第三章力矩和平面力偶系第四章平面任意力系

解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
m1＝F1•d1，m2＝F2•d2， m3＝－F3•d3，
P1•d=F 1•d1 ，P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3
FR＝P1＋P2－p3
FR′＝P1′＋P2′－P3′
M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d
二、力偶的性质
▪ 力和力偶是静力学中两个基本要素。力 偶与力具有不同的性质：
▪ （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不 能用一个力等效替代。因此力偶不能与 一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
▪ （2）无合力，故不能与一个力等效；
▪ （3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒 等于力偶矩，与矩心位置无关。
结论：
第三章 力矩与力偶
第一节 力对点之矩
一、 力矩的概念
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
B
F
A d
O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号， 以符号mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
▪ 力 F 对O 点之矩的大小，
m0,
5RA m0
RA
m 5
10 5
02
0k
N
RB RA 20kN
计算结果RA、RB皆为正值，表示它们假设的指向与实际的指向相同。
例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、 B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动 机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5 kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？
尺寸如图所示 ，试求支座A、B的反力。
解：（1）取梁AB为研究对象
m
（2）画受力图 。由支座的约束 A 性质可知，RB的方位为铅直，而
5m m
R A的方位不定。但根据力偶只能与 A
力偶相平衡的性质，可知力RA必与
RA
力RB组成一个力偶，即RA= -RB，RA和RB的指向假设如图。
B
B RB
（3）列平衡方程求未知量 由力偶系的平衡方程有
▪ 也可以用三角形 OAB 的
▪ 面积的两倍表示，即
▪ Mo(F)＝±2ΔABC
▪ 在国际单位制中， ▪ 力矩的单位是牛顿•米（N•m）
BF
A d
O
L
▪ 或者千牛顿•米（kN•m）。
由上述分析可得力矩的性质：
▪ （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随 矩心的位置变化而变化。
（2）根据合力矩定理计算。
将力F在C点分解为两个正交 的分力，由合力矩定理可得
mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy) =－Fx•b+ Fy•a =－F(bcosα＋asinα)
=F(asinα-bcosα)
当力臂不易确定时，用后一种 方法较为简便。
例 2 求图中荷载对A、B两点之矩
(a)
(b)
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力 偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则 合力偶矩必等于零。由此可得到
平面力偶系平衡的必要与充分条件：
平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。
即Σm＝0
平面力偶系用这个平衡方程，可以求解未知量。
例 梁AB受一力偶作用，其矩m=-100kNm.
推论一
只要保持力偶矩不变，力 偶可在作用面内任意移动 或转动，其对刚体的作用 效果不变
推论二
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小， 其作用效果不变
力偶的作用效果取决于三个因素：构 成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转 向。
故在平面问题中用一带箭头的弧线来 表示如图所求，其中箭头表示力偶的转 向，m表示力偶矩的大小。
= P1•d+P2•d－P3•d
=F 1•d1+F2•d2－F3用在同一平面内有个力偶，则上 式可以推广为
M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm
由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力 偶的力偶矩的代数和。
二、平面力偶系的平衡条件
（图a）司机转动驾
驶汽车时两手作用在方
向盘上的力；
（图b）工人用丝锥
攻螺纹时两手加在扳手
上的力；
（图c）以及用两个
手指拧动水龙头所加的
力等等。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶 用符号 ( F ,F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂
两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪ （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次 说明力是滑移矢量。
▪ （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于 所有各分力对同一点之矩的代数和。
Mo(FR)＝ΣMo(F)
上式称为合力矩定理。合 力矩定理建立了合力对点之矩 与分力对同一点之矩的关系。 这个定理也适用于有合力的其 它力系。