(完整版)初中数学培优竞赛讲座第23讲__简单的面积问题
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
数学面积问题：解决面积问题
数学面积问题：解决面积问题面积是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何学、物理学等领域。
解决面积问题是数学学习中的基本内容之一。
本文将介绍解决面积问题的方法和技巧，帮助读者在数学学习中更好地掌握面积的概念和应用。
一、平面图形的面积计算方法平面图形的面积计算方法因图形的不同而有所差异。
下面以常见的几个平面图形为例进行介绍。
1. 矩形的面积计算矩形是最简单的平面图形之一，其面积的计算公式为：面积 = 长×宽。
例如，一个长为5米，宽为3米的矩形的面积为15平方米。
2. 三角形的面积计算三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高 ÷ 2。
其中，底边长为三角形的任意一条边的长度，高为从底边到不与底边平行的另一边的垂直距离。
例如，一个底边长为6米，高为4米的三角形的面积为12平方米。
3. 圆的面积计算圆的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方（其中，π≈3.14）。
例如，一个半径为2米的圆的面积约为12.56平方米。
二、面积问题的应用面积问题在实际生活中有着广泛的应用，特别是在建筑、设计、商业等领域。
下面将介绍一些与面积相关的实际问题。
1. 人体表面积的计算人体表面积的计算对于医疗、药物治疗的计量等方面非常重要。
医学界一般采用Du Bois公式进行计算，其中公式为：表面积 =0.007184 ×身高的0.725 ×体重的0.425。
2. 房屋装修的面积计算在房屋装修过程中，需要计算墙壁、地板、天花板等的面积，以确定需要购买的材料的数量。
算好面积后还可以计算装修费用。
3. 土地测量的面积计算在土地测量和土地购买过程中，需要准确计算土地的面积。
这可以通过测量土地的边长和角度，或者通过使用全球定位系统（GPS）进行计算。
三、解决面积问题的技巧面积问题的解决需要一些技巧和方法。
下面将介绍一些解决面积问题的技巧。
1. 图形的拆分对于复杂的图形，可以通过拆分为熟悉的简单图形来计算面积。
培优联盟骨干教师数学讲座-竞赛培优课件讲座(共82张PPT)
单墫:怎样搞数学竞赛 【很重要的高中竞赛学习策略】
在进度方面： 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中 的数学内容全部学完，并在高一上 学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了120分，不可 小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本 竞赛书就可以了，因为那些书 上讲得较粗略；要多向老师学习并要不断地总结重要的思想方法，使自己能够 灵活运用。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——
费马点，到三角形顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小 几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等试，三角形不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 N个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
3、立体几何 多面角，多面角的性质；三面角、直三面角的基本性 质；正多面体， 欧拉定理；体积证法；截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应； 二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥 曲线的切线和法线；圆的幂和根轴。 5、其他 抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖。
面积问题与面积方法
面积问题与面积方法面积是几何学中的一个重要概念，它描述的是二维平面上的一个区域的大小。
面积问题是与面积相关的数学问题，可以通过不同的面积方法来解决。
面积是一个物体所占据的平面区域的大小。
一般来说，平面上的物体可以被划分为无数个小的矩形、三角形或其他形状的小块，这些小块的面积可以通过不同方法来计算。
以下将介绍几种常见的面积计算方法。
1.矩形面积方法：矩形是最简单的平面图形之一，其面积可以通过公式A=l×w来计算，其中A代表面积，l代表矩形的长度，w代表矩形的宽度。
根据这个公式，我们可以得出一个矩形的面积。
2.三角形面积方法：三角形是另一个常见的平面图形，其面积可以通过两个边长和夹角来计算。
如果已知三角形的底边长度b和对应的高h，可以使用公式A=0.5×b×h计算三角形的面积。
3.梯形面积方法：梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积可以通过两个平行边的长度和梯形的高来计算。
如果已知梯形的上底长a、下底长b和高h，可以使用公式A=0.5×(a+b)×h计算梯形的面积。
4.圆形面积方法：以上介绍了几种常见的面积方法，但实际上还有更多的面积计算方法，例如多边形的面积计算、不规则图形的面积计算等。
不同的图形有不同的面积计算方法，因此在解决面积问题时需要灵活运用不同的方法。
