线性代数矩阵相关练习题
（精选）线性代数矩阵习题
（精选）线性代数矩阵习题习题课一.单项选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵,λ为A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵的特征根之一为( )A.n A ||1-λB. ||1A -λC. ||A λD. n A ||λ2.设λ为非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值为( )A.34B.43C.21D.413.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件 4.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ) A. B E A E -=-λλB. A 与B 有相同的特征值与特征向量C. A 与B 都相似于一对角矩阵D. 对任意常数t ,有A tE -与B tE -相似二.填空题1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B 2.设n 阶方阵A 伴随矩阵为*A ,且,0||≠A 若A 有特征值λ,则E A +2*)(的特征值为3.矩阵=1111111111111111A 的非零特征值为 4.n 阶矩阵A 的元素全是1,则A 的n 个特征值为三、计算题1.设=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 2.设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为,)1,2,1(,)1,1,1(21T T --=--=αα（1）求A 的属于特征值3的特征向量; （2）求矩阵A .3.设T)1,1,1(-=ξ为---=2135112b a A 的一特征向量. (1)求b a ,及特征值ξ; (2) A 可否对角化?4.设三阶矩阵 A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321TT T --=-==ααα 试求矩阵A .5.设矩阵,3241223----=k k A 问k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.答案一.单项选择题 1、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则ξλξ**A A A =,即ξλξ*||A A =, 从而ξλξ|)|(1*A A -=.注:一般地,我们有:若λ为A 的一个特征根,则 (1)T A 的特征根为λ;(2)k A 的特征根为kλ; (3)aA 的特征根为λa ;(4)若A 可逆,则1-A 的特征根为λ1; (5)若0≠λ,则*A 的特征根为||1A -λ; (6)kE A +的特征根为k +λ.2、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则,,2222ξλξξλξa aA A ==(a 为实数), 所以, 12)31(-A 的一个特征值为12)231(-?=43. 3、解: B. 4、解: D. 二.填空题 1、解: 24.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量), A 可逆, 则ξλξ1 1--=A ,ξλξ)1()(11-=---E A ,即 E A--1的特征值为1-λ-1, 从而=--||1E A (2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, A 与B 相似,所以,存在可逆矩阵P 使得 B AP P =-1 , 即P A P B111---=,P E A P EP P P A P E B )(111111-=-=-------,所以E B--1与E A --1相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, =--||1E B 24.2、解:.1||22+λA若A 的特征值为λ,则*A 的特征值为λ||A ,2*)(A 的特征值为22||λA ,所以, E A +2*)(的特征值为.1||22+λA3、解: 4.计算特征行列式λλλλλλλλλ01010010001)4(1111111111111111||-=----------------=-A E 0)4(3=-=λλ .所以,非零特征值为4.4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。
线性代数第二章矩阵练习题（有答案）
第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。
(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。
4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。
四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
线性代数练习册练习题—第2章 矩阵
一、填空题
1．
2 0
3
121
2 1
02 _________．
矩阵
2.设 A 2 3 1 2 ，则 AAT _________．
3.设
A
a c
b d
，则
A
的伴随矩阵
A*
_________．
4．设 A 为 3 阶方阵，且 A =2, 则 A =
．
5. A 为 3 阶方阵， A =2，则 A A
（ A ）若 A, B 可逆，则 A B 可逆
（ B ）若 A, B 可逆，则 AB 可逆
（ C ）若 A B 可逆，则 A B 可逆 （ D ）若 A B 可逆，则 A, B 可逆
5．A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式中不正确的是（ ）．
（A） (2A)1 =2 A1
（B） A1 = 1 A
(B)4
( C )5 （D）40
a11 a12 a13
a21
a22
a23
9．设
A
a21
a22
a23
，
B
a11
a12
a13
a31 a32 a33
a11 a31 a12 a32 a13 a33
0 1 0
1 0 0
P1
1
0
0
，
P2
0
1
0
，则（
）成立．
0 0 1
1 0 1
（）
4. 在秩是 r 的矩阵中，所有的 r 阶子式都不等于 0.
()
5. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ，则 R( A) R(B) ． （ ）
四、计算题
1.计算
1 0
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
(完整版)线性代数试题库(矩阵)
71．设 是2阶方阵可逆，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案：B
72．设 均为3阶矩阵，若 可逆，秩 ，那么秩 （ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案：C
73．设 为 阶矩阵，若 与 阶单位矩阵等价，那么方程组 （ ）
A．无解B．有唯一解
C．有无穷多解D．解的情况不能确定
答案：B
74．设矩阵 ，则 __________.
