982508.983.0250)(8.9815.02.010008.940s m M Q g
M f Q a a
g
M Q M f Q N gv G M g
g g
g g =⨯+⨯-=
+⋅⋅-=
⋅+=⋅-=⨯⨯⨯+=+=ρ
选坐标系0xyz,O 点置于静止时液面的中心点，Oz 轴向上，由式
)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ
质量力X=-a,Y=0,Z=-g 代入上式积分，得
C gz ax p +--=)(ρ
由边界条件，x=0,z=0,p=p a , 得c= p a 则
)(gz ax p p a --+=ρ
令p=p a , 得自由液面方程x g a z -
= 使水不溢出，x =-0.1m , m x g a z 063.0)1.0(8
.919
.6=-⨯-
=-= 所以容器的高度H=h+z=0.15+0.063=0.213m
2-11 油槽车的圆柱直径m d 2.1=，最大长度m l 5=，油面高度m b 1=，油的比重为9.0。

（1）当水平加速度2
/2.1s m a =时，求端盖A 、B 所受的轴向压力。

（2）当端盖A 上受力为零时，求水平加速度a 是多少。

解：（1）选坐标系0xyz,O 点置于静止时液面的中心点，Oz 轴向上，由质量力 X=-a,Y=0,Z=-g 可得
C gz ax p +--=)(ρ
O 点处X=Y=0, 得C=0 则
)(gz ax p --=ρ
()()N
S p P Pa gb L a
gz ax p N S p P Pa
b g L a gz ax p B B B A A A 130296.0115201152018.9252.1900)2()(69226.06120612018.9252.19002)(22=⨯⨯=⋅==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⨯⨯=+=--==⨯⨯=⋅==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⨯-⨯-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=πρρπρρ
（2）()02)(=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡---=--=b g L a
gz ax p A ρρ 2/92.35
1
8.922s m L gb a =⨯⨯==
2-12 圆柱形容器的半径cm R 15=，高cm H 50=，盛水深cm h 30=，若容器以等角速度ω绕z 轴旋转，试求ω最大为多少时不致使水从容器中溢出。

解：因旋转抛物体的体积等于同底同高圆柱体体积的一半，因此，当容器旋转使水上升到最高时，旋转抛物体自由液面的顶点距容器顶部
h’= 2(H-h)= 40cm
等角速度旋转直立容器中液体压强的分布规律为
0222p gz r p +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ωρ
对于液面，p=p 0 , 则g
r z 22
2ω=，可得出22r gz =ω
将z=h ’,r=R 代入上式得s R gh /671.1815.04
.08.92'
22
2
=⨯⨯==ω
2-13 装满油的圆柱形容器，直径cm D 80=，油的密度3
/801m kg =ρ，顶盖中心点装有真空表，表的读数为Pa 4900，试求：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小和
方向；（2）容器以等角速度1
20-=s ω旋转时，真空表的读数值不变，作用于顶盖上总压力
的大小和方向。

解：（1）N A p P 24628.04
49002=⨯⨯
=⋅=π
方向竖直向下
（2）如图建立直角坐标系，根据C gz r p +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=222ωρ 在O 点,r=0,Z=0,p=-4900Pa,代入上式可得，C=-4900Pa
令Z=0得
49002
2
2-=r p ωρ
则 N rdr r rdr p P D
39772)49002
(22
4
.00
2
2=⋅-=⋅=
⎰⎰πωρ
π 方向竖直向上
2-14 顶盖中心开口的圆柱形容器半径为m R 4.0=，高度为m H 7.0=，顶盖重量为N G 50=，装入325.0m V =的水后以匀角速度110-=s ω绕垂直轴转动，试求作用在顶盖螺栓组上的拉力。

题2-14图
解：如图建立坐标系
m R V h h R V 5.04
.025
.02
22=⨯==
⇒=πππ 旋转形成的抛物体的体积应等于容器内没装水部分的体积，则
()()'
2'212222h h H R r h H R h r -=⇒-=ππ 将z=h’，ω=10s -1
, ()'
222h h H R r -=代入自由表面方程为g r z 222ω=可得
()m g h H R g h H R h 571.08
.95
.07.04.01010100'2=-⨯⨯=-=-=
则 ()m h h H R r 335.0571
.02
.04.02'222=⨯⨯=-=
等角速旋转直立容器中液体压强分布规律为0222p gz r p +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ωρ
由于容器的顶盖中心开口，则p 0=0(本题均指相对压强)
将ω=10s -1，r=0.3， z=h’=0.571m ， p 0=0代入上式得
)596.550(22022-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=r p gz r p ρωρ N
G P F N
rdr r
rdr r
rdr p P 55.1315055.18155.181)596.550(22)596.550(24
.0335
.02
4
.0335
.04
.0335
.02
=-=-==-=⋅-=
⋅=
⎰⎰
⎰πρ
πρπ
2-15 直径D=600mm ，高度H=500mm 的圆柱形容器，盛水深至h=0.4m ，剩余部分装以密
度为0.8g/cm3的油，封闭容器上部盖板中心有一小孔，假定容器绕中心轴，等角速度旋转时，容器转轴和分界面的交点下降0.4m ，直至容器底部。

