《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率

《概率论与数理统计教程》
教案
第一章
随机事件与概率
教材：《概率论与数理统计教程》
总安排学时：90
本章学时：14
第一讲：随机事件及其运算
教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。

教学目的：
（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；
（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。

（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；
（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。

教学的过程和要求：
（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）
举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；
(i)概率论的研究对象：
确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。

例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；
例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。

随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。

例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。

(ii)概率论的研究任务：
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。

(iii)概率论发展的历史：
概率论起源于赌博问题。

大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。

随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。

(iv)概率论发展的应用：
概率论的理论和方法应用十分广泛，几乎遍及所有的科学领域以及工、
农业生产和国民经济各部门. 如应用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报和市场预测、股市分析等；在工业中，可用概率统计方法进行产品寿命估计和可靠性分析等。

（2）随机事件与样本空间；（25分钟）（重点）
重点讲清随机试验的目的、随机试验要求具备的条件、概率论中随机试验可以是主动做试验，也可能是被动观察某一随机现象；
讲清楚随机试验的基本事件、样本空间的定义，对于每个概念要举例说明，可用书中例1、例2、例3、例4或其它，例子中应该包括有限的、无限可数，连续的等类型。

应该使学生了解样本空间可以是有限的也可以是无限的，可以是离散的也可以是连续的。

随机事件的概念，基本事件与一般随机事件关系、区别，在上述例子中继续给出事件的例子。

着重说明事件发生和不发生的含义，引进必然事件和不可能事件的意义。

(i)随机试验的目的：
要研究随机现象的规律需要进行大量的观察和试验。

(ii)随机试验要求具备的条件：
试验可以在相同的条件下重复进行；
试验所有可能的结果是明确知道的，并且不止一个；
每次试验必然出现这些可能结果中的一个，但试验前不能预知出现哪一个结果；
这样的试验称为随机试验，简称试验，用字母E 表示.
例：掷一枚均匀硬币观察正面和反面出现的情况；
例：某日电话总机所接到的呼叫次数；
例：在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命等等都是随机试验。

(iii)基本概念：
基本事件（样本点）：每一个可能的基本结果（不可分解）称为E 的基本事件，通常用ω表示.
基本事件空间（样本空间）：E 的所有基本事件组成的集合称为E 的基本事件空间，常用}{ω=Ω表示。

例1 （1）抛一枚均匀的硬币，其可能出现的结果只有两种：正面、反面. 若令1ω=正面，2ω=反面，则 21,ωω为该随机试验的两个基本事件，
{}21ωω，=Ω为样本空间.
（2） 投掷一颗骰子，观察出现的点数. 其可能出现的点数为：1、2、3、4、5、6，若令i ω=i ，i =1，2，3，4，5，6，则i ω为随机试验的基本
事件，样本空间21,{ωω=Ω}654321{},,,,6543，，，，，
=ωωωω.
（3） 观察单位时间内到达某公交车站候车的人数，令i ω=单位时间
内有i 人到达车站候车， ，，，210=i ，则基本事件为i ω，样本空间
},2,1,0{},,,{210 ==Ωωωω.
（4） 从一批灯泡中任取一只，以小时为单位，测试这只灯泡的寿命，令t 表示灯泡的寿命，则大于等于零的任意一个实数都是该试验的一个样本点，{}0≥=Ωt t .
随机事件：在随机试验中可能发生、也可能不发生的事情称为随机事件，通常用大写字母C B A 、、等表示.
例：投掷一颗骰子出现的点数为偶数可以用事件A 表示，A ={出现的点数为偶数}={2，4，6}，而B ={出现的点数大于4}={5，6}、C ={出现的点数为2}等等都是随机试验的事件.
事件发生：若一次试验结果出现了事件A 中的样本点，即当试验结果为1ω且A ∈1ω时，则称事件A 发生，否则称A 不发生.
必然事件：称Ω为必然事件.
不可能事件：不包含任何基本事件的事件称为不可能事件，记作φ.
（3）事件之间的运算关系；（30分钟）重点
对于每一种关系应该举例、画维恩图说明其含义，积事件和和事件要着重说明并推广到多个事件，说明对立事件与互斥事件的相同点与不同点及其应用，差事件的意义及几种表示方法及运算关系；
事件之间的运算关系：
1）事件的包含关系：设在同一个试验E 中有两个事件A 与B ，若A 发生必然导致B 发生（即A 中任意一个基本事件都在B 中），则称事件B 包含事件A ，记作A B ⊃（或B A ⊂）.
例：如投掷一颗骰子的试验，A ={出现4点}，B ={出现偶数点}，则A 发生必导致B 发生，故B A ⊂。

