线性代数第二章矩阵(答案)

合集下载

线性代数第二章矩阵练习题（有答案）

第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A T B解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x (a 11x 1?a 12x 2?a 13x 3 a 12x 1?a 22x 2?a 23x 3 a 13x 1?a 23x 2?a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 问(1)ABBA 吗解 ABBA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA 所以ABBA(2)(AB )2?A 22ABB 2吗解 (AB )2?A 22ABB 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610所以(AB )2?A 22ABB 2 (3)(AB )(AB )A 2B 2吗解 (AB )(AB )A 2B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(AB )(AB )A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的（也可参考书上的答案） (1)若A 20 则A 0 解取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2?A 则A 0或AE 解取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A 则A 2?A 但A 0且AE (3)若AXAY 且A 0 则XY 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AXAY 且A 0 但XY7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2? A 3 A k 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A 求A k解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ02)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121 （也可提取公因式，变成书上的答案）9 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明因为A T A 所以 (B T AB )T B T (B T A )T B T A T BB T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明充分性因为A T A B T B 且ABBA 所以 (AB )T (BA )T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性因为A T A B T B 且(AB )T AB 所以 AB (AB )T B T A T BA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A |1 故A 1存在因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A |10 故A 1存在因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A |20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a O 0021(a 1a 2 a n 0)解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A O 0021由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211O12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(EA )1EAA 2 A k 1 证明因为A k O 所以EA k E 又因为 E ?A k (EA )(EAA 2 A k 1) 所以 (EA )(EAA 2 A k 1)E 由定理2推论知(EA )可逆且 (EA )1EAA 2 A k 1证明一方面有E (EA )1(EA ) 另一方面由A k O 有 E (EA )(AA 2)A 2 A k 1(A k 1A k ) (EAA 2? A k 1)(EA ) 故 (EA )1(EA )(EAA 2 A k 1)(EA ) 两端同时右乘(EA )1 就有(EA )1(EA )EAA 2 A k 115 设方阵A 满足A 2?A 2EO 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E )1 证明由A 2?A 2EO 得 A 2?A 2E 即A (AE )2E或E E A A =-⋅)(21 由定理2推论知A 可逆且)(211E A A -=- 由A 2?A 2EO 得A 2?A 6E 4E 即(A 2E )(A 3E )4E 或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A 2E )可逆且)3(41)2(1A E E A -=+-证明由A 2?A 2EO 得A 2?A 2E 两端同时取行列式得 |A 2?A |2 即 |A ||AE |2 故 |A |0所以A 可逆而A 2EA 2 |A 2E ||A 2||A |20 故A 2E 也可逆由 A 2?A 2EO A (AE )2E A 1A (AE )2A 1E )(211E A A-=- 又由 A 2?A 2EO (A 2E )A 3(A 2E )4E (A 2E )(A 3E )4 E 所以 (A 2E )1(A 2E )(A 3E )4(A 2 E )1)3(41)2(1A E E A -=+-16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A )15A *|解因为*||11A A A =- 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A |1821617 设矩阵A 可逆证明其伴随阵A *也可逆且(A *)1(A 1)* 证明由*||11A A A =- 得A *|A |A 1 所以当A 可逆时有 |A *||A |n |A 1||A |n 10 从而A *也可逆因为A *|A |A 1 所以 (A *)1|A |1A 又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以 (A *)1|A |1A |A |1|A |(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A * 证明 (1)若|A |0 则|A *|0 (2)|A *||A |n 1 证明(1)用反证法证明假设|A *|0 则有A *(A *)1E 由此得 AA A *(A *)1|A |E (A *)1O所以A *O 这与|A *|0矛盾，故当|A |0时有|A *|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA *|A |E 取行列式得到 |A ||A *||A |n 若|A |0 则|A *||A |n 1若|A |0 由(1)知|A *|0 此时命题也成立因此|A *||A |n 119 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ABA 2B 求B解由ABA 2E 可得(A 2E )BA 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且ABEA 2B 求B解由ABEA 2B 得 (AE )BA 2E 即 (AE )B (AE )(AE )因为01001010100||≠-==-E A 所以(AE )可逆从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A *BA 2BA 8E 求B 解由A *BA 2BA 8E 得 (A *2E )BA 8E B 8(A *2E )1A 1 8[A (A *2E )]1 8(AA *2A )1 8(|A |E 2A )1 8(2E 2A )1 4(EA )14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-= 2diag(12 1)22 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解由|A *||A |38 得|A |2 由ABA 1BA 13E 得 ABB 3AB 3(AE )1A 3[A (EA 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001 求A 11解由P 1AP 得APP 1 所以A 11? A =P 11P 1. |P |3⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设APP 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A )A 8(5E 6AA 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A )P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及AB 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为A 1(AB )B 1B 1?A 1?A 1B 1而A 1(AB )B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(AB )B 1可逆即A 1B 1可逆 (A 1B 1)1[A 1(AB )B 1]1B (AB )1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 （最后一行的-9也可除以-1变成9，从而变成书上的答案） 27 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠ 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A 而01111|||||||| ==D C B A 故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321 由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001。