A. B. C. D.
答案：C
95.设 为3阶方阵，且行列式 ,则 【 】
A.-4 B.4 C.-1 D.1
答案：A
96．设矩阵 为 的转置，则 =。
答案：
97．设矩阵 则行列式 的值为.
答案：1
99．设 是 阶方阵，且 的元素全都是1， 是 阶单位位矩阵。证明：
证明：
因为 的元素全都是1，所以： 的元素全部为 ，即：
若 为同阶方阵，则 的充分必要条件是
答案：
143设 都是 阶矩阵，且 ,则下列一定成立的是（）
或 B 都不可逆
C 中至少有一个不可逆D
答案：C
144设 均为可逆矩阵，则分块矩阵 亦可逆，
答案：
145设 为3阶可逆矩阵，且 ,则
答案：
146 均为 阶矩阵，下列各式中成立的为（）
（A）
（B）
（C） 则 或
答案：×
151．两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 （ ）
答案：×
152.A，B均为n阶方阵，A≠O，且AB=O，则B的秩（ ）
（A）等于O （B）小于n
（C）等于n （D）等于n-1
答案：B
153.已知 且A2—AB=E，求矩阵B。
线性代数—矩阵题库
33、设矩阵
P
=
0 1
1 0
，
A
=
a c
b d
，则
P 2010 AP 2009
=（
）。
c d
a b
b a
2a 2b
A．
a
b
；
B．
c
d
；
C．
d
c
；
D．
c
d
6 0 8 1 −1 0
34、设
A
=
2
−1
4
,
B
=
0
3
1
，则
A
−
2
B
=
（
）。
3 2 5 1 0 2
A． 2A = 2 A
C． ( AB)T = BT AT
B． ( A + B)( A − B) = A2 − B2 D．若 A2 = O ，则 A = O
5、若 n 阶方阵 A 可逆，则 ( A∗ )−1 = （
）.
A． 1 A A
B． A A
1 C． A n−1 A
D． A
6、设 n 阶方阵 A 、 B 、 C 满足 ABC = I ，则必有（ ） A． ACB = I B． CBA = I C． BAC = I D． BCA = I
d
b a
C.
d
c
2a 2b
D.
c
d
28、设 A 与 B 均为 n 阶方阵，则下列结论中正确的是（
）
A. ( A + B)2 =A2 + 2AB + B2
B. ( A + B)( A − B) = A2 − B2
线性代数考试题
线性代数考试题
1. 矩阵的定义与基本运算
a) 什么是矩阵？矩阵的定义是什么？
b) 如何进行矩阵的加法和减法运算？
c) 如何进行矩阵的数乘运算？
2. 矩阵的转置与乘法
a) 如何进行矩阵的转置运算？
b) 如何进行矩阵的乘法运算？
c) 矩阵乘法的性质有哪些？
3. 矩阵的逆与行列式
a) 什么是矩阵的逆？
b) 如何求解矩阵的逆？
c) 什么是行列式？
d) 如何计算矩阵的行列式？
4. 向量的线性相关性与线性无关性
a) 什么是线性相关性与线性无关性？
b) 如何判断一组向量是否线性相关？
c) 如何判断一组向量是否线性无关？
d) 线性相关与线性无关的定理有哪些？
5. 向量空间与子空间
a) 什么是向量空间？
b) 向量空间的性质有哪些？
c) 什么是子空间？
d) 如何判断一个子集是否为向量空间的子空间？
6. 特征值与特征向量
a) 什么是特征值和特征向量？
b) 如何求解特征值和特征向量？
c) 特征值和特征向量的性质有哪些？
7. 相似矩阵与对角化
a) 什么是相似矩阵？
b) 如何判断两个矩阵是否相似？
c) 什么是对角化？
d) 如何对角化一个矩阵？
8. 线性变换与矩阵的应用
a) 什么是线性变换？
b) 线性变换与矩阵的关系是什么？
c) 线性变换的应用有哪些？
以上是关于线性代数的考试题目，通过回答这些问题，你可以对线性代数的基本概念和运算有一个全面的了解。
希望你能够认真准备，并取得优异的成绩！。
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
线性代数试题库(矩阵)
1．对任意n阶方阵A,B总有（）A.AB=BAB.AB=BAC.(AB)T=ATBT答案：B D. (AB)2=A2B2AB==AB2．在下列矩阵中，可逆的是（）⎛000⎫⎪A. 010⎪001⎪⎝⎭⎛110⎫⎪C. 011⎪121⎪⎝⎭答案：D ⎛110⎫⎪B. 220⎪ 001⎪⎝⎭⎛100⎫⎪D. 111⎪ 101⎪⎝⎭-13．设A是3阶方阵，且A=-2,，则A=（）A.-2C. B.-D.2 1 21 2答案：B1⎫⎛11 ⎪1⎪的秩为2，则λ=（） 4．设矩阵A= 1223λ+1⎪⎝⎭A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和⎛101⎫⎪25．设A= 020⎪，矩阵X满足方程AX+E=A+X，求矩阵X. 101⎪⎝⎭⎛201⎫⎪答案：X= 030⎪102⎪⎝⎭解： AX+E=A+X⇒(A-E)X=A-E 22⎛101⎫⎛001⎫⎪⎪A= 020⎪⇒A-E= 010⎪101⎪ 100⎪⎝⎭⎝⎭显然A-E可逆，所以：(A-E)-1(A-E)X=X=(A-E)-1(A2-E) =(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E⎛201⎫⎪∴X= 030⎪102⎪⎝⎭6．求下列矩阵的秩⎛01-1-12⎫⎪02-2-20⎪ A= 0-1111⎪⎪1101-1⎝⎭答案：3⎛-1-4⎫⎛-10⎫-157．设矩阵P= ⎪,D= ⎪，矩阵A由矩阵方程PAP=D确定，试求A. ⎝11⎭⎝02⎭答案：⎛-511/3127/3⎫⎪⎝127/3-31/3⎭P-1AP=D⇒A=PDP-1⇒A5=PD5P-1⎛-1-4⎫⎛1/3-1/3⎫5⎛-10⎫-1P= ⇒P=⎪⎪,D= ⎪⎝11⎭⎝4/3-1/3⎭⎝032⎭所以：A5=PD5P-1= ⎛-1-4⎫⎛-10⎫⎛1/3-1/3⎫⎛-511/3127/3⎫⎪. ⎪⎪= ⎪110324/3-1/3127/3-31/3⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭*-1-18．设矩阵A可逆，证明(A)=AA 证明：因为AA=AA=AE，矩阵A可逆，所以A≠0 **⇒AA*=A*A=E AA又因为A-1=1*-1-1，所以：(A)=AA A9若A是( )，则A必为方阵.A. 