除了基本的面积计算方法外，还有一些面积问题需要通过一些特殊的技巧来解决。
例如，在解决复杂图形的面积问题时，可以通过将图形分割为较简单的几何图形来计算每个部分的面积，然后将这些部分的面积相加得到整个图形的面积。
这种方法被称为分割法。
另一个常见的面积问题是求解一个围成的区域的面积。
例如，给定一条曲线的方程，可以通过求解曲线与坐标轴之间的交点，然后计算每个小的矩形或三角形的面积，并将它们相加得到整个区域的面积。
面积问题在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师需要计算房间的面积以确定材料的用量；在农业中，农民需要计算土地的面积以确定农作物的种植面积；在地理学中，需要计算地图上国家或城市的面积以了解其大小等。
初中数学面积法总结归纳
初中数学面积法总结归纳面积是数学中一个重要的概念，它在初中数学中有着广泛的应用。
通过计算几何图形的面积，我们可以解决很多实际问题。
本文将对初中数学中常用的面积法进行总结和归纳。
1. 矩形和正方形的面积计算方法矩形和正方形都是常见的几何图形，计算它们的面积非常简单。
矩形的面积公式是“面积 = 长 ×宽”，即A = l × w；正方形的面积公式是“面积 = 边长 ×边长”，即A = s × s。
其中，A表示面积，l表示矩形的长，w表示矩形的宽，s表示正方形的边长。
2. 三角形的面积计算方法三角形是初中数学中研究得较多的几何图形之一，计算其面积有多种方法。
常用的方法有以下两种：a) 高 ×底边法：三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算。
即A = 1/2 ×底边 ×高。
其中A表示三角形的面积，底边表示三角形的底边长度，高表示从顶点往底边所画的垂直线段的长度。
b) 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。
公式为A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中A表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长，a、b、c表示三角形的三边长度。
3. 平行四边形的面积计算方法平行四边形是一种既有特殊性又常见的四边形，计算其面积有特定的方法。
平行四边形的面积等于底边长度与高的乘积，即A = 底边 ×高。
其中A表示平行四边形的面积，底边表示平行四边形的底边长度，高表示从底边上某一点到与之平行的另一边的垂直距离。
4. 梯形的面积计算方法梯形也是常见的四边形，在计算其面积时需要使用特定的公式。
梯形的面积等于上底和下底长度之和的一半乘以高，即A = 1/2 ×(上底 + 下底) ×高。
其中A表示梯形的面积，上底和下底分别表示两边平行的底边长度，高表示两底边之间的垂直距离。
通过以上总结归纳，我们掌握了初中数学中常用的面积计算方法，包括矩形和正方形的计算、三角形的高×底边法和海伦公式、平行四边形的计算以及梯形的计算。
初中数学竞赛专题选讲-面积法
初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。
2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。
如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝ 求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值 解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92， 同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++） 例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。
九年级面积问题知识点归纳总结
九年级面积问题知识点归纳总结面积是数学中一个重要的概念，它在日常生活中的应用广泛。
九年级学生需要掌握与面积有关的几何图形的计算方法，理解面积的性质和应用。
本文将对九年级面积问题的知识点进行归纳总结。
一、矩形的面积计算方法矩形是最基础的几何图形之一，其面积可以通过长度和宽度相乘得到。
设矩形的长度为l，宽度为w，则矩形的面积S为S = l * w。
二、平行四边形的面积计算方法平行四边形是另一个常见的几何图形，它的面积可以通过底边和高的乘积得到。
设平行四边形的底边为b，高为h，则平行四边形的面积S为S = b * h。
三、三角形的面积计算方法三角形也是常见的几何图形，它的面积计算稍微复杂一些。
九年级学生需要掌握两种计算三角形面积的方法：通过底边和高的乘积，以及通过三边的长度计算。
1. 通过底边和高的乘积：设三角形的底边为b，高为h，则三角形的面积S为S = 0.5 * b * h。
2. 通过三边的长度计算：设三角形的三边分别为a、b、c，则可以使用海伦公式计算三角形的面积。
海伦公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a + b + c) / 2。
利用海伦公式，可以根据三边的长度计算出三角形的面积。
四、圆的面积计算方法圆是一个特殊的几何图形，九年级学生需要掌握圆的面积计算方法。
圆的面积可以通过半径的平方乘以圆周率π来计算。
设圆的半径为r，则圆的面积S为S = π * r^2。
五、复合图形的面积计算方法复合图形是由两个或多个基本图形组成的图形。
