高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件2 新人教A版选修1-1.ppt
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上式两边再平方 , 得 a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2 ,
整 a 2 c 2 x 2 理 a 2 y 2 a 2 a 2 c 得 2 , 两 边 a 2a 2 同 c 2,得 a x 除 2 2 a 2 y 2 c 以 2 1 . 1 9
圆锥曲线 conic sec tions
1
腊
2
尔
基
3
2 .1.1 椭圆及其标准方程
4
探 究 取一 条定 长 的
细绳 , 把它的两端都固 M
定在图板的同一点处 ,
F1
F2
套上铅笔 , 拉紧绳子 ,移
动笔尖 , 这时笔尖 动点
图2.11
画出的轨迹是一个圆 .如果把细绳的两端拉开 一
段距离 , 分别固定在图板的两点 处 (图 2.1 1 ), 套
之
下 面 我 们 根 据 椭何圆特的征 ,选 几 择 适 当 的 坐 标,系 建 立 椭 圆 的,并 方通 程过 方 程 研 究 椭 圆 的 性. 质
6
思 考观察 椭圆的,你形认状为怎样 选择
系才 能使椭 圆的单方 ? 程简
类 比 利 用 圆 的立 对圆 称的 性方 建程,我 的 过
们 根 据 椭 圆 的,几 选何 择特 适征 当 的,建 坐 标
我 们 知 道,用 一 个 垂 直 于 圆 锥 的 轴 的 平 面截圆 锥, 截 口 曲 线
截 面 与 圆 锥 侧 面 的 交线 是
一 个 圆.如 果 变 平 面 与 圆 锥 轴 线 的 夹 角, 会 得 到 什 么 图 形 呢?
如图 ,用一个不垂直于圆锥的 轴 的平面截圆锥 ,当截面与圆锥的 轴夹角不同时 , 可以得到不同的 截口曲线 ,它们分别是椭圆、抛 物线、双曲线 .我们通常把圆、 椭圆、抛物线、双曲线 统称为
上铅笔 , 拉紧绳子 ,移动笔尖 ,画出的轨迹是什么
曲线 ? 在这一过程中 , 你能说出移动笔尖 动点 满
足的几何条件吗 ?
操 作 打 开 的 几 何 ,形画象板地 展 现 探 究 . 过 5
把 细 绳 的 两 端 拉 距开 离 ,移一动段笔 尖 的 过 程 中 ,细 绳 的 长 度 保,即持笔不尖变到 两 个 定 点 的 距 离 和 等. 于 常 数
立 它 的 方 . 程
y
如图 2 .1 2,以经过椭圆
M
两焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴 , 线段 F1 F2的垂直平分 线为 y 轴 , 建立直角坐标 系 xOy .
F1 c O c F2 x
图2.12
7
设 M x , y 是椭圆上任意
一点 , 椭圆的焦 距 为 2 c
y M
c 0 , 那么焦点 F1 , F 2的 坐标分别为 c ,0 , c ,0 .
8
为化简这个,将 方左 程边的一个根右式边 ,得 移到
x c 2 y 2 2 a x c 2 y 2 ,
将这个方程两边平方 ,得
x c 2 y 2 4 a 2 4 a x c 2 y 2 x c 2 y 2 , 整a 理 2 c x a 得 x c 2 y 2 ,
|P| O a 2 c 2 .令 b |P| O a 2 c 2 ,
那 1 式 么a x 就 2 2 b y 2 2 是 1 a b 0 .
2
10
从上述过程可 以看 到,椭 圆 上 任 意 一
点 的 坐 标 都 满 足 方2程,以 方 程2的 解x, y为 坐 标 的 点 到 椭 圆 的个两焦 点 F1 c,0, F2c,0的 距 离 之 和2为a,即 以 方 程2的 解 为 坐 标 的 点 在 都椭在圆 上. 这 样 ,我 们 把2方 叫程做 椭圆的标准
y2 a2
x2 b2
1 a b 0,
图2.14
这 个 方 程 也 是 椭 圆 的准标方 程.
12
例1 已 知 椭 圆 的 两标个分焦别 点 2是 ,0坐 ,
2,0,并 且 经过 52,23点 ,求 椭 圆 的 标 . 准 方
设
由椭圆定义知2a
5 22 2 2 3 2 5 22 2 2 3 221,0
F1 c O c F2 x
又设 M 与 F1 , F2的距离的 和等于 2 a .