求必须的旋转角速度及盖板、器底的最大、最小压强。

题2-15图
解：如图建立坐标系 根据质量守恒可得
()2
2
2222
036.04.05.05
.026.0)(22
1
)(4m h H H D R H R h H D =-⨯⨯=-⋅=⋅=-ππ 等压面g
r z 22
2ω=
当r=R,z=H,代入上式得
12
5.1603
6.05
.08.922-=⨯⨯==
s r
gz ω 盖板中心的压强最小，P min 上=0 盖板边缘压强最大，02
2max )2
(
p gz r p +-=ωρ上
O mH g gH P p 204.05.08.0=⨯⨯===油油ρ 则
O
mH p gH D p gz r p 22
22
2022max 15.14.0)5.08.92
3.05.16(1000)2
2
()2(=+⨯-⨯⨯=+-⎪
⎭⎫ ⎝⎛=+-=油
上ωρωρ 器底的最小压强也在器底的中心，P min 下=P 油=0.4mH 2O
边缘压强最大，P max 下=P max 上+H=1.15+0.5=1.65 mH 2O
2-16 矩形平板闸门一侧挡水，门高m h 1=，宽m b 8.0=，要求挡水深度1h 超过m 2时，闸门即可自动开启，试求转轴应设的位置y 。

题2-16图
解：先求出作用点
()()()()m
bh h h bh h h A y I y y C C C D 56.118.05.021218.05.0221222
13
1=⨯⨯-⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+
= 要使挡水深度1h 超过m 2时闸门自动开启，转轴应低于闸门上水静压力的作用点。

所以转轴应设的位置为y=h 1-y D =2-1.56=0.44m
2-18蓄水池侧壁装有一直径为D 的圆形闸门，闸门平面与水面夹角为θ，闸门形心C 处水深c h ，闸门可绕通过形心C 的水平轴旋转，证明作用于闸门水压力对轴的力矩与形心水深c h 无关。

A
C D
C
O O
P
125cm
h C
h D
θ
证明：圆心处压强为c gh ρ,闸门所受压力大小为4/2
D gh c πρ,压力中心D 到圆心C 点距离为c c Ay I /, 对圆,64/4D I c π=,4/2
D A π=,θsin /c c h y =,因而所求力矩为
4/2D gh c πρ⨯64/4D π4/(2D π)sin /θc h ⨯,约去c h 后得到一常数.
2-19 金属的矩形平板闸门，门高m h 3=，宽m b 1=，由两根工字钢横梁支撑，挡水面于闸门顶边齐平，如要求两横梁所受的力相等，两横梁的位置21,y y 应为多少。

题2-19图
解：先求出闸门所受的水静压力和作用点
()()
m bh h bh h A y I y y b gh A gh P C C C D x C 2135.112315.12
1222
1
332=⨯⨯⨯+=+=+==
=ρρ
横梁所受力b gh b gh P P P 212
212
1412ρρ==== 则
m
h h y h
h 414.133
222323222111=⨯=⨯=== 则由力矩平衡可得
2211y P y P Py M D +==
m y y y D 586.2414.122212=-⨯=-=∴
2-20 如图2-17所示的挡水板可绕N 轴转动，求使挡板关紧所需施加给转轴多大的力矩。

已知挡板宽为m 2.1=b ，m 8.21=h ，m 6.12=h 。

题2-20图
解：左侧的静水压力及其作用点：
()N b h h h g A gh P x C 376322.16.18.08.2980022211=⨯⨯-⨯=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==ρρ
()
()()()m bh h h bh h h A y I y y C C C D 28.36.12.18.08.2126.12.18.08.221223
213
211=⨯⨯-⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+
=
右侧的水静压力及其作用点： m h y N b gh A gh P D x C 067.16.13
2
328.150522.16.198002
1
21222222=⨯==
=⨯⨯⨯===ρρ
对N 点求矩，可得力矩
()()
()()m
N y h P y h P M D D ⋅=-⨯--⨯=---=18056067.16.18.15052107.28.237632222111
2-21 折板ABC 一侧挡水，板宽m 0.1=b ，高度m 0.221==h h ，倾角︒=45α，试求作用
在折板上的静水总压力。