计算复合图形的面积需要将其分解为基本图形的面积之和。
九年级学生需要学会计算常见的复合图形，如矩形与三角形的组合、矩形与圆的组合等。
六、面积性质和应用九年级学生还需要了解面积的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 对于相似的图形，其面积与边长的比例为平方关系。
即如果两个图形的边长之比为a：b，那么它们的面积之比为a^2：b^2。
2. 面积可以应用于解决实际问题，如计算土地面积、涂料要求以及物体的表面积等。
初中数学竞赛讲座《面积问题》
【面积问题的解题方法望而生畏， 不知从何下手，通过观察，显然该三角形 不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。 由根号内的代数式是两数的平方和，联想 到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为 2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
【面积问题的解题方法 】
七、有关比例定理的运用 例7．已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 △ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求 △ABO的面积．
九年级竞赛辅导
面积问题
【赛点解读】
面积题在竞赛中经常出现，主要形式之 一是求阴影部分的面积，也有一些题表面 上不是求面积，实际上通常是用面积关系 来求解．常用到以下公式、公理和定理．
【面积问题的解题方法 】
一、用规则图形的和、差求面积
【面积问题的解题方法 】
二、割补法求面积
【面积问题的解题方法 】
三、等积变形法
【面积问题的解题方法 】
四、格点多边形法
【面积问题的解题方法 】
五、用方程（组）思想求面积：根据图形的对称性，将图形分成几类，
用字母表示这些图形的面积，然后根据图形列出方程组，通过解方程组来求 所求图形的面积。
例5．如图，在边长为a的正方形内，分别以四边为直径画四个 半圆，求这四个半圆所围成的阴影部分的面积。
中考数学复习：面积专题ppt课件
在 y＝kx－3 中，令 x＝0，得 y＝－3.
∴OC＝3.∴OD＝12OC＝32，D0，－32. 在 y＝－x2 中，令 y＝－32，得－32＝－x2.
解得 x＝ 26或 x＝－ 26.∴B 26，－32.
把
B
26，－32代入
y＝kx－3，得
－32＝ 26k－3.解得 k＝ 26；
当 k ＜ 0 时 ， 如 备 用 图 ， 过 点 B ′ 作 B ′ F ∥ A B 交 y 轴 于 点 F. 在y＝kx－3中，令x＝0，得y＝－3. ∴OE＝3. ∵△B′AB的面积与△OAB的面积相等， ∴OE＝EF＝3. ∵点B，B′关于y轴对称， ∴FB＝FB′，∠FGB＝∠FGB′＝90°. ∴∠FB′B＝∠FBB′. ∵B′F∥AB， ∴∠EBB′＝∠FB′B＝∠FBB′.
4．相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 5．全等三角形的面积相等，全等几何变换有平移、旋转与轴对称． 6．面积等高模型：
必备素养
几何直观，模型观念，计算能力；数形结合思想，转化思想．
素 养 积 累 ： 割补法求面积
例 1 (2023·巴中) 如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D， E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且 DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
素 养 积 累 ： 相似与面积
例 1 (2023·创编) 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点 为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与 △ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比
人教版数学九年级上册21.3.3 面积问题课件(共25张PPT)
20-x x
-x
32
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）.
x
∴取x=2. 答：道路的宽为2米.
20 20-x 32-x
x
32
例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样围 成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的 篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50， 整理得： x2-10x+25=0， 解得： x1=x2=5，所以20-2x=10. 答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长 10m，另外两边长5m).
道路的宽为多少？
利用“图形经过移动，它的面积 大小不会改变”的性质，把纵、 20 横两条路移动一下，使图形变 成规则的，则列方程就容易些
x
20-x x
32-x 32
x
解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为
(32-x)cm，实际长为(20-x)cm.