分块矩阵C. 转置矩阵答案：B B. 可逆矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A，且A≠0，则(A*)-1= ( ). AA. A A*B. AD. A-1C. A A *A答案：A11若( )，则A B A. A=B B. 秩(A)=秩(B)C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同答案：B⎛1⎫⎪T12.设A= 2⎪，则AA=______.3⎪⎝⎭⎛123⎫⎪答案： 246⎪369⎪⎝⎭13.设m⨯n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=_____. 答案：0 14已知PAP=B，且B≠0，则答案：115.已知 -1AB______. ⎛20⎫⎛31⎫⎪X= ⎪，求矩阵X。
线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。
矩阵相关练习题
矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。
1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。
2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。
3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。
4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。
5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。
6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。
7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。
8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。
9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。
10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。
这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。
希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。
《线性代数与解析几何》矩阵部分练习题及答案
《线性代数》练习题矩阵部分一、填空题1．设A 是3阶方阵，A ＝-3,则2A ＝______，3A ＝______2 设A ＝1203⎛⎫⎪⎝⎭，B ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则当b,d 为任意常数，且c=______ a=______时，恒有AB=BA.3.设矩阵A ＝111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T A 为矩阵A 的转置矩阵，则TAA ＝______， 4.若A ＝011001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，f(x)=33x +x,则f(A) ＝______. 5.设A ＝120303010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则)()(E +A E -A ＝______。
6．设A ＝101210325⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭，则)(1E --A ＝______。
7．设A ＝5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭，则1-A ＝______。
8．n 阶可逆矩阵A,B,若A ＝3，则1-K B A B ＝______。
9．对于n 阶方阵A ，若T AA ＝2E ，则A ＝______。
10．已知 n 阶矩阵A 可逆，则（ ）成立。
A ，)(12-A ＝12-A ； B,)(12--A =112--A ; C,)(12--A ＝112-A ; D,)(12-A =2A .11.对于n 阶可逆矩阵A,B,则下列等式中（ ） 不成立。
A )(1-AB ＝1-A 1-B B, )(1-AB = 11-A .11-BC, )(1-AB ＝1-A .1-BD , )(1-AB ＝1AB12.若A 为n 阶方阵，且3A ＝0，则矩阵()1-E -A ＝______。
13．设A 为3阶方阵，且3A =，则212⎛⎫A ⎪⎝⎭＝______。
14．设A ＝[]1,2,3，[]1,1,1B =，则()KT A B ＝______。
15．设A 为3阶方阵，且2A =，则132-*A -A ＝______。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要通过大量的练习题来加深对矩阵的理解和掌握。
下面，我将为大家提供一些矩阵的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
练习题一：矩阵的基本操作1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：矩阵A的转置矩阵是矩阵A的行和列互换得到的矩阵。
所以，矩阵A的转置矩阵为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 已知矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：要求矩阵B的逆矩阵，需要满足矩阵B与其逆矩阵相乘的结果为单位矩阵。
