数理统计课后答案-第六章

232.94 53.28
F0.95 (2, 15) = 3.68
对显著水平 α = 0.05 ，查 F 分布表，可得 F1−α ( r − 1, n − r ) = F0.95 ( 2 ,15) = 3.68 ， 因为 FA = 4.37 > 3.68 ，所以拒绝 H 0 ： μ1 =
μ 2 = μ 3 ，结论是：这 3 所小学五年级男
=1
r
,
SST =
∑ j∑ ( i
=1 =1
X ij − X ,SSe =
)
2
∑ j∑ ( i
=1
X ij − X i
)
2
∑ SS i ,SS A =
i =1
ni ( X i ∑ i
r
=1
−X
)
2
可以证明离差分解公式： SST = SS e + SS A ,以及在 H 0 : μ1 = μ2 = ... = μr 成立时有
SS e = 18
SS T = 110
3
r s − 1 = 11
因为 FA = 8.67 > 4.76 = F0.95 (3, 6) ，所以拒绝 H 01 ，品种的不同对于小麦产量有显 著的影响；因为 FB = 2.33 < 5.14 = F0.95 ( 2, 6) ，所以接受 H 02 ，土壤的不同对于小麦产 量没有显著的影响。 6.7 在某种化工产品的生产过程中，选择 3 种不同的浓度： A1 =2% ， A2 = 4% ， A3 = 6% ；
ξ i j ～ N ( μ i j , σ 2 ) ，其中， μ i j = μ + α i + β j ， i = 1, 2, 3 ，
j = 1, 2, 3 。
检验密度的不同对木材的抗压强度是否有显著影响，相当于要检验
H 01 ： α 1 = α 2 = α 3 。
检验加荷速度的不同对木材的抗压强度是否有显著影响，相当于要检验
H 02 ： β 1 = β 2 = β 3 。
计算结果见下表：
B1 A1 A2 A3 X• j
3.72 5.22 5.28
B2
3.90 5.24 5.74
B3
4.02 5.08 5.54
Xi•
3.88 5.18
SS i •
0.0456 0.0152
5.520
0.1064 SS B = 0.0744
4 种不同的温度： B1 =10°C ， B2 =24°C ， B3 =38°C , B4 =52°C ；每种浓度和温度的组合都 重复试验 2 次，得到产品的收率（单位：%）如下：
５
温度
B1
浓度
B2
11，11 8，10 13，14
B3
9 ，13 7 ，11 12 ，13
B4
10 ，12 6 ，10 10 ，14
分位数 F值 302.465 FA = 4.256 F0.95 (2, 12) = 3.89 均方
对显著水平 α = 0.05 ，查 F 分布表，可得 F1−α ( r − 1, n − r ) = F0.95 ( 2 ,12) = 3.89 ， 因为 FA = 4.256 > 3.89 ，所以拒绝 H 0 ： μ1 =
B3 = 4200 ；测得木材的抗压强度（单位：kg/cm 2 ）如下：
３
加荷速度
B1
比重
B2
3.90 5.24 5.74
B3
4.02 5.08 5.54
A1 A2 A3
3.72 5.22 5.28
问： （1）密度的不同对于木材的抗压强度是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） （2）加荷速度的不同对于木材的抗压强度是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） 解 这可以看作是一个不考虑交互作用的双因子方差分析问题。 设在不同的加荷速度下不同 密度木材的抗压强度为
故接受 H 0 ，即在显著性水平 α = 0.05 下认为不同班次产量无显著性差异。
6பைடு நூலகம்5
对 3 种不同密度（单位：g/cm ）的木材： A1 = 0.34～0.47 ， A2 = 0.48～0.52 ，
3
2 A3 = 0.53～0.56 ； 采用 3 种不同的加荷速度 （单位： kg/(cm ⋅ min） )：B1 = 600 ，B2 = 2400 ，
μ 2 = μ 3 ，结论是：这三种教学方法的