20
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x2-2x+100=0
中央图形长×中央图形宽= 3 27 21
4
21cm
上下边衬 ：左右边衬=9 ：7
分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬 与左、右边衬的宽度之比是
27－9a ∶21－7a ＝9:7
2
新知学习
封面长 ：封面宽=9 ：7
探究
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第27讲抛物线与直线形(2)--由动点生成面积问题
第27讲抛物线与直线型（3）——由动点生成面积问题科学家就是为了解决重大的科学问题来到世上，绝不是为了受到别人的提拔和奖励才做研究的，从中学开始，我就自己找困难的几何问题，寻找自己的数学之路。
——丘成桐知识纵横面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。
由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。
解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1）图形的割补；（2）等积变形；（3）等比变化。
例题求解【例1】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（昆明市中考题）思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线1-=x ，当点C 位于的对称轴与线段AB 的交点时，BOC ∆的周长为最小，为此需求出直线AB 的解析式；对于（4）过点p 作y 轴的平行线交AB 解析式；对于（4），过点p 作y 轴的平行线交AB 于D ，则))((21A B P D PBD PAD PAB x x y y S S S --=+=∆∆∆，代入展开整理得关于x 的二次函数。
【例2】 如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），二次函数2x y =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式；（2）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABC ABK S S ∆∆=，求点k 的坐标；（威海市中考题）思路点拨 （1）设k 点坐标为),0(h ，通过图形的分割计算，建立h 的方程；（2）K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手。
人教版数学八年级培优竞赛 四边形的面积问题 专题课件
D
E
F C
G
A
B
第7题图
AE
F
PN
QM
D m1
H m2 m3
B
G C m4
l1 l2 l3 l4 第8题图
A
D
F E
B 第9题图 C
8.如图，已知直线 l1、l2、l3、l4 及 m1、m2、m3、m4 分别互相平行，且 S 四边形 ABCD＝100，S 四边形 EFGH＝60.则 S 四边形 PQMN ＝ ___2_0____.
11.如图，在四边形 ABCD 中，设∠BAD＋∠ADC＝270°，且 E、F 分别为 AD、BC 的中点，EF＝4，以 AB、CD 为直径作半圆，求这两个半圆面积的和.
AE D
B
F
C
连接 BD，取 BD 中点 G，连接 GE，GF，则 GE＝ 1 AB，GF＝ 1 CD，GE⊥GF，
2
2
故两个半圆面积之和为 1 GE2 GF2 8 . 2
关系如图 2 中折线段 OEFGHI 所示.
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）若直线 PD 将五边形 OABCD 分成面积相等的两部分，确定此时点 P 的
位置。
y(cm)
D
y GH
C
B
4
F
O
A
x(cm) O 3 E 6 11 12
I t(s)
m n 6
（1）设
OD＝m，OP＝n，显然
m＞3，则
取 G（6，2），作 GH⊥x 轴，则四边形 GHOC 是矩形且与四边形 OABC 的面积 相等，则 EF 必定过点 Q（3，1），于是 C 到直线 l 的最大距离为 CQ＝ 10 .
素养提升
2019-初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们丈量土地面积的需要．面积不单是几何学研究的一个重要内容，并且也是用来研究几何学的一个有力工具．下边，我们把常用的一些面积公式和定理列举以下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋ c) 是半周长， r 是△ ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相像三角形的面积之比等于相像比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积此中 r 为半径， l 为弧长，θ为弧 l 所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．相关图形面积的计算和证明解由于 CD⊥ AB， AC=CB，且△ ABD内接于半圆，由此可得所以，暗影部分AEFBDA的面积是例 2 已知凸四边形 ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O，且△ ABC，△ ACD，△ ABD的面积分别为 S1=5， S2=10， S3 =6．求△ ABO的面积 ( 图 2-128) ．解第一，我们证明△ ABC与△ ACD的面积比等于 BO与 DO的比．过 B，D分别作 AC的垂线，垂足为 E， F．