对于3阶方阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵法求解。
经过计算，矩阵B的逆矩阵为：[0 0.333 -0.167; -0.667 0.333 0.333; 0.333 -0.667 0.333]。
练习题二：矩阵的乘法1. 已知矩阵C = [1 -2; 3 4]，矩阵D = [5 6; -7 8]，求矩阵C和矩阵D的乘积。
解答：矩阵的乘法是按行乘以列再求和的运算。
根据定义，矩阵C和矩阵D的乘积为：[1*-2+(-2)*(-7) 1*6+(-2)*8;3*-2+4*(-7) 3*6+4*8] = [-9 -10; -34 42]。
2. 已知矩阵E = [2 3; -1 4; 0 1]，矩阵F = [-2 1 5; 3 4 -2]，求矩阵E和矩阵F的乘积。
解答：矩阵E是一个3×2矩阵，矩阵F是一个2×3矩阵。
根据定义，矩阵E和矩阵F的乘积为：[2*-2+3*3 2*1+3*4 2*5+3*(-2);-1*(-2)+4*3 -1*1+4*4 -1*5+4*(-2);0*(-2)+1*3 0*1+1*4 0*5+1*(-2)] = [5 14 4; 14 15 -15; 3 -2 -10]。
练习题三：矩阵的行列式1. 求矩阵G = [2 1; 3 4]的行列式。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
(完整版)线性代数试题库(矩阵)
A． B．
C． D．
答案：C
70．设 为 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
71．设 是2阶方阵可逆，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案：B
72．设 均为3阶矩阵，若 可逆，秩 ，那么秩 （ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案：C
73．设 为 阶矩阵，若 与 阶单位矩阵等价，那么方程组 （ ）
答案：
26.设 ， ， ，则 _____.
答案：
27. (5分)设 且满足 ，求
解： 可逆
由 ，得
所以：
28.设矩阵
其中， , .
为 的伴随矩阵.计算
解：
显然：
29．设 是两个 阶方阵，若 则必有（）
A． 且 B． 或
C． 且 D． 或
答案：D
30．若 都是方阵，且 ，则 （）
A．-2B．2
C． D．
A．-6B．-2
C．2D．6
答案：B
50．设 ，则 的伴随矩阵 （）
A． B．
C． D．
答案：A
51． __________。
答案：
52．设 ，则 __________。
答案：
53．设 且 ，求 。
答案：
解：
，很容易得到： 是可逆的。所以：
54．设方阵 满足 ，证明 可逆，并求其逆阵。
证：
所以： 可逆，且其逆阵为 。
答案：A
64． ， ，（ 为3阶单位矩阵），则 ___________。
答案：
65．已知 ，且 ，则 ___________。
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向量组的线性相关性----习题课
如何正确理解线性相关(无关)的定义
判断下列命题就是否正确。
如果对,加以证明;如果错,举出反例。
(1)若有不全为0的数m λλλ,,,21Λ使
01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ
成立,则m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关、
解:错。
原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλΛ
取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111Λ
其中m e e ,,1Λ为单位向量,则原式成立,
而m a a ,,1Λ;m b b ,,1Λ均线性无关。
(2)若向量组m a a a ,,,21Λ就是线性相关的,则其中每个向量都就是其余向量的线性组合。
解 错。
反例1:设)0,,0,0,1(11Λ==e a ,032====m a a a Λ
满足m a a a ,,,21Λ线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a Λ线性表示、
反例2:)0,0,1(1=a ,)0,0,12-=
（a ,)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量,那么该向量组线性相关。
解:不一定。
因为任何一个向量组都有一个性质:
系数全为0的线性组合一定就是零向量。
若还有系数不全为零的线性组合也就是零向量,则线性相关;
否则线性无关。
(4)若a 能表示为m m a a a λλ++=Λ11
则向量组a a a m ,,,1Λ线性相关、
解:正确。
(7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21Λ
使 0αλαλm m 11≠++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关、
解:错。
任何一组数满足上式才行。
(6) 若021====m λλλΛ时,有 0αλαλm m 11=++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关、
解:错。
将“若…… ”改为“只有……”,结论才正确。
反例:)0,0,1(1=a ,)0,1,02（=a ,)0,1,1(3=a ,线性相关;
)0,0,1(b 1=,)0,1,0b 2（=,)1,0,0(b 3=,线性无关。
(5)若向量b 不能由向量组m a a ,,1Λ线性表出,
则向量组b,m a a ,,1Λ线性无关。
解:不一定。
反例1:)0,0,0(1=a ,)1,1,12（=a ,)0,0,1(b =,线性相关;
反例2:)0,1,0(1=a ,)1,1,12（=
a ,)0,0,1(
b =,线性无关。
正确命题为:如果m a a ,,1Λ线性无关,