图2.12
由椭圆的定,椭义圆就是集合
PM|| MF1 | | MF2 |2a.
因 |M 1 | 为 x F c 2 y 2 , |M 2 | x F c 2 y 2 ,
所 x 以 c 2 y 2 x c 2 y 2 2 a .
y P
M
OD
x
图2.15
操 作 打 开 的,观 几 察 何M点 画 形 板 成 轨 迹.的 过
分 析点P在 圆 x2 y2 4上 运,点 动P的 运 动 引 点M运 动 .我 们 可 M 以为由线P段D的 中 点 得M到 与 点 P坐 标 之 间 的,并 关由 系P点 式 的 坐 标 满 足 的 方 程 得M到 的点 坐 标 所 满 足 . 的 方 程
则 a 1 .又 c 0 2 ,故 b 2 a 2 c 2 1 4 0 6 . 因此 ,所求椭圆的标准1x2方 0 y程 62 为 1.
你 还 能 用 其 他 方 法 求的它方 程 吗?
13
例 2 如图 2.1 5 , 在圆 x 2 y 2 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足 .当 点 P 在圆上运动时 , 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么 ? 为 什么 ?
由椭圆的定义,2可 a知 2c,
y
P
即ac,所以a2 c2 0.
思 考 观 察 பைடு நூலகம் 2.13,你 能 F1 O
F2 x
从 中 找 出 表a,c示 , a2 c2 的 线 段?吗
图2.13
由 2 . 1 3 可 图 , |P 1 |P 知 F 2 | a F , |O 1 | |O F 2 | c , F
方程 .它 的 焦x点 轴在 上 ,两 个 焦 点 分
别 是 F1c,0,Fc,0,这 里 c2 a2b2.
11
思考 如图 2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在 y轴上 ,且 F1 , F2的坐标
F2
分别为 0,c, 0, c, a, b 的意
M
x
义同上 ,那么 椭圆的方程 是
O
什么?
F1
容 易 知 道, 此 时 椭 圆 的 方 程 是
整 a 2 c 2 x 2 理 a 2 y 2 a 2 a 2 c 得 2 , 两 边 a 2a 2 同 c 2,得 a x 除 2 2 a 2 y 2 c 以 2 1 . 1 9
圆锥曲线 conic sec tions
1
腊
2
尔
基
3
2 .1.1 椭圆及其标准方程
4
探 究 取一 条定 长 的
细绳 , 把它的两端都固 M
定在图板的同一点处 ,
F1
F2
套上铅笔 , 拉紧绳子 ,移
动笔尖 , 这时笔尖 动点
图2.11
画出的轨迹是一个圆 .如果把细绳的两端拉开 一
段距离 , 分别固定在图板的两点 处 (图 2.1 1 ), 套
之
下 面 我 们 根 据 椭何圆特的征 ,选 几 择 适 当 的 坐 标,系 建 立 椭 圆 的,并 方通 程过 方 程 研 究 椭 圆 的 性. 质
6
思 考观察 椭圆的,你形认状为怎样 选择
系才 能使椭 圆的单方 ? 程简
类 比 利 用 圆 的立 对圆 称的 性方 建程,我 的 过
们 根 据 椭 圆 的,几 选何 择特 适征 当 的,建 坐 标
我 们 知 道,用 一 个 垂 直 于 圆 锥 的 轴 的 平 面截圆 锥, 截 口 曲 线
截 面 与 圆 锥 侧 面 的 交线 是
一 个 圆.如 果 变 平 面 与 圆 锥 轴 线 的 夹 角, 会 得 到 什 么 图 形 呢?
如图 ,用一个不垂直于圆锥的 轴 的平面截圆锥 ,当截面与圆锥的 轴夹角不同时 , 可以得到不同的 截口曲线 ,它们分别是椭圆、抛 物线、双曲线 .我们通常把圆、 椭圆、抛物线、双曲线 统称为
上铅笔 , 拉紧绳子 ,移动笔尖 ,画出的轨迹是什么
曲线 ? 在这一过程中 , 你能说出移动笔尖 动点 满
足的几何条件吗 ?
