北师大最新2019物理(量子力学)

北京师范大学2017年硕士研究生考试

量子力学试题

一、选择题（不定项选择，多选少选错选均不得分）

1.若A B 是厄米算符，则以下比为厄米算符的有

A.AB

B.A+B

C.[A,B]

D.i[A,B]

2.若A 为厄米算符，则

A.〉〈=〉〈ψϕϕψ||||A A

B.*

||||〉〈=〉〈ψϕϕψA A C.A 的本征值必为实数 D.A 的表示矩阵比为对称矩阵

3.质量为m ，频率为ω的二维谐振子某能级简并度为3，则该能级的能量为

A.ω

B.ω 2

C.ω 3

D.ω

44.三维粒子波函数的量纲是（L 代表长度量纲）

A.无量纲

B.L

C.L -1

D.L

-3/25.对处于中心立场中的粒子进行测量；哪些量的平均值不随时间变化

A.l 2

B.L z

C.R

D.P X

6.考虑自旋后，电子的二分量波函数可表示为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-+)()(r r r S Z ψψψ），（，其归一化条件为A.

1||||2323==⎰⎰-+ψψr d r d B.1||||223=+-+⎰ψψr d C.21||||2323==⎰⎰-+ψψr d r d D.1||23=+-+⎰

ψψr d 证明题微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学

1.质量为m 的粒子在一维势场中运动，证明：

x p p x m x ˆˆˆˆ1ˆdt d 2+=，

其中表示平均值。2.已知A、B 为厄米算符，且满足AB+BA=0，如果Ψ为A 的本征值，且求本征值不为0，证明：在Ψ态下测量B 的平均值为0。

三、氚为质量数为3的氢原子，β衰变后成为He +离子。设衰变前电子处于基态，计算衰变后电子处于1s 态及2s 态的概率各为多少。

提示：可将衰变视为突发微扰；氢原子或类氢离子径向波函数2

/r 2/310e 2/a 2Z R -=）（a 2/r 2/310e 2/a 62r Z Z R -=）

（其中22e a μ =，Z 为核电荷数。

四、定义）

，（ϕθ=n ˆ方向的角动量l n ⋅=ˆln 。设一个粒子处于角动量平方l 2和z 分量lz 的共同本征态Y lm ，请计算l n 的期望值。

五、一个质量为m 的电子在半径为R 的球面上运动，其能量包括转动动能和自旋与轨道角

动量耦合能s l ⋅γ，设初始时刻电子处于2/111-x Y 态（Y 11是球谐函数，x -1/2表示自旋为-z 方

向）

①求角动量量子数1=l 的能量本征态及能级。

②求出电子运动状态的时间演化。③计算期望值S z 的时间演化。提示：2

1

21

,1121212

1,11211,1,+=+=⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛

++--

+=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎰⎰++m m l j Y Y m l m l l jm m m l j Y Y m l m l

l jm j m l lm j l j m l lm j l