2）事件相等：若B A ⊂且A B ⊂，则称事件B A =.
例：如掷骰子试验中，记A ={掷出3点或6点}，B ={掷出3的倍数点}，这两个事件所包含样本点相同，因而B A =。

3）和事件：称事件A 和B 至少有一个发生所构成的事件为A 与B 的和事件，记作B A .
例：如掷一颗骰子观察所得的点数，设A ={1，3，5}，B ={1，2，3}，则B A ={1，2，3，5}。

例2：测试灯泡寿命的试验中，令{}1000≤=t t B （寿命不超过1000小
时），{}500≤=t t A （寿命不超过500小时），则{}1000≤==t t B B A （寿命不超过1000小时）。

4）积事件：称事件A 与B 同时发生所构成的事件为A 与B 的积事件，记作B A 或AB .
例：如在掷骰子的试验中}5,4,3{},6,4,2{==B A ，则AB ={4}，即只有随机试验出现4点时，A 与B 同时发生。

5）互斥事件：若事件B A 、不能同时发生，即φ=AB ，则称事件A 与B 是互斥事件或互不相容事件。

例3：掷一颗骰子，令A ={出现奇数点}，B ={出现4点}，则有φ=AB ，即A 与B 互斥，{}5431，，，=+=B A B A 。

6）互逆事件：若事件A 与事件B 在一次试验中必有且只有一个发生，则称事件A 与B 为互逆事件或对立事件。

例4：掷一颗骰子，令C ={出现偶数点}，则φ=AC ，且
C A {
}Ω==654321，，，，，，所以A C =，即C 与A 是互逆事件；但由于φ=AB ，而}5431{，，，=B A Ω≠，所以B A 、不是互逆事件.
7）差事件：称事件A 发生而B 不发生所构成的事件为A 与B 的差事件，记作B A -.
例5：掷骰子试验中，令C ={2，4，6}， D ={1，2，3}，则 D C D C =-{}64，=，}31{，==-C D C D .
（4）事件之间的运算规律（5分钟）
事件之间的交换律、结合律、分配律只需简单说明，举例说明对偶律的意义和应用。

事件之间的运算律：
1）交换律：BA AB A B B A ==，
2）结合律：)()()(BC A C AB C B A C B A ==；）（
3）分配律：))(()(C B C A C AB BC AC C B A ==；）（
4）德摩根定律（对偶律）： B A B A B A B A ==,（可以推广到任意多个事件的情形）。

（5）以例6和例7为主。

学生练习（10分钟）
例6：设C B A 、、是样本空间Ω中的三个随机事件，试用C B A 、、的运算表达式表示下列随机事件.
（1）A 与B 发生但C 不发生；
（2）事件C B A 、、中至少有一个发生；
（3）事件C B A 、、中至少有两个发生；
（4）事件C B A 、、中恰好有两个发生；
（5）事件C B A 、、中不多于一个事件发生.
解：（1）C AB ；（2）C B A ；（3）AC BC AB ；
（4）BC A C B A C AB BC A C B A C AB ++= ；
（5）C B A C B A C B A C B A +++或AC BC AB 。

练习（10分钟）。

第二讲：概率的定义和性质
教学内容：概率的古典定义、统计定义、几何定义，概率的公理化体系及概率的性质。

教学目的：
（1）理解概率的古典定义的条件，掌握计算的一般方法，理解古典概率具备的三条性质；
（2）粗知概率的统计定义和几何定义，归纳其性质；
（3）深刻理解概率的公理化定义的意义，掌握概率的性质在概率计算中的应用。