于是 Rt△ BEO由题设设 S△AOB=S，则所以例 3 如图 2-129 ， AD， BE，CF 交于△ ABC内的一点 P，并将△ ABC分红六个小三角形，此中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．剖析假如能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ ABC的面积即可得悉．依据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x 和 y，则即又即①÷②得再由②得 x=56．所以S△ABC＝ 84＋ 70＋ 56＋ 35＋40＋ 30=315．例 4 如图 2-130 ，经过△ ABC内部一点 Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1， S2， S3，求△ ABC的面积．解为方便起见，设S△ QDG=S′1， S△ QIE=S′2， S△ QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中能够解得所以例 5 在一个面积为 1 的正方形中结构一个如图2-131 所示的正方形：将单位正方形的每一条边n 平分，而后将每个极点和它相对的极点最靠近的分点连结起来．假如小正方形(图中暗影部分 ) 的面积恰解如图 2-131 ，过 F 作 BC的平行线交BG于 H，则∠ GHF=∠ CED，∠ FGH=∠ DCE=90°，故n2-n-90=0 ，所以 n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，固然没有直接波及到面积，但是若灵巧地运用面积知识去解答，往往会声东击西，事半功倍．例 6 在△ ABC内部或界限上任取一点P，记 P 到三边 a，b，c 的距离挨次为x，y，z．求证： ax+by+cz 是一个常数．证如图 2-132 ，连结 PA， PB ， PC，把△ ABC分红三个小三角形，则S△ABC＝ S△PAB＋S△PCB＋ S△PCA所以 ax ＋ by＋cz=2S△ABC，即 ax＋ by＋ cz 为常数．说明若△ ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例 7 如图 2-133 ，设 P 是△ ABC内任一点， AD， BE，CF是过点 P 且分别交边BC， CA，AB 于 D， E， F．求证：证第一，同例 2 近似，简单证明说明本例的结论很重要，在办理三角形内三条线交于一点的问题时，经常能够用这一结论去解决．例 8 如图 2-134 ，已知 D， E， F 分别是锐角三角形ABC的三边 BC， CA，AB 上的点，且AD， BE， CF订交于点 P， AP=BP=CP=6，设 PD=x， PE=y，PF=z，若 xy ＋ yz+zx=28 ，求 xyz 的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz ＋ zx) ＋36(x+y ＋ z) ＋ 324=xyz+6(xy ＋ yz＋ zx)+36(x+y ＋ z) ＋ 216，2019-2020 年初中数学比赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第23讲简单面积问题
第二十三讲简单的面积问题几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的看法，求图形的面积是平面几何中常有的根本问题之一．平面几何图形形状不相同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：1．和差法把图形面积用常有图形面积的和差表示，经过老例图形面积公式计算．2．运动法有时直接求图形面积有困难，可经过平移、旋转、割补等方式，将图形中的局部图形运动起来，把图形转变成简单观察或解决的形状，即可在动中求解．3．等积变形法即找出与所求图形面积相等或相关系的特别图形，经过代换转变求图形的面积．例题【例 1】 (1)如图 a，边长为 3cm，与 5cm 的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个极点为圆心，边长为半径的圆弧，那么阴影局部的面积是cm 2(π取 3)．( “希望杯〞邀请赛试题)(2)若是图 b 中 4 个圆的半径都为a，那么阴影局部的面积为．(江苏省竞赛题)思路点拨经过连结或补形，把图形进行切割和重新组合，变不规那么图形为规那么图形．(1)连 AC 、 BF．(2)连 AD ， BC，CD ，那么S阴影是由 ABCD 围成阴影面积的 6 倍．注：促使面积比与对应线段比之间的相互转变．是求图形面积的一个常用技巧，解题的要点是加强对图形结构的解析，搜寻，共高或共底的三角形．【例 2】如图，梯形ABCD 被对角线分为 4 个小三角形，AOB 和BOC 的面积分别为25cm2和 35cm2，那么梯形的面积是m2．A ．144B ． 140C． 160D．无法确定( “五羊杯〞邀请赛试题)思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求DOC 的面积，解题的要点是经过线段的比把三角形面积联系起来．【例 3】依照图中绘出的小三角形面积的数据，求△ ABC的面积．(新加坡数学竞赛题)思路点拨设 S△AGE＝ x， S△BFG =y ，建立关x， y 的方程组，经过代数化解题．【例 4】如图，△ ABC 的面积为 1， D、 E 为 AC 的三均分点，F、 G 为 BC 的三均分点．求： (1) 四边形 PECF 的面积；(2)四边形 PFGN 的面积．1思路点拨 (1)连 CP ，设 S △ FCF =x ， S △ FCE =y ，可建立关于 x ，y 的方程组，解题的要点是把相关图形的面积用于 x ， y 的代数式表示，并利用均分点导出隐含图形的面积； (2) 连 NC ，仿 (1) ，先求出△ BNC 的面积，再得出△ BNG 面积，进而可求四边形 PFGN 的面积．