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章矩阵及其运算

线性代数矩阵练习题参考答案

《线性代数》第二章练习题参考答案8、设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=(A+2E) 一、填空题1、设A=⎛ 12 ⎫⎛3-2⎫⎛⎝-13⎪⎪⎭，B= ⎝21⎪⎪⎭，则 3A+2B =⎛ 92⎫⎝111⎪⎭； AB =⎛ 70⎫⎝35⎪⎭；BT= 3⎝-2⎛19-3⎫2、设矩阵A=⎛ -15⎫⎪，8⎪⎝13⎭B=⎛ 31⎫则⎛-614⎫-1 -8⎝-20⎪，⎭3A-B= ⎝59⎪，⎭AB= 11⎪⎪。

⎝88⎪⎭3、设A为三阶矩阵，且A=2，则2A*-A-1=2724、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____，|2A|=____40_ ⎛⎛3、设A= 120⎫340⎪⎪，B=⎛ 23-1⎫T86⎫ 1810⎪⎝-121⎪⎭⎝-240⎪⎪⎭，则AB=⎪⎝310⎪⎭⎛11⎫4、设A=1 225⎪⎪，且r(A)=2，则t= 4 ⎝11t⎪⎭⎛ 1233⎫5、若A=3-12⎪06-24⎪⎪则r(A)=_2____ ⎝0000⎪⎭6、设矩阵A=⎛ 1-1 ⎫⎛⎝23⎪⎪⎭，B=A2-3A+2E，则B-1= 01⎫ 2⎪⎝-1-1⎪⎭7、设A是方阵，已知A2-2A-2E=O，则(A+E)-1=3E-A2⎫1⎪⎭ 2⎛102⎫9、设A是4⨯3矩阵且r(A)=2，B= 020⎪⎪，则r(AB)=⎝-103⎪⎭⎛10、设A= 100⎫ 220⎪⎪，则(A*)-1=1⎛100⎫A=1 220⎪⎪⎝345⎪⎭A10 ⎝345⎪⎭⎛⎛ 100⎫11、设A= 300⎫ 140⎪⎪，则(A-2E)-1=-11⎪⎝003⎪⎭220⎪⎪（用分块矩阵求逆矩阵) ⎝001⎪⎭⎛⎛ 520⎫1-20⎫0-2500⎪12、设A= 2100⎪⎪001-2⎪，则A-1=0012⎪⎪ 33⎪⎝0011⎪⎪⎭⎪⎝00-11⎪33⎪⎭13、已知A为四阶方阵，且A=12，则3281⎛⎫⎛2n⎫14、设A= 2⎫3⎪⎛22,A2= 32⎪⎪⎛2-1n⎪⎪，An= 3⎪,A-1= 3-1⎝4⎪⎭⎝42⎪⎭⎝4n⎪⎭⎝⎛ 100⎫⎪⎛00⎛15、若A= 230则A*= 18⎫ -1260⎪=1⎪，A-1 1800⎫⎪，-1260⎪⎝456⎪⎭⎝-2-53⎪⎭18⎝-2-53⎪⎪⎭二、单项选择题⎫⎪⎪4-1⎪⎭1、若A2=A，则下列一定正确的是 ( D ) (A) A=O (B) A=I (C) A=O或A=I (D)以上可能均不成立2、设A,B为n阶矩阵，下列命题正确的是（ C ）（A）(A+B)=A+2AB+B；（B）(A+B)(A-B)=A-B； 21（A）a；（B）；（C）an-1；（D）an。