教学的过程和要求：
（1）举例简单说明什么是概率；（5 分钟）阐述概率是随机事件发生的可能性的大小。

举例说明： 例：抛一枚均匀的硬币，因为已知出现正、反面的可能性相同，各为21，足球裁判就用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等.
例：某厂研制出一种新药，要考虑新药在未来市场的占有率将是多少. 市场占有率高，就应多生产，获取更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成产品积压.
上述问题中的机会、市场占有率以及彩票的中奖率、产品的次品率，射击的命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小的.都可以用0到1之间的一个数值（也称为比率）来作为随机事件A 发生的可能性大小的度量，即事件A 发生的概率，记作)(A p .
把随机事件出现的可能性大小的度量值称为该随机事件的概率.
（2）概率的古典定义和计算（30分钟）：由简单的例子说明古典概率应具备的条件，即有限性和等可能性，重点讲解古典概型的条件和计算，定义中强调事件和样本空间所含样本点数，而不需知道是什么样本点；讲解书中例1和例2，并通过简单的例子（如掷骰子）归纳古典概率的三个性质。

（20分钟）。

书中例3可不讲，补充习题（学生先做教师讲解）。

（10分钟） (i)古典概率应具备的条件：
试验的样本空间Ω中只含有有限多个基本事件，称为有限性；
在每次试验中，每个基本事件出现的可能性相同，称为等可能性. 具有这种特点的随机试验称为古典概型.
(ii)概率的古典定义：
定义：若随机试验为古典概型，且已知样本空间Ω中含有n 个基本事件，事件A 中含有k 个基本事件，则事件A 的概率
n k A A p =Ω=基本事件总数含中所中所包含的基本事件数
)(
定义中强调事件和样本空间所含样本点数，而不需知道是什么样本点。

(iii)古典概型的计算：
利用概率的古典定义计算随机事件A 的概率，首先要确定随机试验E 满足古典概型的特点，然后确定样本空间Ω所包含的基本事件总数n 和事件A 中包含的基本事件数k .有n k
A p =)(。

例1：从有9件正品、3件次品的箱子中抽取两次，每次一件，按两种方式抽取（1）不放回；（2）有放回，求事件A ={取得两件正品}和事件B ={取得一件正品一件次品}的概率.
解：（1）从12件产品中不放回抽取两件，Ω所含的基本事件数为212P ，
A 包含的基本事件数为29P ，
B 包含的基本事件数为1319·2P P ，所以：
22
91112392·2)(,116111289)(212131921229=⨯⨯⨯===⨯⨯==P P P B p P P A p （2）从12件产品中有放回抽取两件，Ω所含的基本事件数为212， A 包含的基本事件数为29，B 包含的基本事件数为9339⨯+⨯，所以：
8
31212392)(,43129)(222=⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B p A p 例2：将n 个球随意地放入N 个箱子中)n N ≥（，
假设每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列各事件的概率：
（1）指定的n 个箱子各放一个球；
（2）每个箱子最多放入一个球；
（3）某指定的箱子里恰好放入k （n k ≤）个球.
解：将n 个球随意地放入N 个箱子中，共有n N 种放法，记（1）、（2）、
（3）的事件分别为C B A ，，.
（1）将n 个球放入指定的n 个箱子，每个箱子各有一球，其放法有!n 种，
故有
n N
n A p !)(=
（2）每个箱子最多放入一个球，等价于先从N 个箱子中任选出n 个，然后每个箱子中放入一球，其放法有!n C n N
种，故 n
n N N n C B p !)(= （3）先任取k 个球（有k n C 种取法）放入指定的箱子中，然后将其余的
k n -个球随意地放入其余1-N 个箱子，共有k n N --)1(种放法，故有
n k
n k n N N C C p --=)1()(.
补充例题：
例题：一个机构投资商考虑对5个公司中的2个公司进行一项大的投资，假设投资者不知道5个公司中的2个公司关于新产品的开发的基础不稳定。

a ．列出所有可能的基本事件。

b ．确定从3个基础更好的公司中选出2个公司的概率。

c ．所选公司中包含1个基础不稳定的公司的概率是多少?
d ．选出2个基础最不稳定公司的概率是多少?
(iv)古典概率的三个性质：
1）1)(0≤≤A p ；
2）1)(=Ωp ；
3）设事件n A A A ，，， 21两两互斥，则：
+++=+++ )()()(2121A p A p A A A p n )(n A p
（3）简单介绍统计概率和几何概率的定义，并说明其与古典概率具有相同的性质；（10分钟）
(i)统计概率的定义：
定义：在一组不变的条件下，进行大量重复试验，随机事件A 出现的频率n
k A f n =
)(稳定地在某个固定的数值p 的附近摆动，我们称这个稳定值p 为随机事件A 的概率，记为p A p =)(. (ii)几何概率的定义：
定义：设在可测区域Ω内，任一具有相同度量的子区域被取到的可能
性相等，且从Ω中随机取一点属于子区域A 的可能性只与A 的测度成正比，而与A 的形状及位置无关，则事件A ={点属于A }的概率为：
Ω
==ΩS S A p A A 的测度区域的测度子区域)( 统计概率和几何概率与古典概率具有相同的性质。

