空间角的计算

AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
简解：
z
A(0,0,0), A1(0, 0, 4),
A1
D1
N
D(0,8,0), M (5, 2, 4)
uuuur
B1 M
C1
uAuuMur (5, 2, 4),
A
A1D (0,8, 4),
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1

uuur uuuur x uAuuFr1gBuuDu1ur
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是
______ . 3. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, E为PC中点 ,
BAC 900 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
z
简解：
A1
D1
N
由(1)知A1D AM，又A1D AN
B1 M
C1
AM
I AN uuuur

A，所以A1D

平面AMN
A
Dy
所以A1D是平面AMN的法向量。
A(0, 0, 0), uuur
A1
(0, 0, 4),
uuuur
D(0, 8, 0),
xB
uuur uuuur
法向量的夹
角；

uur
n1
l
同进同出，
二面角等于 法向量夹角 的补角。
uur
n2

l
uur n1

ur uur
cos cos n1, n2
ur uur
cos cos n1, n2
uuur
uuur
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
AD (0,8, 0), A1D (0,8, 4), cos AD, A1D
C
25 5
AD与平面ANM所成角的正弦值是 2 5 所以~~~~
5
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面uAuurBu1uCur 所 uuuur成的角. z
设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位Cuu(正u1u，r1交，0)基，C底1 (， 1，u1u，可 u1r)，得则AuBu(1uC0u，r10， 0()， 0，B1，10(1)， ，0，1)，B1
底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0)
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
Q AB1 BC1,

uuur AB1
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角；
2
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [0, ] 。
1），那么这条斜线与平面所成的角是_6_0__0__ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，
则两平面所成的钝二面角为__1_3__5_0 .
4. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的
余弦值为________6_ .
uuur CD

(1,

1
,
0),
uuur SD

(0,
1
,
r1)
2
rx
A
Dy
设平面
2
uur
SCD的法向量n2
2
(面nx1,内方y,，向z)属朝, 于由面“外nuur2一，n进2 Cu方一uDu向出r,朝”nuur2

uuur SD, 得：

x y 2
yz 2

0 0

uuuur BC1


1 2
a2
则可设 a =1，b
b2

0 b 2 a
2
2
，则B(0,1,0)
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作CE BC1于E, DF BC于1 F，
F
则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
C1
B1
D1
C1
A1
A1 M
B1
C D
B A
D O
A
C B
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1

(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1

(
1 2
,

1 2
,1)
6
5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为__3_1__01_0___ .
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
7.正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
A1
设A平 Br1 面uu(Au1， urB0，11C)，的ArC法uu向u(r1，量1，0为)r nr (x，y，z) A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以 xx

z y
0 ，取x 0
=
1，
得y = z = -1，故nr = (1，-1，-1)，cos
x
nr，uBu1uCur1
01 0 1 3
3 3
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l, AB ,CD l,CD
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：


0,

2

思考：
C
D
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
A D1
uuur uuur

B
r DC, AB 与的关r系？
4. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .
练习:
uuur
uuur
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2影、的如方果向平向面量的分一别条a是r斜线=（与1它，在0，这1个）平，br 面上=（的0射，1，
B
uuuur uuuur AM gA1D＝0 A1D AM .
x
Dy
C
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角：
直线与平面所成角的范围：
[0,

]
A
2
思考：
B O

r
设平面的法向量为n，则
r uuur
n, BA 与的关系？
r n
A



r uuur n，BA
2
A
B

B
CA l

D
cos cos
uuur uuur AB, CD

uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b ,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
a2 c2 b2 2 AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .


x y 2
z y
ur u2ur
的情况，二面角等于法向
任量取夹nu角ur2 (1, 2,1)

cos

ur n1,
uur n2

|
unr1gnu2ur n1 || n2
|

6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
小结：
1.异面直线所成角：
cos
rr | cos a,b |
uur
n2
ur uur
n1，unur2
n1

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uur
n1
l
l
ur uur
ur uur
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例四： 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,

r uuur n，BA

B

结论：sin
2
r uuur
r n
| cos n, AB |
例二：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
SA

平面ABCD,
SA

AB

BC

1,
AD

1 2
,
求面zSCD与面SBA
所成二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 ,0), S(0, 0,1)
B
C
r 易知面SBA的法向量n1

uuur2 AD
(0,
1
, 0)
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
2.直线与平面所成角： r uuur
sin | cos n, AB |
rC
rD
a
a
A r
D1

bB
Ar
n
B

O r n
3.二面角：

B
A C l

D
cos cos
uuur uuur AB, CD

uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
uur

n2
一进一出， 二面角等于
By
在 RtCC1B
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a

r b
rr
a，b
|
r
ar
r rb
a，b
|
结论：
rr
| cos a,b |
例一：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.

B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2

2
AuuBur

2
(uAuuCr 2
CuuDur2
DB)u2uur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
AC CD BD 2(AC CD AC DB CD DB)
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
所以库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②法向量法
ur uur n1，n2

uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2