线性代数第二章习题答案

习题 2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。

习题 2-21．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）22B A -．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ，求B A 23-．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=619410161510550110104220610246869012369039633．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101012121234,432112122121B A ，求（1）B A -3；（2）B A 32+；（3）若X 满足B X A =-，求X ；（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10101212123443211212212133B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363；（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242；（3）由B X A =-得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2232323403402231031033112020335532)(32B A Y 。

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

线性代数第二章习题答案

第二章矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z因此有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111111A ,,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算以下乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明以下命题是错误的: （１）假设02=A ,那么0=A ;（２）假设A A =2,那么0=A 或E A =; （３）假设AY AX =,且0≠A ,那么Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠.7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,那么1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解第一观看⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，那么1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明已知：A A T =那么 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明由已知：A A T = B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT=⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求以下矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2) 01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解以下矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;(3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122(3)11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解以下线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k=(k 为正整数), 证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=- 两头同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 知足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明由O E A A =--22得E A A 22=-两头同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 因此A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由OE A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。

线性代数课后习题答案第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

线性代数第二章矩阵(答案)

线性代数第二章矩阵(答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ]（A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题：1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12125614321028244612．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 32⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--561252527813143．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛496354．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6520876三、计算题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T;2294201722213222222222209265085031111111112150421321111111111323⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-A AB .092650850150421321111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===AB B A A A A TT ，则对称，由线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵（B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵（C ）AB 是n 阶可逆矩阵（D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2 二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221B ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121211A 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ，则X = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6421nBA -=-*4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(21)(1E A E A +=--三、计算与证明题： 1．设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A;2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=⇒=-⇒=-⇒=---可逆，且 .43)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0212EA E A E A EE A E A EE A E A E E A E A A E A E A A E A A --=++⇒=+--⇒-=+-⇒=++-+⇒=--+⇒=---可逆，且2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A解：设3)(ij a A ，则,24321)1(,12311)1(,02412)1(,144521)1(,61511)1(,21412)1(,324543)1(,131523)1(,414243333233231313223222221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=++++++++A A A A A A A A A从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=214321613024*A .又由261412614512300121452431211312=--=--+----=c c c c A则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-1716213213012*1A A A3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⇒=-⇒+=321011330121011332)2(2B AB E A BA AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21(02220035231001101133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-011321330)2(1A E A B线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------÷-÷-÷⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------22100221002210034311534101050066300884003431132312433023221453334311432141312r r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000221003201130********02210034311212423r r r r r r二、把下列矩阵化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------76750129880111104202132347310382373132420213473103823420217313214131221r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----410002120011110420212120041000111104202158432423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--410002020020010400212141000202003011040021232414243r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+010*******000100000142410001010020010000012141000202002001000001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1210232112201023A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100012100001102300101220010023211000121001002321001012200001102331r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00101220030159401001210010023211000121003015940001012200100232134213r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612100043011100100012100100232122010120043011100100012100100232124342423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+1061210006311010010********11021231061210006311010011612021020112432123231434241r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+10612100063110100101000104211001221r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=∴-106126311101042111A 四、已知111101022110110014X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求X3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故15326111262013X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（二）矩阵的秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零（B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ]（A ）A 的所有s －1阶子式不为零（B ）A 的所有s 阶子式不为零（C ）A 的所有s +1阶子式为零（D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ]（A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 22．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=02301085235703273812A ，求)(A R 。

线性代数第二章矩阵(答案).docx

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1．设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12．设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33．设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（二）矩阵的秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零（ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