（4）由前面概率的性质引出概率的公理化定义，说明公理化定义的伟大意义。

（10分钟）
(i)概率的公理化定义：
定义：设随机试验E 的样本空间为Ω，对于E 的每一个事件A ，赋予一个实数)(A p ，且)(A p 满足以下三个条件（公理）：
（1）非负性：对于任意Ω⊂A ，有0)(≥A p ；
（2）规范性：1)(=Ωp ；
（3）可列可加性：若 ，，，，n A A A 21是两两互斥的事件列，有
∑∞
==++++121)()(i i n A p A A A p
则称)(A p 为事件A 的概率.
(ii)公理化定义的意义：
事件概率的统计定义、古典概率定义、几何概率定义在一定的范围内解决了某些实际问题，但这几种概率的定义都存在着应用上的局限性，缺乏数学定义的严密性与一般性.经过长期的研究，到1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人的研究成果的基础上，提出了概率的公理化体系，明确定义了概率的基本概念，使概率论成为一门严谨的数学分支。

（5）重点讲解概率的性质及应用。

性质1和性质2比较显然，直接给出，可不证，性质3（说明对立事件的应用）、性质4和性质5给出证明，并举出应用的例子。

性质5（加法定理）给出三个事件的情形（可根据图形让学生自己总结）进而推广到n 个事件的情形。

（20分钟）
概率的性质及证明：
性质1：0)(=φp ；
性质2：（有限可加性）设有限个事件n A A A ，，，
21两两相斥，则 ∑==+++=+++n
i i n n A p A p A p A p A A A p 12121)()()()()(
性质3：对任何事件A ，有)(1)(A p A p -=.
证明：由φ=A A 且Ω=A A ，由性质2有
)()()()(A p A p A A p p +==Ω
即：⇒=+1)()(A p A p )(1)(A p A p -=.
性质4：设B A 、为两个事件，且A B ⊂，则 )()()(B p A p B A p -=-. 证明：因为A B ⊂，所以)(B A B A -= 且φ=-B B A )(， 由可加性得 )()()]([)(B A p B p B A B p A p -+=-+=
即 )()()(B p A p B A p -=-
一般情况下，对任意
事件B A 、，有
)()()()(AB p A p AB A p B A p -=-=- 性质5：（加法定理）设B A 、为任意两个事件，则
)()()()(AB p B p A p B A p -+= .
证明：)(AB B A B A -= ，且φ=-)(AB B A ，
由性质2、4得：
)()()()]([)(AB p B p A p AB B A p B A p -+=-+= 。

n 个)3≥n （事件的概率加法公式：
)
()1()()()()(1121111∑∑∑=≤<≤-≤<<≤-+++-==n i n j i n n n k j i k j i j i i n i A A A p A A A p A A p A p A p i （6）利用例5说明概率性质的应用，可补充例题。

（10分钟） 例5：设31)(=A p ，2
1)(=B p ，分别在下列条件下求)(A B p ： （1）B A ⊂；（2）A 与B 互斥；（3）81)(=
AB p . 解：)()()()(AB p B p AB B p A B p -=-=
（1）B A ⊂，则)()(A p AB p =，因此
6
1)()()()()(=-=-=A p B p AB p B p A B p ； （2）若B A 、互斥，则 0)(=AB p ，因此 21)()()(=
-=AB p B p A B p ； （3）81)(=AB p ，因此 8
38121)()()(=-=-=AB p B p A B p . 补充例题：
例题：某企业与甲、乙两公司签订某商品的长期供货合同，从以往情况看．甲公司按时供货的概率为0.9，乙公司按时供货的概率为0.75，这两公司都按时供货的概率为0.7，求至少有一家公司按时供货的概率。

（7）书中配套练习10,7,4,328
A P （5分钟）
第三讲：条件概率
教学内容：条件概率的定义、概率的乘法定理及应用、全概率公式的证明及应用。

教学目的：
（1）深刻理解条件概率的意义，掌握条件概率的计算； （2）了解概率的乘法定理在实际应用中的重要性；掌握两及多个事件乘积的概率计算； （3）深刻理解全概率公式的意义和方法，掌握全概率公式求事件概率的方法和过程。