注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清楚光亮地表示图形面积之间的关系，进而可以化解或降低问题的难度．【例 5】在方格纸中，每个小方格的极点叫做格点，在2× 2 方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形．请尽可能多地找出答案，在搜寻答案的过程中你能发现什么规律吗?思路点拨 本例是一道开放式研究性问题， 假设没有规律性的认识， 那么难免遗漏或重复，合适的方法是：选择一些图形作根本图形，再经过根本图形的组合尽可能多地找出解答．学力训练1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案， 图中阴影局部为红色． 假设每个小长方形的面积都是1，那么红色的面积是 ．(山西省中考题 )2．如图， 4 个半径为 lcm 的圆相靠着放在一个正方形内，那么阴影局部的面积是cm 2(精确到 0． 01)．3．如图，在长方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点，假设 ABDF 的面积为 6 平方厘米，那么长方 形 ABCD 的面积是 平方厘米． 4．如图，假设长方形 APHM 、 BNHP 、 CQHN 的面积分别为 7、4、 6，那么阴影局部的面积是 ．(“五羊杯〞竞赛题 )5．如图， 一个大长方形被两条线段 AB 、CD 分成四个小长方形， 若是其中图形 I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为 8， 6， 5，那么阴影局部的面积为 ()． (江苏省竞赛题 )9 7 10 15A ．B ．C ．D ．22386．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影局部 )的面积为 () ．A ． a2a2B ． 2 a2a2C ． 1 a2a2D ． a 21a 2〔广东省中考题 )2427．如，△ ABC 中，点 D 、E、F 分在三上， F 是 AC 的中点， AD 、BE、CF 交于一点G，BD ＝ 2DC ，S＝3，S△GDC ＝ 4，△ ABC 的面是 ()．(2002 年湖北省州市中考 )△GECA ．25B ．30C． 35D． 408．如，正方形 ABCD 中， E、 F 分是BC、 CD上的点， AE 、 DE、 BF、 AF 把正方形分成8 小，各小的面分 S1 28，比3278的大小，并明原由．(江省 )、S、⋯S S与S+S+S9．将△ ABC 分成面相等的 5 局部，并指出头相等的是哪 5 局部 (只在上保存切割印迹和必要的注，不写作法 )．10．2002 年 8 月，在北京召开了国数学家大会，大会会如所示，它是由四个相同的直角三角形与中的小正方形拼成的一个大正方形，假设大正方形的面是13，小正方形的面是1，每个直角三角形的两条的立方和等于．11．如，在方形ABCD 中， DM ：MC=2 ：1， AN ＝ a，NB ＝ b，DN 是以 A 心， a 半径的一段弧， NK 是以 B 心， b 半径的一段弧，阴影局部的面S 阴=．(广西 )12．如，ABCD 是平行四形， E 在 AB 上，F 在 AD 上，S=2S＝1=1， S=．△BCE△CDF S ABCD△ CEF4(“希望杯〞邀)13．如，三角形ABC 的面1，BD ：DC ＝ 2：1，E 是 AC 的中点， AD 与 BE 订交于点 P，那么四形 PDCE 的面．( 江省 )14．如，点 E、F 分是方形ABCD 的 AB 、BC 的中点， AF ，CE， AF 、CE 交于点 G，S四边形AGCD= S长方形 ABCD〔〕． (全国数学 )5432A ．B ．C．D．654315．如，凸四形AB(0 中，角 AC 、BD 订交于 O 点，假设三角形AOD 的面是2，三角形 OOD 的面是 l ，三角形 COB 的面是 4，四形 ABCD 的面是 ()．A ．16D．15C．14D．13( “希望杯〞邀)316． 如图， S＝1，假设 S ＝S=S ，那么 S ()．△ ABC△ BDE△ DEC△ACE△ ADEA ．1B ．1C ．1D ．1567 817．己如，△ ABC 的面积为 1，分别延长 AB 、 BC 、CA 到 D 、E 、F ，使 AB=BD ， BC=CE ，CA ＝ AF ，连DE 、EF 、FD ，求△ DEF 的面积．18．如图， 长方形的面积是 36 平方厘米， 在边 AB 、AD 上分别取点 E 、F ，使得 AE=3EB ，DF ＝ 2AF ，DE 与 CF 的交点为 O ，求△ FOD 的面积． (第 1l 届“希望杯〞邀请赛试题)19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的 8 块，分别种上不相同颜色的花．(1) 若是要求这样分成的 8 块的形状也相同，请你画出几种设计方案；(2) 为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗? (3) 若是要 8 块中的每 4 块形状相同，应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意．20．如图，四边形 ABCD 面积为 S ，E 、F 为 AB 的三均分点， M 、N 为 DC 的三均分点．试用 S 的代数式表示四边形 EFNM 的面积．4参照答案56。
初中奥数培优数学竞赛专题专题25 图形面积的计算
，
SPCA =3y
于是
x 3 3x
y y
1 3 1 3
①+②，得 （4 x y） 2 ， 3
∴
x
y
1 6
，即
S PECF
=
1 6
.