线性代数详细解答 (袁晖坪版)第二章矩阵

−3
1
4
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
9
−4
5
⎟ ⎠
(2) 由 AT + X T = BT ，得 X T = BT − AT ，所以
⎛ 2 −3⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 −5⎞
XT
=
BT
−
AT
=
⎜ ⎜
3
1
⎟ ⎟
−
⎜ ⎜
3
−1⎟⎟
=
⎜ ⎜
0
2
⎟ ⎟
⎜⎝ −1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠
因此得
X
⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
解：
(1)
A
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
⎟ ⎟
，
B
=
⎜⎜11.2
9.9
8.6
8.5
⎟ ⎟
⎜⎝ 9 10 7.2 6.8 ⎟⎠
⎜⎝ 9.1 9.6 8 7 ⎟⎠
⎛8.7 9.1 6.4 7.9 ⎞ ⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
(2)
A
+
B
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
AT
.
T
⎛⎛ 1 3 ⎞
⎞ ⎛ −1 5 −5 ⎞
解：
( AB)T
=
⎜⎜ ⎜⎜
2
⎜⎝
⎜ ⎝
−2
−1⎟⎟
1
⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
5 0
1⎞⎟
3
⎟ ⎠
⎟ ⎟⎠
=
⎜ ⎜
5
⎜⎝10
10 −1
−10

线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)

⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 可逆矩阵一定是方阵.
（√）
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵，则 AB 可逆.
（√）
3. 设 A, B 均为可逆矩阵，则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
（X）
4. 若 A 可逆，则 AT 也可逆.
分析： |
r1 A|
↔
r2
− | B |，所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
，
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
，
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13

西安交大西工大考研备考期末复习线性代数第二部分矩阵带答案

第二章矩阵基础练习一．填空1设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=-______________答案：-2；2当λ=_______________时，矩阵11312050λ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为奇异矩阵.答案：-33对于方阵A B 、，若AXB C =，则X ＝____________________答案：11A CB --4已知AB B A -=，其中120210002B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A ＝_____________.答案：11021102002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A ___________________答案：)(211E A A -=-6设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B答案：332-7设A 为3阶方阵,*A为伴随矩阵,81=A ,则*1831A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________ 答案：答案：58设B A ,都是n 阶方阵,且3,2==B A 则=00BA .答案：61⋅-n )(9设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1101201112111111A ，则.4A = 答案：8110设,101014321121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t y x x 则=2x 答案：-1二．计算题1设矩阵A B ，满足关系式2()AB A B =+，其中301 110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .答案：1044864806--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2设01000000200000010000000000021000053A n n ⎛⎫⎪⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，求1A - 答案：10000010*******0021000010000310052n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3已知11111111 11111111A ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求n A （n 为正整数）. 答案：当2n k =时，22nkA E =；当21n k =+时，22nkA A =．4设已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=461351341,121011322,58269212163C B A ,求.))((432A A A A BC BC A +-+-+答案：解：E A E BC ==2,原式A E A E A A A A E E A +=+=+-+-+=5432))((⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=482610212162 5设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3200430000100001A , 求.16A 答案：解：令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3243,1001C E B EC E B ==1616⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001000010000100016161616C B C B A6已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102A ,且,BA AB =试求二阶方阵B . 答案：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a B 使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31023102d b c a d b c a 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--d d b c c a c d a b c a32323322 即⎩⎨⎧-==ba d c 0得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b aB 0,其中b a ,是任意实数.7设,,100010001,00000089E A A A D c b a B c b a A ++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=求DB .答案：))((89E A E A A A DB -++++=E A -=10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100010001101010c b a DB8设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0011002221003100A ,试用矩阵分块法求1-A . 答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001100222100310021A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-51515352,2131111A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21412141,1122122A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0051510053522141002141000011121A A A 9设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111011001A ,求.)4()2(21E A E A -+-答案：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--110011001111011001)2(11E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-321032003402101200142E E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-311031003321032003110011001)4()2(21E A E A或)2)(2()2()4()2(121E A E A E A E A E A -++=-+--)2)(2()2()4()2(121E A E A E A E A E A -++=-+-- 10设,02=++A AB A 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b a c c b a A ，（c b a ,,是互不相等的正实数）求方阵B .答案：{}0)()()()(21222≠-+-+-++=a c c b b a c b a A故由0) =++E B A A 知0=++E B A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=--=a c b b a c c b aA EB 111三．证明题1设AB ，为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称矩阵.答案：提示：用对称矩阵的定义验证；2设A 为n 阶非零矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且*T A A =，证明 0A ≠.答案：提示：211nj j a A ==∑3设D C B A ,,,是n 阶矩阵，且0≠A 及.CA AC =证明：.CB AD DC B A -=答案：证明：由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛---B CA D B A D C B A E CAE1100 得BCA D B A DCB A E CA E 1100---=-即.1CB AD B CA D A DCB A -=-⋅=-自测题一、填空题1设对于三阶矩阵A 有32,2=+=E A A ,则=+A A 242___________.答案：482设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121120131020013987654321x x x x x x x x x A ,则=A _____________________.答案：.120120120113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A3 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A；答案：)(11bE aA cA +-=-4 设矩阵33)(⨯=j i a A ，j i A 是||A 中元素j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13121132a a a ==，已知011>a ，则=11a 。