教学的过程和要求：
（1）条件概率（30分钟）
通过两个例子说明条件概率与无条件概率的不同，并由此给出条件概率的定义和计算方法书中例题2，3可选其一，补充应用例题。

(i)举例说明：
例：十张彩票中有两张能中奖，甲、乙两人各抽奖一次.抽前乙关心的是自
己抽到奖的概率，令A ={乙抽到奖}，则有10
2
)(=A p . 若甲先抽，乙就会
关心甲抽签的结果，因为这会影响到他抽到“奖”的可能性. 设B ={甲抽到奖}，则在B 发生条件下，样本空间已经发生了变化，只含有九个样本
点，事件A 发生的概率为9
1
. 可见考虑在事件B 已经发生条件下，事件A
发生的概率是有实际意义的.
例：两个车间生产同一种产品，产品数量和质量情况如表1-2（单位：千件）
试求：（1）从所有的产品中任取一件，取到合格品的概率； （2）从所有的产品中任取一件，取到的是二车间生产的产品的概率；
（3）在取到合格品的条件下，取到二车间产品的概率。

解：设=A {取到合格品}，=B {取到二车间产品}，则
（1） 10085)(=
A p （2）10060)(=
B p （3）85
50)(=A B p (ii)条件概率的定义：
定义：设A 、B 是随机试验E 的两个事件，且0)(>B p ，在事件B 已经发生条件下，事件A 发生的条件概率为
)()
()(B p AB p A|B p =
(iii)条件概率的计算：
例3：设一只乌龟能存活60年的概率为0.89，能存活100年的概率为0.83，若现在这只乌龟已经60岁，则它能再存活40年的概率是多少？
解：设A ={乌龟活到100岁}，B ={乌龟活到60岁} 因为B A ⊂，所以83.0)()(==A p AB p p {
已
活到60岁的乌
龟
再
存
活
40
年}=93.089
.083
.0)()()()()(====B p A p B p AB p A|B p
也可以理解为100只活到60岁的乌龟中大约有93只能活到100岁. 补充应用例题：
考虑下列情况：在对很多保险索赔的分析中，根据保险的类型以及索赔是否属于欺诈对索赔进行分类、得到的结果见下表。

假定你负责审核保险索赔——具体地说，是要识别出欺诈索赔——并且正在处理一桩索赔，那么，事件F “该桩索赔为欺诈索赔”的概率是多少，为了回答这个问题，你考察表中数据，并且注意到在所有的索赔中有10％是欺诈索赔。

假定在表中给出的各个百分比与收到特定类型的索赔的真实概率充分接近，就得出P(F)＝0.10。

你会说你面对个欺诈索赔风险的概率有0.10吗?我们想不会．因为你有一些可以影响估计P(F)的附加信息。

这些附加信息与你正在核审的保险单的类型(火灾，汽车，或其他)有关。

保险索赔分类
类型 保险单的类型
总和% 火灾 汽车 其他 欺诈索赔 非欺诈索赔 6 14 1 29 3 47 10 90 总和
20
30
50
100
假定你的附加信息是这桩索赔与一张火灾保险单有关。

在表中，我们看到所有的索赔中有20％(或0.20)与火灾保险单有关，有6％(或0.06)是欺诈性火灾保险索赔。

因此，可以得到在已知是火灾保险单的情况下，该桩索赔是欺诈索赔的概率为：
)(火险单F P ＝
30.020
.006
.0==火险单索赔的比例欺诈火险单索赔比例
学生练习：
一家大公司为了评估其雇员在日常工作中的表现，花了相当多的时间开发了一套雇员表现等级的评估办法。

这样，可以把应当被安排在重点岗位上的人确定出来，并在需要时进行重大调整。

确定重点岗位人员的关键是体现雇员能力的指标，即可以负荷的工作量以及雇员所接受的正规工作训练。

工作量 正规训练
无 很少 一定程度 全面 低 中等 高
0.01 0.05 0.10
0.02 0.06 0.15
0.02 0.07 0.16
0.04 0.10 0.22
由负荷的工作量以及所接受的正规工作训练把所有雇员分成12个类。