效果有显著差异。比较各水平的均值，还可以看出，乙组学生的成绩最高，甲组学生的成绩 最低。 6.2 对某地区 3 所小学五年级男生的身高（单位：cm）进行抽查，测得数据如下： 小学 身 高 第一小学 128.1 134.1 133.1 138.9 140.8 127.4 第二小学 150.3 147.9 136.8 126.0 150.7 155.8 第三小学 140.6 143.1 144.5 143.7 148.5 146.4 问：这 3 所小学五年级男生的身高是否有显著的差异？（显著水平 α = 0.05 ） 解 这可以看作是一个单因子方差分析问题。不同的小学就是因子 A ，设 3 所小学五年级 男生的身高分别为
ξ i ～ N ( μ i , σ 2 ) ，i = 1, 2, 3 。 检验三种教学方法的效果有无显著差异，
１
相当于要检验假设 H 0 ： μ1 = 计算结果见下表： 水平
μ 2 = μ3 。
Xi
133.7333 144.5833
SS i
观测值（身高） 128.1 134.1 133.1 138.9 140.8 127.4 150.3 147.9 136.8 126.0 150.7 155.8 140.6 143.1 144.5 143.7 148.5 146.4
58 92 75
67.8 83.2 73.6 SS A = 604.93
218.8 362.8 271.2 SS e = 852.8
方差分析表为： 来源 平方和 自由度
A
误差 总和
SS A = 604.93
SS e = 852.8
SS T = 1457.73
r −1 = 2 n − r = 12 71.067 n − 1 = 14
X = 23
SS A = 78
SS • j
来源
59
平方和
11
自由度
26
均方
方差分析表为：
F值
8.67
2.33
A B
误差 总和
SS A = 78 SS B = 14
r −1 = 3
s −1 = 2 (r − 1)( s − 1) = 6
26
7
F0.95 (3, 6) = 4.76 F0.95 (2, 6) = 5.14
2.2476 0.0372 0.0232
F0.95 (2, 4) = 6.94 F0.95 (2, 4) = 6.94
因为 FA = 96.88 > 6.94 = F0.95 ( 2, 4 ) ，所以拒绝 H 01 ，密度的不同对于木材的抗压 强度有显著的影响；因为 FB = 1.60 < 6.94 = F0.95 ( 2, 4 ) ，所以接受 H 02 ，加荷速度的不 同对于木材的抗压强度没有显著的影响。
ξ i j ～ N (μ i j , σ 2 ) ， 其中， μi j = μ + αi + β j ， i = 1, 2, 3, 4 ，j = 1, 2, 3 。
H 01 ： α 1 = α 2 = α 3 = α 4 。
检验品种的不同对于小麦产量是否有显著影响，相当于要检验
检验土壤的不同对于小麦产量是否有显著影响，相当于要检验
解 当因子水平的各观测次数可能不同时，因子水平 Ai 下观测次数为 ni ，且
ni ∑ i
=1
r
= n。
此时， X i =
r ni
1
ni
j =1
∑ X ij ,SSi
ni
=
j =1
∑ (X ij
ni
r ni
=1
− X i ,X =
)
2
1
n
=
i =1 j =1
r
∑ ∑ X ij
r
ni
=
1
r
Xi ∑ i
H 02 ： β 1 = β 2 = β 3 。
计算结果见下表：
B1 A1 A2 A3 A4 X• j 26 30
B2 25 23
B3
Xi• 25 26
SS i •
22 20
24.5
21 21
22.5
24 25 20
19 22.0
2 26 2 2 SS B = 14
SS e = 18
分位数
21 20
ξ i j ～ N ( μ i j , σ 2 ) ，其中， μ i j = μ + α i + β j + γ i j ，
A1 A2 A3
149.01 612.83
144.4667
SS A = 465.88
37.413 SS e = 799.25
方差分析表为： 来源 平方和 自由度 均方
F值
FA = 4.37
分位数
A
误差 总和
SS A = 465.88
SS e = 799.25
SS T = 1265.13