线性代数第二章作业答案与提示.ppt

BZ, X
ABZ; AB
6 12
1 4
3 9
10 1 16
1 1 1 1 2 3
2.设A
1
1
1, B 1
2
4
,求3AB 2A及AT B
1 1 1 0 5 1
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A＝ 1 2
4 ;
AT
B
0
5
6
0 5 1
2 9 0
作业及其提示
1 0 1
XA
B,
X
BA1
2 8
3
2 5
1 2
3
; 其中A1
3 2
3 1
1 1
3
2 3
0
1（1 2） 10
1 0
0 1 0X 0
0 0
0 1 1 2
4 0
3 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
AXB C : X A1CB1
2 1 0 X 1 3 4
0
kk 1 k
0 2 6 2 1 k(k 1) 2
0
0
1 k(k 1)k2
2
kk 1
,
k
其中，k 2
作业及其提示
第二章：矩阵及其运算
6.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是：AB BA
证：必要性：若AB对称，则( AB)T AB
A、B对称，( AB)T BT AT BA,即AB BA
答案：Y
A1 X
, 其中A1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
y1 7x1 4x2 9x3
y2
6x1

线性代数(王定江)第2章答案

习题二
1. 下列矩阵中, 哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵?
A
=
1 0
2 3
,
1
B
=
0 0
0 1 0
0 0 1
0
0 0
,
1
C
=
2 4
0 3 5
0
0 6
,
2
D
=
0 0
0 2 0
0
0 2
.
解： D 是对角矩阵, A, C 是三角矩阵, D 是数量矩阵.
2. 设
A
=
1 4
2y− x 2
1 0
21 1 0
2 1
=
1 0
4 1
=
1 0
2
× 1
2
;
1 0
2 3 1
=
1 0
41 1 0
2 1
=
1 0
6 1
=
1 0
2× 1
3 ;
1 0
2 k 1
=
1 0
2k 1
.
下面用数学归纳法证明. 当 k = 2 时, 结论成立. 假设 k = n 时结论成立, 那么当
1 2
2 1
3
4
−
2
−2 3
2 1
1 0
=
5 −4
−2 −1
1 4
;
（2） (2A − X ) + 2(B − X ) = O
X
=
2 (A + B) = 3
2 3
1
2
2 1
3
4
+
−2 3
2 1
1