雇员被安排在重要岗位上的概率如表所示。

下面定义3个事件 A ：一个雇员负荷的工作量是属于高的；
B ：一个雇员具有最高的(全面)正规训练水平；
C ：一个雇员很少或没有正规训练并且工作量为中低档。

a 求P(A)、P(B)，和P(C)。

b ．求P(A/ B)，P(B/A)和P(B/ C)。

c 求P(A U B)．P(A U C)和P(BC) （2）概率的乘法定理（25分钟）
条件概率和概率的乘积定理的关系和在实际应用中的意义，由条件概率的定义说明实际应用中乘积概率的重要性及计算方法，进而推广到多个事件积的概率；
(i)条件概率和概率的乘积定理的关系：
定理：（概率乘法公式）由条件概率的定义得
)|()()(A B p A p AB p ⋅= )0)((>A p 或 )|()()(B A p B p AB p ⋅= )0)((>B p . (ii)多个事件积的概率：
)()()()()()(121213121121-⋅⋅===n n i n
i n A A |A A p A |A A p |A A p A p A p A A A p
(iii)乘积概率的计算方法：
例4：计算机房有10台机器，其中一台是坏的. 现有4名学生同时上机，他们依次随机地选择一台计算机，求4名学生都选到好机器的概率.
解：令i A ={第i 个学生选到好机器}，4,3,2,1=i .
则： 109)(1=A p ，9
8)(12=|A A p ，87)(213=A |A A p ，76)(3214=A A |A A P
由概率的乘法公式得 =
)(4321A A A A p )
(1A p ⋅
⋅)(12|A A p )
()(3214213A A |A A p A |A A p ⋅5
3
768798109=⨯⨯⨯=
例5：设袋中有5个红球、3个黑球、2个白球，（1）不放回摸取三次，每次一球；
（2）有放回地摸取三次，每次一球；求第三次才摸到白球的概率.
解：第三次才摸到白球，意味着第一次、第二次摸到的是红球或黑球. 设A ={第一次没有摸到白球}，B ={第二次没有摸到白球}，C ={第三次摸到白球}，则ABC ={第三次才摸到白球}. （1）无放回摸取时，108)(=
A p ，97)(=A
B p ，8
2)(=C|AB p 因而 ⋅=)()(A p ABC p 45
7
8297108)()(=
⨯⨯=⋅C|AB p B|A p . （2）有放回摸取时，108)(=
A p ，108)(=A
B p ，10
2)(=AB C p 因而 )()()()(AB C p A B p A p ABC p ⋅⋅=125
16
102108108=
⨯⨯=
. （3）全概率公式（35分钟）
由例子（例6）引进全概率公式，画图说明全概率公式的含义，给出定理的公式及证明，重点讲清全概率公式应用的条件，举例7； (i)举例说明全概率公式：
例6：在前面甲、乙二人摸奖的的试验中，若甲先摸，而乙并不知道甲摸得的结果，求乙摸到奖的概率？
解：我们来分析一下，乙摸到奖可以分为两种情况，即在甲摸到奖时乙也摸到奖或甲没有摸到奖时乙摸到奖，并且这两种情况是互不相容的（甲要么摸到奖，要么摸不到）. 设=A {甲摸到奖}，A ={甲摸不到奖}，B ={乙摸到奖}，则：
在A 发生时B 也发生的概率为 451
91102)()()(=
⋅==A B p A p AB p 在A 不发生时B 发生的概率为 45
8
92108)()()(=
⋅=
=A B p A p B A p
因此： 5
1)()()(=+=B A p AB p B p 。

(ii)全概率公式的定义及证明：
定理：（全概率公式）设n A A A ，，， 21是两两互不相容的事件，0
)(>i A p （，，21=i
n , ）
，且Ω==i n
i A 1，则对于任意事件B ，有 )()()(1
∑==n
i i i B|A p A p B p
证明： 因为n n BA BA BA A A A B B B +++=+++=Ω= 2121)(，且 )()())((j i A A B BA BA j i j i ≠==φ
故： )()()()(21n BA p BA p BA p B p +++=
∑==+++=n
i i i n n A B p A p A B p A p A B p A p A B p A p 12211)
|()()|()()|()()|()(
(iii)全概率公式应用的条件：
要求有限个事件n A A A ,,,21 两两互斥，0)(>i A p ，n i ,,2,1 =，且)(21n A A A B +++⊂ 。