题2-21图
解：kN A h g
ghA P AB AB AB 6.191222
8.921=⨯⨯⨯===ρρ ()()kN
P P P P kN P P P kN
A h h g ghA P yBC xBC A
B B
C yBC xBC BC BC BC 988.588.586.198.5845sin 28.58145sin 22228.922
22
221=++=
++=
=︒⋅===⨯︒⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==总ρρ 2-22 已知测2-22图示平面AB 的宽m 0.1=b ，倾角︒=45α，水深m 3=h ，试求支杆的支撑力。

题2-22图
解：kN A h g
A gh P C 37.62145sin 3238.92=⨯︒
⨯⨯===ρρ h h D 3
2=
要使板平衡，则力偶相等，得
()kN h
h
h h h h P F h h P y y P h
F
D D
D
6.41323
7.6222sin sin 2=-⨯=-=-=-=α
α
2-24 封闭容器水面的绝对压强2
0/37.137m kN p =，容器左侧开m 22⨯的方形孔，
覆以盖板AB ，当大气压2
/07.98m kN p a =时，求作用于此板上的水静压力及作用点。

题2-24图
解：
()()()
()
()
m
A y I y y y kN
A gh P m h h m
g
p p h C C C D e c c 05.0260sin 3
412
/2222522348.9342
3
2460sin 2'48
.907.9837.137'2
310=⨯︒
+⨯=⋅=-==⨯⨯+⨯==+=⨯
+=︒+==-=-=
ρρ
故水静压力的作用点位于距离形心C 0.05m 的下方。

2-26 如图，一弧形闸门AB ，宽b = 4 m ，圆心角α= 45º，半径r = 2 m ，闸门转轴恰与水面齐平，求作用于闸门的静水总压力。

α
解：闸门所受的水平分力为P x ，方向向右，即
N
r b r P o o x 3920045sin 2445sin 25.09800sin sin 2
1
9800=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=αα闸门所受的垂直分力为P z ，方向向上
N
r r r b gV P o z 22375)45cos 245sin 22
1
360245(49800sin sin 2136045980002
2=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==πααπρ
闸门所受水的和力 N P P P z x 451362
2
=+= 合力压力与水平方向 ︒=72.29arctan
x
z
P P 2-27 图示一球形容器由两个半球铆接而成，铆钉有n 个，内盛重度为ρ的液体，求每一个铆钉所受的拉力。

题2-27图
解：()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+===
3134211232R H R g n R R H R g n n gv n P P πρππρρ总 2-29某圆柱体的直径m d 2=，长m l 5=，放置于︒60的斜面上，求作用于圆柱体上
的水平和铅直分压力及其方向。

°
解：水平方向分力大小：
kN hl gh A gh P c x c x 5.24512
1
8.9=⨯⨯⨯=⋅==ρρ 方向水平向右
铅直方向分力大小：
kN l h d g gV P z 12052131218.923)2(212=⨯⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+⨯⨯⨯=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅==ππρρ 方向铅直向上
2-30 图示用一圆锥形体堵塞直径m d 1=的底部孔洞，求作用于此锥形体的水静压力。

解：由于左右两边受压面积大小相等，方向相反，故Px=0
)
()()()
()(3132213221V V g V V g V V g P P P V V g gV P V V g gV P z z z z z -=+-+=-=+==+==ρρρρρρρ侧面上表面侧侧面上上表面
()
N
V V g P h r r Rr R h V h r V z k 2.1906.04807.9)(906
.02
35.035
.05.011233
)
(4
15.03122
22
222222121-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯=-==⨯⨯-+⨯+⨯⨯=⋅-++=
=⨯⨯=⋅=πρπππππ
ππ则而 所以 P=P z = - 1.2kN ，方向向上。

2-32内径m D 3=的薄壁钢球贮有Pa p 6
107.14⨯=的气体，已知钢球的许用拉应力是[]Pa 7
106⨯=σ，试求钢球的壁厚δ。

x
δ
D p
T
p
题2-32
解：极限状态钢球的拉力[]δσπ⋅=r T 2
气体压力按曲面压力分析。

考虑x 方向力的平衡，因2
r A x π=，故
2r p pA P x x π==
据平衡方程 T=P x 即[]2
2r p r πδσπ=⋅
得 [][]m pr r r p 184.010
625
.1107.14227
62=⨯⨯⨯⨯==⋅=σσππδ。