定积分的背景(1)

曲边梯形
在直角坐标系中,我们把由直线
y
y f ( x)
x a, x b(a b) ,
o
a
b
x
y 0 和曲线 y f ( x)所围成的图形称为曲边梯形.
y y=f (x)
x=a
O a
x=b
b x
怎样求这样的曲边梯形的面积呢 ? y f ( x)
y y=f (x)
x=a
O a
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等图 形的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如 何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分 要解决的问题. 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛 的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几 何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的 概念.
图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s1 (0 0.2 0.4 0.6 0.8 ) 0.2 0.24 .
2 2 2 2 2
y
o
s1
1
（2）
x
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
x=b
b x
曲边梯形的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” ——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
曲边梯形的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” ——刘徽
估计误差不会超过 S1 - s1 =0.2
y
y x2
o
1
x
分析 首先，将区间[0，1]5等分，如图所示. y
o
S1
（1）
1
x
图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显 然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩 估计值，有
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44
提示：二者之差为S1-s1=0.2
如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2. y
o
1
（3）
xBiblioteka Baidu
我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385
.
不足估计值为
s2 (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 0.285
.
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用 S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
1
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
y
o
x
练一练：
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面 积的估计值，并写出估计误差.（把区间[0，1] 5等分 来估计）
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
曲边梯形的面积
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” ——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
图中阴影部分是由抛物线 y x 2 ，直线 x 1 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形 问题 的面积 S .
解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
估计值
s1 和过剩估计值 S1 ，如下：
s1 (03 0.23 0.43 0.63 0.83 ) 0.2 0.16
S1 (0.23 0.43 0.63 0.83 13 ) 0.2 0.36