操 作 打 开 的 几 何 ,形画象板地 展 现 探 究 . 过 5
把 细 绳 的 两 端 拉 距开 离 ,移一动段笔 尖 的 过 程 中 ,细 绳 的 长 度 保,即持笔不尖变到 两 个 定 点 的 距 离 和 等. 于 常 数
立 它 的 方 . 程
y
如图 2 .1 2,以经过椭圆
M
两焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴 , 线段 F1 F2的垂直平分 线为 y 轴 , 建立直角坐标 系 xOy .
F1 c O c F2 x
图2.12
7
设 M x , y 是椭圆上任意
一点 , 椭圆的焦 距 为 2 c
y M
c 0 , 那么焦点 F1 , F 2的 坐标分别为 c ,0 , c ,0 .
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为化简这个,将 方左 程边的一个根右式边 ,得 移到
x c 2 y 2 2 a x c 2 y 2 ,
将这个方程两边平方 ,得
x c 2 y 2 4 a 2 4 a x c 2 y 2 x c 2 y 2 , 整a 理 2 c x a 得 x c 2 y 2 ,
|P| O a 2 c 2 .令 b |P| O a 2 c 2 ,
那 1 式 么a x 就 2 2 b y 2 2 是 1 a b 0 .
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从上述过程可 以看 到,椭 圆 上 任 意 一
点 的 坐 标 都 满 足 方2程,以 方 程2的 解x, y为 坐 标 的 点 到 椭 圆 的个两焦 点 F1 c,0, F2c,0的 距 离 之 和2为a,即 以 方 程2的 解 为 坐 标 的 点 在 都椭在圆 上. 这 样 ,我 们 把2方 叫程做 椭圆的标准
y2 a2
x2 b2
1 a b 0,
图2.14
这 个 方 程 也 是 椭 圆 的准标方 程.
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例1 已 知 椭 圆 的 两标个分焦别 点 2是 ,0坐 ,
2,0,并 且 经过 52,23点 ,求 椭 圆 的 标 . 准 方
设
由椭圆定义知2a
5 22 2 2 3 2 5 22 2 2 3 221,0
F1 c O c F2 x
又设 M 与 F1 , F2的距离的 和等于 2 a .
图2.12
由椭圆的定,椭义圆就是集合
PM|| MF1 | | MF2 |2a.
因 |M 1 | 为 x F c 2 y 2 , |M 2 | x F c 2 y 2 ,
所 x 以 c 2 y 2 x c 2 y 2 2 a .
y P
M
OD
x
图2.15
操 作 打 开 的,观 几 察 何M点 画 形 板 成 轨 迹.的 过
分 析点P在 圆 x2 y2 4上 运,点 动P的 运 动 引 点M运 动 .我 们 可 M 以为由线P段D的 中 点 得M到 与 点 P坐 标 之 间 的,并 关由 系P点 式 的 坐 标 满 足 的 方 程 得M到 的点 坐 标 所 满 足 . 的 方 程
则 a 1 .又 c 0 2 ,故 b 2 a 2 c 2 1 4 0 6 . 因此 ,所求椭圆的标准1x2方 0 y程 62 为 1.
你 还 能 用 其 他 方 法 求的它方 程 吗?
13
例 2 如图 2.1 5 , 在圆 x 2 y 2 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足 .当 点 P 在圆上运动时 , 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么 ? 为 什么 ?
由椭圆的定义,2可 a知 2c,
y
P
即ac,所以a2 c2 0.
思 考 观 察 பைடு நூலகம் 2.13,你 能 F1 O
F2 x
从 中 找 出 表a,c示 , a2 c2 的 线 段?吗
图2.13
由 2 . 1 3 可 图 , |P 1 |P 知 F 2 | a F , |O 1 | |O F 2 | c , F
方程 .它 的 焦x点 轴在 上 ,两 个 焦 点 分
别 是 F1c,0,Fc,0,这 里 c2 a2b2.
11
思考 如图 2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在 y轴上 ,且 F1 , F2的坐标
F2
分别为 0,c, 0, c, a, b 的意
M
x
义同上 ,那么 椭圆的方程 是
O
什么?
F1
容 易 知 道, 此 时 椭 圆 的 方 程 是