(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换. 解由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2z 3到x 1 x 2x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x (a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5. 设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 问:(1)AB BA 吗? 解 AB BA因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B )2A 22AB B 2吗? 解 (A B )2A 22AB B 2因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B )2A 22AB B 2(3)(A B )(AB )A 2B 2吗?解 (A B )(A B )A 2B 2因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ⎪⎭⎫⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A 故(A B )(A B )A 2B 26. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案） (1)若A20 则A 0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A20 但A 0(2)若A2A , 则A 0或A E ;解取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A 则A2A , 但A 0且A E (3)若AX AY , 且A 0, 则X Y .解取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X⎪⎭⎫⎝⎛=1011Y则AX AY , 且A 0, 但X Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2A 3A k解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求Ak.解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ02)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明: 当k 2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121 （也可提取公因式，变成书上的答案）9. 设AB 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵.证明因为A TA 所以(B TAB )TB T (B T A )T B T A T B B T AB从而B TAB 是对称矩阵.10. 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性: 因为A TA B T B 且AB BA 所以(AB )T(BA )TA TB T AB即AB 是对称矩阵. 必要性: 因为ATA B T B 且(AB )T AB 所以AB (AB )TB T A T BA11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1¹0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2¹0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a O 0021(a 1a 2× × ×a n¹0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A O 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211O .12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14. 设AkO (k 为正整数), 证明(E A )1E A A 2A k1证明因为A kO 所以E A k E 又因为E Ak(E A )(E A A 2A k 1)所以 (E A )(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A )可逆且(E A )1E A A 2A k1证明一方面有E (E A )1(E A )另一方面由AkO 有E (E A )(A A 2)A 2A k1(Ak 1A k )(EA A 2A k 1)(E A )故 (E A )1(E A )(E A A 2A k 1)(E A ) 两端同时右乘(E A )1就有(E A )1(E A )E A A 2A k115. 设方阵A 满足A 2A 2E O , 证明A 及A 2E 都可逆, 并求A 1及(A 2E )1.证明由A 2A 2E O 得A2A 2E , 即A (A E )2E或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆且)(211E A A -=-由A2A 2E O 得 A2A 6E4E 即(A2E )(A 3E )4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E )可逆且)3(41)2(1A E E A -=+-证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得|A2A |2即 |A ||A E |2, 故 |A |0所以A 可逆, 而A 2E A 2|A 2E ||A 2||A |20 故A 2E 也可逆.由 A2A 2E O A (A E )2EA 1A (A E )2A 1E )(211E A A -=-又由 A2A 2E O (A 2E )A 3(A 2E )4E(A 2E )(A 3E )4 E所以 (A 2E )1(A 2E )(A3E )4(A 2 E )1)3(41)2(1A E E A -=+-16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8´2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-, 得A *=|A |A-1, 所以当A 可逆时有|A *|=|A |n|A -1|=|A |n -1¹0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)1|A |1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A *)1|A |1A |A |1|A |(A 1)*(A 1)*18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A * 证明: (1)若|A |0, 则|A *|0; (2)|A *||A |n 1证明(1)用反证法证明. 假设|A *|0 则有A *(A *)1E 由此得A A A *(A *)1|A |E (A *)1O所以A *O 这与|A *|0矛盾，故当|A |0时有|A *|0 (2)由于*||11A A A =-, 则AA *|A |E取行列式得到|A ||A *||A |n若|A |0 则|A *||A |n 1若|A |0 由(1)知|A *|0 此时命题也成立因此|A *||A |n 119. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , ABA 2B 求B .解由AB A 2E 可得(A 2E )B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB EA 2B 求B解由AB E A 2B 得 (A E )B A 2E即 (A E )B(AE )(A E )因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E )可逆从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A *BA 2BA 8E 求B解由A *BA 2BA 8E 得(A *2E )BA 8EB 8(A *2E )1A 18[A (A *2E )]18(AA *2A )1 8(|A |E 2A )18(2E2A )14(E A )14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-= 2diag(1 21)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B解由|A *||A |38 得|A |2由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E )1A 3[A (E A 1)]1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123. 设P 1AP , 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A11.解由P 1AP , 得A PP1所以A 11A =P11P 1.|P |3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ511求(A )A 8(5E 6A A 2)解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A )P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为 A 1(A B )B1B1A1A1B1而A 1(A B )B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B )B 1可逆即A1B 1可逆(A 1B 1)1[A 1(A B )B 1]1B (A B )1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A OE A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 （最后一行的-9也可除以-1变成9，从而变成书上的答案） 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A4解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O 则⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====sn E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

线性代数第二章矩阵(答案)

线性代数第二章矩阵练习题（有答案）

线性代数第二章答案

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

线性代数矩阵练习题参考答案

线性代数第二章习题答案

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第二章习题答案

线性代数课后习题答案第二章矩阵及其运算

线性代数第二章矩阵(答案)

线性代数第二章矩阵(答案).docx

线性代数详细解答 (袁晖坪版)第二章 矩阵

线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)

西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第二部分 矩阵带答案

线性代数第二章作业答案与提示.ppt

线性代数(王定江)第2章答案

(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案

线性代数第二章答案

线性代数详细解答 (袁晖坪版)第二章矩阵

西安交大西工大考研备考期末复习线性代数第二部分矩阵带答案