例 6 设 SABCD =a
，因为
E,F
分别是
AB,BC
的中点，所以 S ADE
S ABF
a 4
.
∴ S APD S四边形BEPF .
a
如图，连接
EF,DF，则
【例 4】 如图，四边形 ABCD 被 AC 与 DB 分成甲、乙、丙、丁 4 个三角形，已知 BE=80 cm，CE=60 cm，DE=40 cm，AE=30 cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
（“华罗庚杯”竞赛决赛试题） 解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的 突破口.
3
5
长方形 ABCD 的面积是_________cm2.
（北京市“迎春杯”邀请赛试题）
3.如图，边长为 3 厘米与 5 厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点 为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.
（“希望杯”邀请赛试题） 4.如图，若正方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为 7，4，6，则阴影部分的面积是_____.
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
专题 25 图形面积的计算
例 1 196 提示： △ = △ − △ = 12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.
专题23面积的计算答案
专题23 面积的计算例1．22 提示：连接AF ． 例2．选C 提示：连接DE ．例3．312- 提示：连接GA ，HB ，EC ，FD ，AC ，BD ，则(1)(1)HAE HAB ABD S m S m mS =+=+•△△△，同理(1)FCG BCD S m m S =+△△，故+(1)HAE FCG ABCD S S m m S =+•△△，同理+(1)EBF GDH ABCD S S m m S =+△△.例4． 提示：过E 作EF ∥BC 交AB 于F ，△AEF ≌△ADE ≌△ADQ ，又△AED ∽△PEC ，例5． 提示：（1）362y x =-+（0≤x ≤4） （2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6.例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PD S AA AD BC AA ===△△则． 同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△， 故++=1BPC PCA PABABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△． （2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=. A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值． 10． 提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线． 11．（1）结论仍然成立，证明略．（2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略 （2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC ''==△△ （3）120°，32aB 级12．256 3．3122n m + 4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略 （2）10 9．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ， S △BDC=122⨯⨯= （2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4， 由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQRS CR SPQ ==PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2， ∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)5(32+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．当t ＝6时，S 最大值＝23． 综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．图c图b图a10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x －14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10． 综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．图a图b图c11．∵∠HBD＝∠HAE，∴Rt△BDH∽Rt△ADC．∴HDDCBDAD=．又BD＝DC＝21BC，12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l．过点D作DA⊥OB于A，则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心．∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将△DOA的面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，直线PH即为所求直线l．设直线PH的表达式为y＝kx＋b，且点P(4，2)，∴2＝4k＋b，即b＝2－4k，∴y＝kx＋2－4k．∵直线OD的表达式为y＝2x，∴⎩⎨⎧=-+=xykkxy242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=kkykkx284242，∴点H的坐标为(kk--242，kk--284)．∴PH与线段AD的交点F的坐标为(2，2－2k)，∴0＜2－2k＜4，∴－1＜k＜1．。
九年级上册第二十一章一元二次方程(讲课)一元二次方程综合与实践之面积问题(初稿)PPT
x x =50（不合题意，舍去）， =2 x∴ =2 m 答：小道的宽是2 .
某农户家门口的果园是长90米、宽 60米的矩形，为配合当地政府的乡村振 兴项目的实施，提高农作时的效率。现 要在果园中间开辟一横两纵三条等宽的 小道（如图），要使种植面积为5192平 方米，求小道的宽．
利用一元二次方程解实际问题的一般步骤：
2.学校原有一块面积为1500平方米的 矩形场地，现结合环境整治，将场地 的一边增加5米，另一边减少5米，结 果场地的面积增加了10%.求现在场地 的长和宽.