且向量b 不能由向量组m a a ,,1Λ线性表出,
则向量组b,m a a ,,1Λ线性无关。
其逆否命题为:设m a a ,,1Λ线性无关,
而向量组b,m a a ,,1Λ
线性相关,则 B 可由m a a ,,1Λ
线性表出,且表示法唯一。
(8)若零向量只能用唯一的方式表示成向量组m a a ,,1Λ
的线性组合, 则m a a ,,1Λ线性无关。
解:正确。
(9)若只有当m λλλ,,,21Λ全为0时,等式
01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ
才能成立,则m a a ,,1Λ线性无关, m b b ,,1Λ亦线性无关、
解:由01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ (仅当01===m λλΛ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211Λ线性无关,但若
取021====m a a a Λ
取m b b ,,1Λ为线性无关组
满足以上条件,但不能说就是m a a a ,,,21Λ线性无关的、
(10)若m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关,
则有不全为0的数, m λλλ,,,21Λ使
0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλΛΛ
同时成立、
解: T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=
⎪⎭
⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾、 如何证明两向量组等价
1、 根据等价的定义证之。
例1:向量组与其最大无关组等价。
例2:两等价的向量组中分别任取一个最大无关组,证明这两个最大无关组等价。
例3:设向量b 可由向量组r 1,,a a Λ线性表出,但b 不能由向量组1r 1,,-a a Λ线性表出,试证 向量组(I)r 1,,a a Λ与向量组(II)b ,,1r 1，-a a Λ等价。
2、 对于具体两向量组,可利用初等变换,证明它们等价。
方法:先对(I,II)进行初等行变换,将I 化为等价标准形,瞧II 就是否能被I 表示; 再地(II,I)进行初等行变换,将II 化为标准形,瞧I 就是否能被II 表示。
如何证明向量组相关(或无关)
1.设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关、
证明 设有4321,,,x x x x 使得
044332211=+++b x b x b x b x 则
0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x
0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x
(1) 若4321,,,a a a a 线性相关, 则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=; 由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关、
(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043
322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01
1000
11000111
001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关、
综合得证、
2.设r r a a a b a a b a b +++=+==ΛΛ2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21Λ线性无关,证明向量组r b b b ,,,21Λ线性无关、 证明 设02211=+++r r b k b k b k Λ,则
++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211ΛΛΛΛ0=+r r a k Λ 因向量组r a a a ,,,21Λ线性无关,故
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r
r r k k k k k k ΛΛΛΛΛΛΛΛ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121M M ΛM ΛΛM ΛΛΛr k k k 因为011
001101
1≠=ΛM
ΛΛM ΛΛΛ故方程组只有零解 则021====r k k k Λ所以r b b b ,,,21Λ线性无关
3.设n a a a ,,,21Λ就是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21Λ能 由它们线性表示, 证明n a a a ,,,21Λ线性无关、
证明 n 维单位向量n e e e ,,,21Λ线性无关
不妨设:
n
nn n n n n n n
n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222121212121111
所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M Λ
ΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121 两边取行列式,得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M ΛΛΛΛΛΛ
ΛM 21
2122221
1121121=由002
12
1≠⇒≠T n T T T n T T a a a e e e M M
即n 维向量组n a a a ,,,21Λ所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21Λ线性无关、。