微分方程数值解实验报告

微分方程数值解法课程设计报告

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成绩：

2017年 6月 21 日

摘要

自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。

关键词：微分方程数值解、MATLAB

目录

摘要 (2)

目录 (3)

第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理 (4)

1.1 常微分方程数值解法的基本思路 (4)

1.2用matlab编写源程序 (4)

1.3 常微分方程数值解法应用举例及结果 (5)

第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 (6)

2.1 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 (6)

2.2 用matlab编写源程序 (7)

2.3 常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果 (8)

第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理 (10)

3.1 椭圆型方程的五点差分格式的基本思路 (10)

3.2 用matlab编写源程序 (10)

3.3 椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果 (12)

第四章总结 (12)

参考文献 (12)

第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理

1.1常微分方程数值解法的基本思路

常微分方程数值解法(numerical methods forordinary differential equations)计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.

1.2用matlab编写源程序

龙格库塔法：

M文件:

function dx=Lorenz(t,x)

%r=28,sigma=10,b=8/3

dx=[-10*(x(1)-x(2));-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-8*x(3)/3];

运行程序：

x0=[1,1,1];

[t,y]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);

subplot(2,1,1) %两行一列的图第一个

plot(t,y(:,3))

xlabel('time');ylabel('z');%画z-t图像

subplot(2,2,3) %两行两列的图第三个

plot(y(:,1),y(:,2))

xlabel('x');ylabel('y'); %画x-y图像

subplot(2,2,4)

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%画xyz图像欧拉法：

h=0.010;

a=16;

b=4;

c=49.52;

x=5;

y=10;

z=10;

Y=[];

for i=1:800

x1=x+h*a*(y-x);

y1=y+h*(c*x-x*z-y);

z1=z+h*(x*y-b*z);

x=x1;

y=y1;

z=z1;

Y(i,:)=[x y z];

end

plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));

1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果

应用举例：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=)()()()()()()()()())

()(()(t bz t y t x dt t dz t z t x t y t rx dt t dy t y t x a dt t dx a=10,b=8/3,0

)1(-r b ，r-1)和c '（-)1(-r b ，-)1(-r b ，r-1）

，一个稳定的不动点0=（0，0，0），当r>24.74时，c 和c '都变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。

运行结果：

龙格库塔法：

欧拉法：

第二章 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理

2.1 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 用有限差分法解常系数扩散方程

22x

u a t u ∂∂=∂∂ 有加权隐式差分格式

02)1(2a 2111112111=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=+-+++-------+-+-h u u u h u u u u u n

j n j n j n j n j n j n j n

j θθτ 其中10≤≤θ，当2

1=θ时为Crank-Nicolson 格式，当1=θ时为向后差分格式，当0=θ时为向前差分格式。 加权隐式格式稳定的条件是

θ

λ2112-≤a ，当210<≤θ，无限制，