谢谢大家！
某镇政府乡村振兴项目示范小组有 一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了 管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、 横各开辟一条等宽的小道.你能为项目 示范小组画出小道的设计图吗？
如果上述问题中的两条等宽小道开 辟之后其种植面积为540m2 ，那么小 道的宽应是多少？
某镇政府乡村振兴项目示范小组有一块长32m，宽20m的矩形 试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一 条等宽的小道.如果两条等宽小道开辟之后其种植面积为540m2 ，那 么小道的宽应是多少米？
同学们： 现在正是你们求学的好时机，一
定要努力学习。将来为家乡建设作贡 献，为祖国的乡村振兴作贡献，为中 华民族的伟大复兴尽一份绵薄之力。 努力学习，你们有信心吗？
1.餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm 的长方形，小明的妈妈准备设计一块 桌布，面积是桌面的2倍，且使四周 垂下的边等宽.设四周垂下的边宽为 xcm，则可列方程 ____________.
1.“审”指弄清题意。这是解决问题的基础。 2.“设”指设元（未知数），分直接设元和间接设元。 3.“列”就是列方程。先找出等量关系，再列出含有 未知数的等式（方程）。这是关键步骤。 4.“解”即求出所列方程的解。 5.“验”即验解。在列一元二次方程解应用题时，由 于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符 合实际问题的要求。 6.“答”就是写出答案（包括单位名称）。
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第二十三讲简单的面积问题
几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中
常见的基本问题之一．
平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：
1．和差法
把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．
2．运动法
有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图
形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．
3．等积变形法
即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．
例题
【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个
顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)
(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)
思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．
(1)连AC、BF．
S是由ABCD围成阴影面积的6倍．
(2)连AD，BC，CD，则阴影
注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对
图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．
【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．
A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)
思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线
段的比把三角形面积联系起来．
【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．
【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．
求：(1)四边形PECF的面积；
(2)四边形PFGN的面积．
思路点拨(1)连CP ，设S △FCF =x ，S △FCE =y ，可建立关于
x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的
面积用于x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连
NC ，仿(1)，先求出△BNC 的
面积，再得出△BNG 面积，进而可求四边形PFGN 的面积．
注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积
之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．
【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在
2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为
2
的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗
?
思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：
选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．
学力训练
1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是
1，
则红色的面积是．
(山西省中考题)
2．如图，4个半径为lcm 的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm 2
(精确到0．01)．
3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是
．
(“五羊杯”竞赛题
)
5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，
6，5，那么阴影部分的面积为( )．
(江苏省竞赛题) A ．
2
9B ．
2
7C ．
3
10D ．
8
156．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形
(阴影部分)的面积为(
)．
A ．2
2
a
a
B ．2
2
2a
a C ．
2
2
2
1a
a
D ．2
2
4
1a
a
（广东省中考题)
7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是(
)．(2002年湖北省荆州市中考题
)
A ．25
B ．30
C ．35
D ．40
8．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成
8小块，
各小块的面积分别为
S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．
(江苏省竞赛题)
9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，
不写作法)．
10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是
1，则每个直角三角形的
两条边的立方和等于．
11．如图，在长方形
ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆
弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积
S 阴=
．
(广西竞赛题)
12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝
4
1S ABCD =1，则S △CEF =
．
( “希望杯”邀请赛试题
)
13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边
形PDCE 的面积为
．
(江苏省竞赛题)
14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则
ABCD
AGCD S S 长方形四边形=
（）．(全国数学竞赛题)
A ．
6
5B ．
5
4C ．
4
3D ．
3
215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形
AOD 的面积是2，三角形OOD 的
面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是(
)．
A ．16
D ．15
C ．14
D ．13
( “希望杯”邀请赛试题
)
16．如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC =S △ACE ，则S △ADE ( )．
A ．
5
1B ．
6
1C ．
7
1D ．
8
117．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA ＝AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积．
18．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB 、AD 上分别取点E 、F ，使得AE=3EB ，DF ＝2AF ，
DE 与CF 的交点为O ，求△FOD 的面积．
(第1l 届“希望杯”邀请赛试题
)
19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的
8块，分别种上不同颜色的花．
(1)如果要求这样分成的
8块的形状也相同，请你画出几种设计方案；
(2)为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗?
(3)如果要8块中的每4块形状相同，应如何设计
?试尽可能精确地画出你的创意．
20．如图，已知四边形ABCD 面积为S ，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为DC 的三等分点．试用S 的代
数式表示四边形
EFNM 的面积．
参考答案。