(iv)全概率公式的计算：
例7：设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，求取到的恰好是次品的概率.
解：设B ={任取一件，恰好是次品}，1A ={取到甲厂生产的}，2A ={取到乙厂生产的}，3A ={取到丙厂生产的}，则
45.0)(1=A p ， 35.0)(2=A p ， 2.0)(3=A p
且 04.0)|(1=A B p ，02.0)|(2=A B p ，05.0)|(3=A B p ，由全概率公式得：
0350050200020350040450)()()(3
1.......B|A p A p B p i i i =⨯+⨯+⨯==∑=
补充例题：
12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.
解: 设i A 为第i 次比赛取到了i 个新球, (i=0,1,2,3), i A 构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有
,5527)|(,220
1)(312132903
12330==
==
C C C A B P C C A P ,5528
)|(,22027)(312
1428131223191====C C C A B P C C C A P 22
9
)|(,5521)(,4421)|(,5527)(3121
62633123933121527231213292=
=======C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P
根据全概率公式有
455.022
9
55214421552755282202755272201)|()()(3
0=⋅+⋅+⋅+⋅=
=∑=i i i A B P A P B P (5)书中配套练习 第四讲：独立性
教学内容：事件的独立性及应用、贝努利概型。

教学目的：
（1）深刻理解两个事件的独立性的概念和性质； （2）理解多个事件相互独立的定义，了解多个事件相互独立和事件之间两两相互独立的关系；
（3）掌握事件独立性在概率计算中的应用； （4）理解贝努利概型的条件，理解公式； （5）掌握贝努概型概率的计算。

教学的过程和要求： （1）两个事件的独立性（20分钟）:由条件概率引出两个事件的独立性（或其它实际例子）给出定义，证明两事件独立的推论定理5，书中例题9。

(i)举例说明两个事件的独立性：
某人掷一颗骰子两次，第一次骰子出现的点数A 并不会影响第二次骰子出现的点数B ；此时有)()(A B p B p =，当0)(≠B p 时，
)()()(B p A p AB p = (ii)事件独立性定义及独立的充要条件：
定义：对任意两个事件A 与B ，若)()()(B p A p AB p •
=，则称事件A
与B 相互独立.
定理：事件A 与B 独立的充要条件是
0)()()|(>=A p B p A B p ， 或 0)()()|(>=B p A p B A p ，
(iii)事件独立性计算：
例9：甲、乙两人单独地解答同一道习题，甲能答对的概率是0.8，乙能答对的概率是0.9. 试求：（1）两个都答对的概率；（2）至少有一个人答对的概率.
解（1）设A ={甲答对}，B ={乙答对}，则8.0)(=A p ，9.0)(=B p ，A 与B 相互独立，两人都答对为事件AB ，则有
72.09.08.0)()()(=⨯==•B p A p AB p .
（2）至少有一人答对的事件为B A ，可用多种方法求解)(B A p ：
解法一：98.09.08.09.08.0)()()()(=⨯-+=-+=AB p B p A p B A p
解法二：)()(1)(1)(1)(B p A p B A p B A p B A p ⋅-=-=-=
98.01.02.01=⨯-=
解法三：)()()()(B A p B A p AB p B A p ++=
98.09.02.01.08.072.0=⨯+⨯+=
补充例题：
某个大城市的公用事业公司发现其70％的顾客付清每月的账单，假定从所有顾客的列表中随机选择2名顾客。

两个顾客都付清每月账单的概率是多少？至少一个顾客付清每月账单的概率是多少? （2）多个事件相互独立（20分钟）
简单介绍多个事件相互独立的含义，两两相互独立与多个事件相互独立的关系。

补充例题。

这里重点需要说清楚独立性应用的情况。

书中配套练习19,1429
A P
(i)多个事件相互独立的定义：
定义：设有n 个事件n A A A ,,21 ，，假如对所有可能的n k j i ≤<<<≤ 1，以下等式均成立：
)()()(j i j i A p A p A A p =， )()()()(k j i k j i A p A p A p A A A p = ……
)()()()(2121n n A p A p A p A A A p = 则称这n 个事件是相互独立的.
(ii)两两相互独立与多个事件相互独立的关系：
事件之间两两独立并不能保证多个事件之间相互独立。

(iii)多个事件独立的计算：
例10：设某种高射炮的命中率为0.6，若有一架敌机入侵领空，欲以99%。