(完整版)初中数学培优竞赛讲座第23讲__简单的面积问题

第二十三讲简单的面积问题

几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中

常见的基本问题之一．

平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：

1．和差法

把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．

2．运动法

有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图

形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．

3．等积变形法

即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．

例题

【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个

顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)

(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)

思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．

(1)连AC、BF．

S是由ABCD围成阴影面积的6倍．

(2)连AD，BC，CD，则阴影

注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对

图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．

【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．

A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)

思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线

段的比把三角形面积联系起来．

【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．

【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．

求：(1)四边形PECF的面积；

(2)四边形PFGN的面积．

思路点拨(1)连CP ，设S △FCF =x ，S △FCE =y ，可建立关于

x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的

面积用于x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连

NC ，仿(1)，先求出△BNC 的

面积，再得出△BNG 面积，进而可求四边形PFGN 的面积．

注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积

之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．

【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在

2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为

2

的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗

?

思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：

选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．

学力训练

1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是

1，

则红色的面积是．

(山西省中考题)

2．如图，4个半径为lcm 的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm 2

(精确到0．01)．

3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是

．

(“五羊杯”竞赛题

)

5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，

6，5，那么阴影部分的面积为( )．

(江苏省竞赛题) A ．

2

9B ．

2

7C ．

3

10D ．

8

156．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形

(阴影部分)的面积为(

)．

A ．2

2

a

a

B ．2

2

2a

a C ．

2

2

2

1a

a

D ．2

2

4

1a

a

（广东省中考题)

7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是(

)．(2002年湖北省荆州市中考题

)

A ．25

B ．30

C ．35

D ．40

8．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成

8小块，

各小块的面积分别为

S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．

(江苏省竞赛题)

9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，

不写作法)．

10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是

1，则每个直角三角形的

两条边的立方和等于．

11．如图，在长方形

ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆

弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积

S 阴=

．

(广西竞赛题)

12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝

4

1S ABCD =1，则S △CEF =

．

( “希望杯”邀请赛试题

)

13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边

形PDCE 的面积为

．

(江苏省竞赛题)

14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则

ABCD

AGCD S S 长方形四边形=

（）．(全国数学竞赛题)

A ．

6

5B ．

5

4C ．

4

3D ．

3

215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形

AOD 的面积是2，三角形OOD 的

面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是(

)．

A ．16

D ．15

C ．14

D ．13

( “希望杯”邀请赛试题

)