r −1 = 2 n − r = 15 n − 1 = 17
习题六
6.1 随机选取 15 位学生，把他们分成三组，每组 5 人，每一组用一种方法教学。一段时间 后，对这 15 位学生进行统考，统考的成绩如下： 方法 成绩 甲 75 62 71 58 73 乙 81 85 68 92 90 丙 73 79 60 75 81 问：这三种教学方法的效果有无显著差异？（显著水平 α = 0.05 ） 解 这可以看作是一个单因子方差分析问题。教学方法就是因子 A ，设三组学生的成绩分 别为
6.6
在农业试验中，选择 4 个不同品种的小麦种植在 3 种不同的土壤上，每块试验田的面 积都相等。各块试验田上得到的小麦产量（单位：kg）分别为：
４
土壤
B1
小麦 品种
B2
25 23
B3
A1 A2 A3 A4
26 30
22 20
21 21
24 25 20 19
问： （1）品种的不同对于小麦产量是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） （2）土壤的不同对于小麦产量是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） 解 这可以看作是一个不考虑交互作用的双因子方差分析问题。 设种在不同的土壤上不同品 种小麦的产量为
4.74
1.5624
平方和
4.96
1.8104
自由度
4.88
1.2152
均方
X = 4.86
SS A = 4.4952
SS • j
来源
SS e = 0.0928
分位数
方差分析表为：
F值
96.88 1.60
A
4.4952 0.0744 0.0928 4.6624
B
误差 总和
r −1 = 2 s −1 = 2 (r − 1)( s − 1) = 4 r s −1 = 8
ξi ～ N μi ,δ 2 ,i = 1,2,3. H 0 : μ1 = μ2 = μ3
SS A FA = SSe
(
)
(r (n
− 1) − r)
14365.53 = 30453.2
2 = 1.8869
8
查表
F1 − α ( r − 1,n − r ) = F0.95 ( 2,8 ) = 4.4589；FA < F1 − α ( r − 1,n − r )
SS A FA = SSe
(r (n
− 1) − r)
～F
(r
(
− 1,n − r )
对于给定的显著性水平 α ,H 0 的拒绝域为 FA > F1− α r − 1,n − r 。
２
)
6.4 对某厂早，中，晚三班的产量统计如下： 班次 产量 早班 279 334 303 338 198 中班 229 274 310 晚班 210 285 117 问在显著性水平 α = 0.05 下能否认为不同班次的产量无显著性差异？ 解 方差分析的前提为早、中、晚班的产量均服从正态分布,相互独立且方差相等，
A1 A2 A3
10 ，14 7 ，9 5 ，11
问： （1）浓度的不同对产品收率是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） （2）温度的不同对产品收率是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） （3）浓度与温度的交互作用对产品收率是否有显著的影响？（显著水平 α = 0.05 ） 解 这是一个考虑交互作用的双因子方差分析问题。浓度就是因子 A ，温度就是因子 B 。 设各种浓度与温度下的收率为
ξ i ～ N ( μ i , σ 2 ) ， i = 1, 2, 3 。检验三种教学方法的效果有无显著差异，相当于要检
验假设 H 0 ： μ1 =
μ 2 = μ3 。
观测值（成绩）
计算结果见下表： 水平
Xi
73 90 81
SS i
A1 甲 A2 乙 A3 丙
75 81 73
62 85 79
71 68 60
生的身高有显著差异。比较各水平的均值，还可以看出，第二小学五年级男生的身高最高， 第一小学五年级男生的身高最低。
6.3 单因子的方差分析中，若每个水平下对指标的观测次数是不同的，水平 Ai 下指标的观 测值记忆为 X i 1 ,X i 2 ,...,X in
i
(i
= 1,2,...,r ) .试分析，此时如何进行方差分析？