数学归纳法教学导案(新)

数学归纳法教学导案(新)

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教材背景：

归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．

教学课题：数学归纳法

教材分析：

“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。

在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学

交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，

激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的

治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点

教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤

中归纳假设和恒等变换的运用。

教学难点：

（1）数学归纳法的原理；

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

教学过程：

（一）复习引入

问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）

问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）

（二）新课讲解

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒（奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

例1、证明：2462(1)n n n +++=+L ()n N +∈ 证明：（1）当1n =时，左边=2，右边=2，等式成立。

（2）假设n k =时等式成立，即2462(1)k k k +++=+L

那么，当1n k =+时，

24622(1)k k +++++L

(1)2(1)

(1)(2)(1)[(1)1]

k k k k k k k =+++=++=+++

所以，1n k =+时等式也成立。

由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数n 都成立。

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

(1)验证当n 取第一个值0n （如0n =1或2时）命题正确。

(2)假设当n k =时0(,)k N k n ∈≥命题正确，证明1n k =+时命题也正确。 3．基础反馈

①用数学归纳法证明：()N n a a

a a

a a n n ∈≠-+=

++++++,11112

1

2

Λ在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ C ） A ．1

B.a +1 C ．2

1a a ++ D.32

1a a

a +++

②用数学归纳法证明命题时，假设111

()122k S k N k k k

+=

+++∈++L 那么 1111

21221

k K S S k k k +=+

+-+++ ③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？

证明：2222(1)(21)

123()6

n n n n n N +++++++=∈L

证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=

(11)(21)

16

++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即

2222(1)(21)

1236

k k k k ++++++=

L

当1n k =+时代入2222(1)(21)

1236

n n n n ++++++=

L 得

[][]

22222123(1)(1)(2)(23)

6

(1)(1)12(1)16

k k k k k k k k +++++++++=+++++=

L

所以当1n k =+时等式成立

由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。

（三）、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，

最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

（四）、作业 : P 37 2 P 39 1 （五）、课后练习及探究:

练习：P 37 (1)、(3)

探究：下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？

证明：（1）当 1n =时 左边= 右边11112

==+ 等式成立 （2）假设当n k =时命题成立即

那么1n k =+时, 左边11111

(1)()(

)22312

k k =-+-++-++L 112(1)1

k

k k =-

=

+++=右边

1

)1(1321211+=+•++•+•n n

n n Λ21211=•11

112

23

(1)1

k

k k k ++⋅⋅⋅+

=

⋅⋅⋅++