解三角形中边角互化策略的应用

解三角形中边角互化策略的应用

1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求证：

解法1：

解法2：

解法3：因为

所以

所以

2．(2011·四川卷)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 分析：由正弦定理得 所以

所以

又

所以

3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于________． 分析：由正弦定理得

22

2sin()sin A B a b C c --=

sin()sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B a B b A

C C c ---==

222222

22

22

2cos cos 22a c b b c a ac B bc A a b c c c +-+----===2

2

2

2

222

1cos 21cos 2sin sin 22sin sin A B

a b A B c C C ---

--==22

cos 2cos 22sin()sin()sin()

2sin 2sin sin B A B A B A A B C C C --+--=

==222222

2cos 2cos a b c bc A

b a

c ac B =+-=+-22222cos 2cos a b b a bc A ac B -=--+222

cos cos sin cos sin cos sin()

sin sin a b a B b A A B B A A B c c C C ----===2

2

2

a b c bc ≤+-2

2

2

bc b c a ≤+-2221cos 22b c a A bc +-=≥

(0,)A π∈03A π

<

≤

sin )cos sin cos B C A A C -=

所以

所以

4．(2011·山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a

b ，

则sin C

sin A

=______. 分析：由正弦定理得

所以

所以

所以

所以

5．(2012·湖北)若△ABC 的三边长为连续三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________ 分析：由题意可以设

依次为

所以

解得

所以 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝

6. 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c

，若2

2

a b -=

，sin C B =，则A=________．

分析：由sin C B =得

代入得

所以

cos sin cos cos sin sin(A+C sin B A A C A C B =+==

）cos 3A =

cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A

B B --=

sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B B C B C +=+sin()2sin()A B B C +=+sin 2sin C A =sin 2

sin C

A =,,a b c ,1,2a a a --222

(1)(2)3(1)202(1)(2)a a a a a

a a -+---=--6a =::6:5:4a

b c

=c

=c =22

7a b

=222222cos 22b c a A bc +-===

又

所以

7．(2012·南京模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,1＋tan A tan B ＝2c

b ，则角

A 的大小为________．

分析：由正弦定理得

所以

所以 所以

所以

又

所以

8.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若，

则边=_____.

分析：由得 由正弦定理和余弦定理得

所以

所以

所以

(0,)A π∈6A π

=

sin cos 2sin 1cos sin sin A B C

A B B +

=

sin cos cos sin 2sin cos sin sin A B A B C

A B B +=

sin()

2sin cos A B C

A +=sin 2sin cos C

C A =1

cos 2A =

0A π<<3A π

=

22

tan 7tan ,3

a b A B c -==c tan 7tan A B =sin sin 7

cos cos A B

A

B =222222

7

22a b

b c a a c b bc ac =+-+-222

3

4a b c -=223

34a b c c -==4c =22222

62a b a b c ab ab ++-=