数学建模的相关问题求解方法

数学建模的相关问题求解方法：

1.量纲分析法

是在物理领域建立数学模型的一种方法，主要是依据物理定律的量纲齐次原则来确定个物理量之间的关系，量纲齐次原则是指一个有意义的物理方程的量纲必须一致的，也就是说方程的两边必须具有相同的量纲，即： dim左=dim右并且，方程中每一边的每一项都必须有相同的量纲。

例子见书《数学建模方法与实践》P17—P23

2.线性规划法

线性规划法是运筹学的一个重要分支应用领域广泛。从解决各种技术领域中的优化问题，到工农业生产、商业经济、交通运输、军事等的计划和管理及决策分析。

线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：

（1）每一个问题都有一组未知数（x1,x2,……，xn）表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。由于实际问题的要求，通常这些未知数取值都是非负的。

（2）存在一定的限制条件（即约束条件），这些条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等式来表示。

（3）有一个目标要求，称为目标函数。目标函数可表示为一组未知数的线性函数。根据问题的需要，要求目标函数实现最大化或最小化。

例子见书《数学建模方法与实践》P26—P30

3.0—1规划法

用于解决指派问题，是线性规划的特殊情况。例子见书《数学建模方法与实践》P31

4.图解法

用于求解二维线性规划的一种几何方法，其方法步骤见书《数学建模方法与实践》P34

5.单纯形法

也是一种求解线性规划的常用方法，其基本原理和方法见书《数学建模方法与实践》P37——P39，计算步骤P40。

6.非线性规划法

在目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表示时，如果目标函数或约束条件中，有一个或多个是变量的非线性函数，则称这种规划问题为非线规划问题。例子见书《数学建模方法与实践》P44——P45

7.最短路及狄克斯特拉算法

狄克斯特拉算法是图论中用于计算最短路的一种方法，详见书《数学建模方法与实践》P58

8.克罗斯克尔算法

克罗斯克尔算法是用来求解一个连通的赋权图的最小生成树的方法，详见书《数学建模方法与实践》P59

9.普莱姆算法同上

10.欧拉回路及弗洛来算法

欧拉回路是指若存在一条回路。使他经过图中每一条边且只经过一次又回到起始点，成这种回路为欧拉回路，并成图为欧拉图。在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数。欧拉图的性质见书《数学建模方法与实践》P61。弗罗莱算法是计算欧拉回路的一种方法。详见书《数学建模方法与实践》P61。

11.网络流与最大流最小截集定理

对于任意给定的图，图上不同的截集有不同的容量。同时图上不同的流又不同的流值。称具有最小容量的截集为最小截集，具有最大容量的流为最大流。网络理论的基本定理将证明最大流的流值等于最下截集的容量。定理见书《数学建模方法与实践》P65。

12.概率统计模型

在实际生活中，往往会遇到一些随机出现的事件，如物质的“供需”。还有一些需根据出现的数据来归类，从而确定某一事件的归属问题。解决这些问题的数学工具就是概率统计的知识。例子见书书《数学建模方法与实践》P73。其中有随机性存储模型和多元统计判别模型。但是概率统计方法有很多不足之处：要求大量数据、要求有典型的统计规律、计算工作量等。

13.层次分析法

层次分析法是一种定量分析和定性分析相结合的多目标决策分析方法。特别是将决策者的经验给与量化，对目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的情况下实用。层次分析法原理、标度、层次模型、计算方法、层次分析法的计算步骤等见书《数学建模方法与实践》P93—P96。

14.变分法

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法。最优控制问题是现代科学技术中经常遇到的研究课题。利用经典的变分法可最大（小）值原理，可以对实际动态系统的最优控制问题建立数学模型。书《数学建模方法与实践》P100。另见书《数学建模教材》P218。

15.曲线拟合的线性最小二乘法

线性最小二乘法

曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n 个点(x i ,i y )

i = 1,2,……,n ，i

x 互不相同，寻求 一个函数（曲线） y = f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。详见书《数学建模教材》P189

线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法

基本思路是：令

1212()()()()m m f x x x x a a a r r r =++…+,其中r (x ) k 是事先选定的一组线性无关的函数，k a 是待定系数(k = 1,2,……,m ,m < n )。拟合准则是使

i y ，i = 1,2,……,n ，与()i f x 的距离i δ的平方和最小，称为最小二乘准则。

16.插值法

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显

插值方法

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。详见书《数学建模教材》P175

17.偏最小二乘回归

在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析（MLR ），提取自变量组主成分的主成分回归分析（PCR ）等方法外，还有近年发展起来的偏最小二乘（PLS ）回归方法。

偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。

偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。详见书《数学建模教材》P531。

18.排队论

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。

排队论（Queuing Theory ）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分：

（i ）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。（ii ）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。（iii ）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 详见书《数学建模教材》P119

19．对策论

对策论亦称竞赛论或博弈论。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 在日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为。具有竞争或抗性质的行为称为对策行为。在这类行为中。参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标和利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。详见书《数学建模教材》P155。

20. 马氏链模型

现实世界中有很多这样的现象：某一系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。上节中的几个例子也均属此类。描述这类随机现象的数学模型称为马氏模型。详见书《数学建模教材》P

21.神经网络模型

人工神经元模型

作为人工神经网络（artificial neural network ，以下简称NN ）的基本单元的神经元模型，它有三个基本要素：（i ）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。（ii ）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。（iii ）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内（一般限制在(0,1)或(−1,1)之间）。

网络结构及工作方式

除单元特性外，网络的拓扑结构也是NN 的一个重要特性。从连接方式看NN 主要有两种。

（i ）前馈型网络（ii ）反馈型网络 详见书《数学建模教材》P232

从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的